巧用坐标法求解平面向量问题

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◇ 江苏邢富根
而很多平平面向量是高中数学的重点内容之一，面向量的题都可以利用坐标运算直接转化为数的关系处理．以下笔者从定值、最值等不同视角谈谈坐标法求解平面向量问题．，例１在 △ＡＢＣ中，ＡＣ＝９０ ° ＡＢ＝６，Ｄ在 ∠Ｂ → → · 斜边Ｂ且Ｃ则ＡＣ上，Ｄ＝２ＤＢ，ＢＡＤ＝．，如图１以ＡＢ所在的直线为ｘ轴，ＡＣ所在的直线为ｙ轴建立直角、设Ｂ（坐标系Ａ－ｘ６，０）ｙ． → 、，先由ＣＣ（０，ａ）Ｄ（ｘ，Ｄ＝ｙ）
所以ｘ－２ｏｓｙ＝ｃ φ＋１１
３槡
图１
１１令ｔ＝ａ２＞０，则式①可式 ① 可得ｙ＝－ａ６＋ａ４．２２１３１２２化为ｙ＝－ｔ求导得ｙｍａ．＋ｔ，ｘ＝２２２７本题是最值问题求解，利用坐标系表示出关键点，构建函数关系，思路比较清晰．
例４在单位圆Ｏ上的２点Ａ、Ｂ满足 ∠ＡＯＢ＝，点是单位圆上的动１２０ ° Ｃ → → → 点，试求ＯＣ＝ｘＯＡ＋ｙＯＢ，的取值范围ｘ－２．ｙ如图５，以Ｏ为原点建立平面直角坐标，系Ｏ－ｘ１，ｙ设Ａ点坐标为（
Ａ、Ｂ、Ｃ是直线ｌ上３点，Ｐ是直线ｌ外一点，若
ＡＢ＝ＢＣ＝ａ，ＰＢ＝ ∠Ａ →·→ ，，且 ∠Ｂ记 ∠Ｐ则Ｐ９０ ° ＰＣ＝４５ ° ＢＡ＝θ，ＡＰＣ＝（仅用ａ表示）．
分析解决本题的第一要务是如何合理建系．再依靠三角形三边与已知角的关系确定点Ａ、Ｃ的坐 → → ２２在求出Ｐ找条件解出ｓ标，Ａ· ＰＣ＝－ａｓｉｎθ 后，ｉｎθ 即可．例３如图３所示，在直角三角形ＡＢＣ中，Ｅ为 → → · 斜边Ａ则（Ｂ的中点，ＣＤ ⊥ＡＢ，ＡＢ＝１，ＣＡ· ＣＤ） → → ）（ＣＡ· ＣＥ的最大值是．如图４所示，建立直设角坐标系Ｏ－ｘｙ，、且Ａ（ａ，０）Ｂ（０，ｂ）
１槡３ → ，由 ∠Ａ因为Ｏ０）ＯＢ＝１２０ °得Ｂ（－，）．Ｃ＝ｘ２２ → → ，ＯＢ所以ＯＡ＋ｙｙ槡１槡３３ｙ → ）ＯＣ＝ｘ（１，０）＋－，）＝（ｘ－，．ｙ（２２２２又因为Ｃ点为圆上一动点，根据圆的参数方程可３ｙ → （ｙ，槡），设Ｏ解得Ｃ＝ｘ－＝（ｃｏｓｓｉｎφ） φ，２２
·技巧聚焦·
ａｂ，所以Ｅ（，）而Ｄ的坐标可以由ＡＢ、ＣＤ的２２直线方程交点解出．ｘｙａ２，，由ｌ＝１，ｌａｂａ２ｂ）ｙ＝ｘ得Ｄ（ＡＢ：＋ＣＤ：ａｂｂ
→ → ） → → ）１４２所以设ｙ＝（ＣＡ· ＣＤ（ＣＡ· ＣＥ＝ａｂ．２问题到这里就转变成了函数的求最值问题，结合
２ａ２＋ｂ＝１．
图２
烄３槡ｘ＝ｃｏｓｉｎφ， φ＋３ｓ烅２３槡ｓｉｎφ．ｙ＝３烆
①ห้องสมุดไป่ตู้
图３图４
４３槡ｓｉｎφ－ｓｉｎφ＝ｃｏｓ φ－３３ π （，即－２≤ｘ－２３ｓｉｎφ＝２ｃｏｓｙ≤２．槡 φ＋３）平面向量具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合思想的重要体现，平面向量与几何问题的综合应用通常涉及向量角度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，而坐标法正是连接他，因此在高中数学教学与备考复习中，们的一个桥梁．应注重平面向量的几种形式转化的训练，力求在函数、三角函数、不等式、几何等问题中渗透平面向量的知识，巧用坐标系解答考题．（作者单位：江苏省南京市高淳区淳辉高级中学）
图５
ａ → （，，，所以Ｄ（２ＤＢ得ｘｙ－ａ）＝２（６－ｘ，－４，）ｙ）３ａ → → · · （所以ＡＢＡＤ＝（６，０）４，）＝２４．３本题是定值求解问题，只有ＡＣ的长度不确
），定，所以建坐标系时，把Ｃ设为（以此０，ａ → → ，、表示Ｄ点坐标完成ＡＢＡＤ的坐标表示．例２如图２所示，