3.5群的自同构群

§8 群的自同构群
给定一个群，可以有各种方式产生新的群。

比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。

本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。

1. 自同构群的定义：
定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。

证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。

这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。

又因为x M ∀∈有
11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅== 即1
σ-也是M 的一个自同构。

群的定义的第3条成立。

另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。

所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。

定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。

推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。

由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。

例1 求Klein 四元群
{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c ==
的自同构群。

解 4Aut K σ∀∈。

由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。

又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。

每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。

例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,L .
由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ≅。

2.循环群的自同构群
定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群；
（2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ϕ 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。

证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。

因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。

例如， 设G a =<>是由a 生成的循环群，则当k 是小于n 且与n 互素的
正整数时，k a 也是G 的生成元，即k G a =<>。

此时，令
:k G G σ→，()k k a a σ=，则有()i ik k a a σ=，且i j a a ≠时，()()i j k k a a σσ≠，
()()()()()i j i j i j k ik jk i j k k k k a a a a a a a a σσσσ++⋅====， 即k σ是G 的自同构。

由于无限循环群只有2个生成元，n 阶
循环群只有()n ϕ个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和()n ϕ阶的群。

例2 （1）求G a =<>，||4a =，4阶循环群的自同构群。

解 (4)2ϕ=，两个生成元为3,a a ，从而{},Aut G εσ=，其中
2323e a a a e a a a ε⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭是恒等置换，2332e a a a e a a a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭。

（2）求G a =<>，||5a =，5阶循环群的自同构群。

(5)4ϕ=，4个生成元为234,,,a a a a ，从而{}123,,,Aut G εσσσ=，其中，ε是恒等置换，2341243e a a a a e a a a a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭， 2342342e a a a a e a a a a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭，2343432e a a a a e a a a a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭。

推论2 无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同 构。

证明 由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素数，所有2阶群都彼此同构，都与2次单位根群同构。

注意：定理2说明一件事实，即不同的循环群其自同构群可 以相同。

3. 内自同构群
定理3 设G 是一个群，a G ∈，则
（1）1:,()a
x axa x G σ-→∀∈是G 的一个自同构，称为G 的内自同构；
（2）G 的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为 G 的内自同构群，记为Inn G ；
（3）Inn Aut G G <。

证明 （1）易知a σ是G 的一个双射变换。

又
111()()()()()()a
a a xy a xy a axa aya x y σσσ---===， 所以a σ是G 的一个自同构。

（2）设a σ与b σ是G 的任何两个自同构，则x G ∀∈， 1111()(())()()()()()a b a b a ab x x bxb a bxb a ab x ab x σσσσσσ----=====， 即有a b ab σσσ=仍是一个内自同构，此表明Inn G 关于变换的乘法封闭。

又易知()11
Inn a a G σσ--=∈，且e σε=是幺元， 结合律显然成立，所以Inn G 关于变换的乘法作成一个群。

（3）,Aut Inn a G G τσ∀∈∀∈，x G ∀∈。

令1()x y τ-=，即()y x τ=， 则1111()()()()()()()()()()a a a x y aya a y a a x a x ττσττσττττττσ----=====， 由x 的任意性有1()Inn a a G ττστσ-=∈，所以Inn Aut G G <。

注意：设N G <，则a G ∀∈有
1aNa N -⊆，即()a N N σ⊆，亦即N 对G 的任何内自同构都保持不变；反之，若G 的一个子
群有此性质，则它必是G 的正规子群。

这就是说，G 的正规子群就是对G 的任何内自同构都保持不变的子群：
,()Inn N G G N N σσ⇔∀∈⊆<。

因此，也常称正规子群为不变子群。

群的中心： 称(){|,}C G a ax xa x G ==∀∈为群的中心，即群G 的中心就是与G 的所有元素都可交换的元素组成的集合。

根据中心的定义，显然有()C G G <。

定理4. .()Inn G G C G ≅
证明 利用同态基本定理。

令
:Inn G G ϕ→，()()a a a G ϕσ=∀∈，
显然，这样定义的ϕ是满射。

由定理3知a b ab σσσ=，即 ()()()ab a b ϕϕϕ=，所以ϕ是满同态。

又
{}{}{}
(),,(),,Ker a a a a a G a a G a x x a G x G ϕϕεσεσ==∈==∈==∈∀∈ {}
{}1,,,,()a axa x a G x G a ax xa a G x G C G -==∈∀∈==∈∀∈=。

由同态基本定理，有.()Inn G G C G ≅
注意：定理4表明，要求G 的内自同构群Inn G ，只需求出 G 的中心()C G ，再作商群()G C G ,即得Inn G ，所以求一个群的内自同构群相对容易些。

但是要求出一个群的自同构群Aut G ，一般来说是非常困难的。

这是因为，在大多数情况下，一个群本身的性质不能转移到它的自同构群上去。

例如，
由例1知，交换群的自同构群可以是非交换群，43Aut K S ≅；推论2表明，不同构的群它们的自同构群可以同构。

但是，有些群如素数阶循环群的自同构群能够完全确定。

定理4. 设G a =<>是由a 生成的p 阶循环群，p 是素数，则
Aut G 是1p -阶的群，且*,Aut G p Z ≅<⋅>。

这里{}*1,2,,1p Z p =-L ，乘法指模p 乘法。

证明 略。

4。

正规子群的推广
前面有，正规子群就是对G 的所有内自同构都保持不变的子群，将这一概念推广就得到：
（1）特征子群：对群G 的所有自同构都保持不变的子群叫做G 的一个特征子群，即Aut G σ∀∈都有()N N σ⊆。

例3，任何群G 的中心都是G 的特征子群。

证明 只需证明Aut G σ∀∈都有(())()C G C G σ⊆，亦即Aut G σ∀∈，()x C G ∀∈都有()()x C G σ∈。

验证：a G ∀∈，
111()()(())(())(())x a x a x a a x σσσσσσσσ---=== 11(())(())()()a x a x a x σσσσσσ--===，
所以()()x C G σ∈，结论成立。

注意：显然，特征子群一定是正规子群；但反之不成立， 即正规子群不一定是特征子群。

例如，取4{,,,}G K e a b c ==，{,}N e a =，则N G <（4K 是交换群）。

取44:K K σ→，(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则前
面例1已验证σ是4K 的一个自同构，对此自同构
(){,}{,}N e b N e a σ=⊄=，
所以4K 不是特征子群。

（2）全特征子群：设H G ≤。

如果H 对G 的所有自同态都保持不变，即对G 的每个自同态ϕ都有()H H ϕ⊆，则称H 为G 的一个全特征子群。

例4 证明：循环群G a =<>的子群都是全特征子群。

证明 由于循环群的子群还是循环群，所以可设s H a =<>。

例:G G ϕ→是任何自同态，则存在t ，使得 ()t
a a ϕ=。

于是
sk a H ∀∈，有()()()sk sk t s kt a a a H ϕ==∈，所以H 是G 的一个全特征子群。

注意：显然，全特征子群一定是特征子群；但反之不成立，即特征子群不一定是全特征子群。

例如，群的中心总是特征子群（例3），但不一定是全特征子群。

例5 有理数域Q 上的2阶线性群2()G GL Q =的中心
{}(),,0,C G A A G A aI a a Q =∈=≠∈（高等代数结论）， 则()C G 不是全特征子群。

证明 首先A G ∀∈，即A 为有理数域上的2阶满秩方阵，则
行列式||A 是一个有理数。

因此可令()||2n A b A a =⋅，其中,a b
是奇数，()n A 是与A 有关的一个正整数，由A 唯一确定。

设()||2n B d B c =⋅，其中,c d 是奇数。

则()()||||||2n A n B bd AB A B ac
+==⋅， ,bd ac 是奇数，所以()()()n AB n A n B =+。

于是令
:G G ϕ→，1()01n A A ⎛⎫→ ⎪⎝⎭。

由于 1()1()()1()1()()()()01010
101n AB n A n B n A n B AB A B ϕϕϕ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故ϕ是G 的一个自同态。

关于此自同态，取
202()02A I C G ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则2||42A ==，()2n A =，所以 1
2()()0
1A C G ϕ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭，这说明()C G 不是全特征子群。