3.5群的自同构群

§8 群的自同构群

给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。

1. 自同构群的定义：

定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。

证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。

又因为x M ∀∈有

11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅== 即1

σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。

推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。

例1 求Klein 四元群

{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c ==

的自同构群。

解 4Aut K σ∀∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,L .

由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ≅。

2.循环群的自同构群

定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群；

（2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ϕ 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。

证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。

因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。例如， 设G a =<>是由a 生成的循环群，则当k 是小于n 且与n 互素的

正整数时，k a 也是G 的生成元，即k G a =<>。此时，令

:k G G σ→，()k k a a σ=，则有()i ik k a a σ=，且i j a a ≠时，()()i j k k a a σσ≠，

()()()()()i j i j i j k ik jk i j k k k k a a a a a a a a σσσσ++⋅====， 即k σ是G 的自同构。由于无限循环群只有2个生成元，n 阶

循环群只有()n ϕ个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和()n ϕ阶的群。

例2 （1）求G a =<>，||4a =，4阶循环群的自同构群。

解 (4)2ϕ=，两个生成元为3,a a ，从而{},Aut G εσ=，其中

2323e a a a e a a a ε⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭是恒等置换，2332e a a a e a a a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭

。 （2）求G a =<>，||5a =，5阶循环群的自同构群。 (5)4ϕ=，4个生成元为234,,,a a a a ，从而{}123,,,Aut G εσσσ=，其中，ε是恒等置换，2341243e a a a a e a a a a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭， 2342342e a a a a e a a a a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭，2343432e a a a a e a a a a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭

。

推论2 无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同 构。

证明 由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素数，所有2阶群都彼此同构，都与2次单位根群同构。

注意：定理2说明一件事实，即不同的循环群其自同构群可 以相同。

3. 内自同构群

定理3 设G 是一个群，a G ∈，则

（1）1:,()a

x axa x G σ-→∀∈是G 的一个自同构，称为G 的内自同构；

（2）G 的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为 G 的内自同构群，记为Inn G ；

（3）Inn Aut G G <。

证明 （1）易知a σ是G 的一个双射变换。又

111()()()()()()a

a a xy a xy a axa aya x y σσσ---===， 所以a σ是G 的一个自同构。

（2）设a σ与b σ是G 的任何两个自同构，则x G ∀∈， 1111()(())()()()()()a b a b a ab x x bxb a bxb a ab x ab x σσσσσσ----=====， 即有a b ab σσσ=仍是一个内自同构，此表明Inn G 关于变换的乘法封闭。又易知()11

Inn a a G σσ--=∈，且e σε=是幺元， 结合律显然成立，所以Inn G 关于变换的乘法作成一个群。

（3）,Aut Inn a G G τσ∀∈∀∈，x G ∀∈。令1()x y τ-=，即()y x τ=， 则1111()()()()()()()()()()a a a x y aya a y a a x a x ττσττσττττττσ----=====， 由x 的任意性有1()Inn a a G ττστσ-=∈，所以Inn Aut G G <。

注意：设N G <，则a G ∀∈有

1aNa N -⊆，即()a N N σ⊆，亦即N 对G 的任何内自同构都保持不变；反之，若G 的一个子