变异源分析-方差分析
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6
丙组 5.6 3.6 4.5 5.1 4.9 4.7 6
秘密 Proprietary Confidential▲
②组间变异（由于所接受的处理因素不同而致各
组间大小不等）用组间离均差平方和SS
。
组间
来表示
S组 S 间i g1ni(XiX)2i g1T nii2C
Xi
X
各组均数 SS之组间间相差越大，它S们S 组与间 总均数 的差
当X是离散型或连续型, Y是连续型变量时使用. 是对“均值是否相等”的检验方法
1sample t test
ANOVA的概念(3) – 路径分析
秘密 Proprietary Confidential▲
2sample t test
ANOVA
包含1个水平的X变量 均值比较
稳定性研究 (必要时)
分布的形态
即 （1）组间变异：甲、乙、丙三个组大鼠全肺湿重 各不相等（此变异反映了处理因素的作用，以及随 机误差的作用 ）
（2）组内变异：各组内部大鼠的全肺湿重各不相 等（此变异主要反映的是随机误差的作用）
各部分变异的计算：
秘密 Proprietary Confidential▲
①总变异（全部试验数据间大小不等）用总离
我们要观察的一个 input 变量(因子)有多个样本时, 我们实际 上在实施 单因子实验 (Single Factor Experiment).
我们要分析对象的 因子是否有水平间的差异 • 确定3个供应商的平均交货期是否有差异 • 确定某个机器的设定值在5个水平间变化时，零件的尺寸是否 不同
现在开始做第一次实验!
作用 )，此时组间均方
MS 组间
远大于M组S内组内均方
，则F值远大于1，各组均数间的差异
有统计学意义。故依据 F 值的大小
可判断各组之间有无差别。
秘密 Proprietary Confidential▲
可见，方差分析的基本思想就是根据实验设计 的类型，将全部测量值总的变异分解成两个或多个 部分，每个部分的变异可由某个因素的作用（或某 几个因素的作用）加以解释，通过比较各部分的均
…观察.
ANOVA的原理 (1) – 总变动 秘密 Proprietary Confidential▲
因子A的水平是I个,各水平的反复数都是m次,则数据矩阵 排列成下面的样子
实验的 反复
因子的水平
A1 A2 A3
x11 x21 x31 x12 x22 x32 x13 x23 x33 x14 x24 x34 x15 x25 x35 x1m x2m x3m
有多个 X 变量
X Data
离散型
连续型
离散型
离散型
Y Data
Y Data
连续型
One-way ANOVA Means/
Medians Tests
Regression
连续型
2, 3, 4 way... ANOVA
Medians Tests
Multiple Regression
Y 数据 有多个 Y变量 有1个 Y 变量
练习：
ANOVA的概念(1) - ANOVA是什么?秘密 Proprietary Confidential▲
在什么情况下使用?
• 当有3个以上水平时检验均值差异.
• One way ANOVA
• 当有2个以上因子时检验均值的差异.
• Two, Three … way ANOVA
用什么原理分析?
l m
lm
lm
xijx2
xijxi 2
xi x2
i1 j1
i1 j1
i1 j1
l m
2xijxi xi x i1 j1
ANOVA的原理 (3) – 总变动
秘密 Proprietary Confidential▲
上面的第三项变为如下.
l m
l
m
xij xi xi x xi x xij xi
方与随机误差项均方的大小，借助 F 分布来推断各
研究因素对实验结果有无影响。
二、方差分析的应用条件
秘密 Proprietary Confidential▲
（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布； （2）各组总体方差相等，即方差齐性。
例如：某企业为分析研究成品车间的产品质量控制秘问密 Proprietary Confidential▲ 题，对车间的5个班组产品合格率进行抽查，在每个班 组独立抽取5个合格品率数据构成随机样本。
均差平方和SS 总 来表示。
g n i
g n i
S总 S （ X ijX )2 X i2j C X 2 C
i 1j 1
i 1j 1
其中
g
C(
i1
jn i1Xij)2/N(N X)2
甲组
4.2
3.3
3.7
4.3
4.1
3.3
ni
6
秘密 Proprietary Confidential▲
乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2
1、采用按不同因子的不同水平有计划进行分层，然后抽样，不得影响现 有的生产条件；
2、对数据进行详尽的分析得到各因子在产生响应变量的变异方面的贡献 率，确认减少变异的主攻方向。
秘密 Proprietary Confidential▲
例如：我们关心生产的螺钉的直径的波动，到仓库随 机抽取200颗，发现方差大得超出我的想象。但随机收 集的数据能说明什么呢？只能说明产品性能的总体波 动太大，而我们希望更进一步的信息，到底什么原因 造成这么大波动，必须从不同维度有计划的分层抽样 。
总变异，每一观察值与总均值的离差的平方的总和。 总变异=组内离差+组间离差 在方差分析中，假定组内差异（每一班组的方差）是随机性的，组间的差 异（每一班组均值与总均值的方差）有随机性也有系统性的，也就是系统 性的。 辨别方法：如果在一定显著水平下，组间不存在显著差异，在概率程度上 认为组间差异是随机的。如过是系统的，说明差异是影响的主要原因。
ANOVA的原理 (2) – 总变动
秘密 Proprietary Confidential▲
总均值 x 是用右边的公式求.
x T T lm n
利用各个DATA x ij 和总均值 x 把总均值 x 分解为两个,
同下表示.
(x ij x) (x ij x i) (x i x)
左边和右边平方时同下.
3.3
ni
6
乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2
6
丙组 5.6 3.6 4.5 5.1 4.9 4.7 6
秘密 Proprietary Confidenonfidential▲
从以上资料可看出，三个组的数据各不相同，这 种差异（总变异）可以分解成两部分：
观察值
班组
1
2
3
4
5
81
83
81
81
81
82
80
82
82
82
优等品
率 84
85
84
84
84
86
86
86
86
86
84
84
84
84
84
指出方差分析的因素、水平和观察值？
班组是分析的因素，不同组即水平，合格率观察值关键产品质量特性。
研究班组间的差异是随机性的还是系统性的，就是方差分析研究的内容
秘密 Proprietary Confidential▲
③组内变异（同一处理组内部试验数据大小不等）
用组内离均差平方和 SS 组内 来表示。
g ni
SS组内 （Xij Xi)2 i1 j1
三个变异之间的关系：
秘密 Proprietary Confidential▲
S总 SS组 S 间 S组 S 内
v总v组间 v组内
其中： v总N1 v组间g1 v组内Ng
值就越大，
越大；反之， 越小。
甲组
4.2
3.3
3.7
4.3
4.1
3.3
ni
6
秘密 Proprietary Confidential▲
乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2
6
丙组 5.6 3.6 4.5 5.1 4.9 4.7 6
秘密 Proprietary Confidential▲
M组 S内 S组 S 内 /v组内
MS 的大小就反映了各部分变异的平均大
小。
秘密 Proprietary Confidential▲
方差分析就是通过比较组内均方 MS组内和组间 均方 MS组间 的大小关系来判断处理因素有无效应。
检验统计量： F MS 组间 MS 组内
v1 v组间 v2 v组内
• 把所有实验结果的方差,对几个因子的方差和其他误差的方差 来区分,并分析均值的差异的方法
• 利用“总方差 = 因子效果的方差 + 误差方差”
目的: 提供一种比较两个以上总体均值的客观方法。
ANOVA的概念(2) - 包含在哪里?
有1个X变量
X数据
X Data
离散型
连续型
Chi-Square
秘密 Proprietary Confidential▲
i1 j1
i1
j1
l
xi x00 i1
同样第8页式从写如下,这意义的略写SS(Sum of Squares)来表示.
l m
lm
lm
x ij x2 x ij x i2 x i x2
i 1j 1
i 1j 1
i 1j 1
SS(total)
SS(error)
SS(factor)
ANOVA的原理 (4) – 自由度
秘密 Proprietary Confidential▲
变异源分析
-方差分析
秘密 Proprietary Confidential▲
例如： 比较各省籍(台湾、大陆、客家人)
人士在收入及教育年数上的差异。 大学中各年级的同学智商是否有别
？ 三种不同的教学方法对于学生的成
绩是否有影响？
变异源
秘密 Proprietary Confidential▲
自由度是?
在一个系统中不影响其他变量能够独立移动的数 Ex) a*b*c = 4 这式中变量的自由度是 2 .
假如 a,b定为 1,2, c必须是 2 . 即能够自然的移动的变量。
自由度的计算
SS(total)的自由度 T 是,
lm1
SS(factor)的自由度 A 是,
秘密 Proprietary Confidential▲
离均差平方和只能反映变异的绝对大小。 变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自 由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离 均差平方和不能直接比较，须除以相应的自由度，该
比值称均方差，简称均方（MS）。
M组 S间 S组 S 间 /v组间
方差分析的基本思想借助以下例题予以说明：
例9-1 为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响 ，将18只大鼠随机分到甲、乙、丙3个组，每组6只 ，分别在地面办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘，12 周后测量大鼠全肺湿重（g），数据见表9—2，问不 同环境下大鼠全肺湿重有无差别？
甲组
4.2
3.3
3.7
4.3
4.1
l 1
SS(error)的自由度 E 是, lml
散布 OR 中心的 位置
包含2个水平的X变量均 值比较
稳定性
分布的形态 散布(Spread) 中心的位置 (Centering)
包含3个以上水平X变量的 均值比较
稳定性
分布的形态 散布(Spread) 中心的位置 (Centering)
One way ANOVA的概念(1) – 概要秘密 Proprietary Confidential▲
A4 A5 A6 … Al
x41 x51 x61 … xl1 x42 x52 x62 … xl2 x43 x53 x63 … xl3 x44 x54 x64 … xl4 x45 x55 x65 … xl5 x4m x5m x6m … xlm
合计 T1 T2 T3 T4 T5 T6 … Tl
T
均值 x1 x2 x3 x4 x5 x6 … xl x
精品课件
如果各组的总体均数相等，即无处理
因素的作用，则组内变异和组间变异
都只反映随机误差的大小，此时组间
均MS方组M间 S组间
和M组S内组内 均M方S 组内
大小相当，即 F 值则接近1，各组均
数间的差异没有统计学意义；反之，
如果处理有作用，则组间变异不仅包
含随机误差，还有处理因素引起的变
异 ( 组间变异主要反映处理因素的
目录
秘密 Proprietary Confidential▲
ANOVA(方差分析)的概念 One way ANOVA的概念 ANOVA的原理 应用MINITAB 实习 – 弹射器 再多想一想 简要及 附录
秘密 Proprietary Confidential▲
一、方差分析的基本思想
秘密 Proprietary Confidential▲
分析的一般方法
变异源分析是指通过对过程的有关数据的统计分析，得出变异由哪几部 分原因组成，并且定量给出每部分原因所产生的变异在总变异中占的比 例。主要是分析问题，尚未考虑解决问题。主要统计工具就是“方差分 析”和更深入的有关差分量的计算。
一般方法：
丙组 5.6 3.6 4.5 5.1 4.9 4.7 6
秘密 Proprietary Confidential▲
②组间变异（由于所接受的处理因素不同而致各
组间大小不等）用组间离均差平方和SS
。
组间
来表示
S组 S 间i g1ni(XiX)2i g1T nii2C
Xi
X
各组均数 SS之组间间相差越大，它S们S 组与间 总均数 的差
当X是离散型或连续型, Y是连续型变量时使用. 是对“均值是否相等”的检验方法
1sample t test
ANOVA的概念(3) – 路径分析
秘密 Proprietary Confidential▲
2sample t test
ANOVA
包含1个水平的X变量 均值比较
稳定性研究 (必要时)
分布的形态
即 （1）组间变异：甲、乙、丙三个组大鼠全肺湿重 各不相等（此变异反映了处理因素的作用，以及随 机误差的作用 ）
（2）组内变异：各组内部大鼠的全肺湿重各不相 等（此变异主要反映的是随机误差的作用）
各部分变异的计算：
秘密 Proprietary Confidential▲
①总变异（全部试验数据间大小不等）用总离
我们要观察的一个 input 变量(因子)有多个样本时, 我们实际 上在实施 单因子实验 (Single Factor Experiment).
我们要分析对象的 因子是否有水平间的差异 • 确定3个供应商的平均交货期是否有差异 • 确定某个机器的设定值在5个水平间变化时，零件的尺寸是否 不同
现在开始做第一次实验!
作用 )，此时组间均方
MS 组间
远大于M组S内组内均方
，则F值远大于1，各组均数间的差异
有统计学意义。故依据 F 值的大小
可判断各组之间有无差别。
秘密 Proprietary Confidential▲
可见，方差分析的基本思想就是根据实验设计 的类型，将全部测量值总的变异分解成两个或多个 部分，每个部分的变异可由某个因素的作用（或某 几个因素的作用）加以解释，通过比较各部分的均
…观察.
ANOVA的原理 (1) – 总变动 秘密 Proprietary Confidential▲
因子A的水平是I个,各水平的反复数都是m次,则数据矩阵 排列成下面的样子
实验的 反复
因子的水平
A1 A2 A3
x11 x21 x31 x12 x22 x32 x13 x23 x33 x14 x24 x34 x15 x25 x35 x1m x2m x3m
有多个 X 变量
X Data
离散型
连续型
离散型
离散型
Y Data
Y Data
连续型
One-way ANOVA Means/
Medians Tests
Regression
连续型
2, 3, 4 way... ANOVA
Medians Tests
Multiple Regression
Y 数据 有多个 Y变量 有1个 Y 变量
练习：
ANOVA的概念(1) - ANOVA是什么?秘密 Proprietary Confidential▲
在什么情况下使用?
• 当有3个以上水平时检验均值差异.
• One way ANOVA
• 当有2个以上因子时检验均值的差异.
• Two, Three … way ANOVA
用什么原理分析?
l m
lm
lm
xijx2
xijxi 2
xi x2
i1 j1
i1 j1
i1 j1
l m
2xijxi xi x i1 j1
ANOVA的原理 (3) – 总变动
秘密 Proprietary Confidential▲
上面的第三项变为如下.
l m
l
m
xij xi xi x xi x xij xi
方与随机误差项均方的大小，借助 F 分布来推断各
研究因素对实验结果有无影响。
二、方差分析的应用条件
秘密 Proprietary Confidential▲
（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布； （2）各组总体方差相等，即方差齐性。
例如：某企业为分析研究成品车间的产品质量控制秘问密 Proprietary Confidential▲ 题，对车间的5个班组产品合格率进行抽查，在每个班 组独立抽取5个合格品率数据构成随机样本。
均差平方和SS 总 来表示。
g n i
g n i
S总 S （ X ijX )2 X i2j C X 2 C
i 1j 1
i 1j 1
其中
g
C(
i1
jn i1Xij)2/N(N X)2
甲组
4.2
3.3
3.7
4.3
4.1
3.3
ni
6
秘密 Proprietary Confidential▲
乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2
1、采用按不同因子的不同水平有计划进行分层，然后抽样，不得影响现 有的生产条件；
2、对数据进行详尽的分析得到各因子在产生响应变量的变异方面的贡献 率，确认减少变异的主攻方向。
秘密 Proprietary Confidential▲
例如：我们关心生产的螺钉的直径的波动，到仓库随 机抽取200颗，发现方差大得超出我的想象。但随机收 集的数据能说明什么呢？只能说明产品性能的总体波 动太大，而我们希望更进一步的信息，到底什么原因 造成这么大波动，必须从不同维度有计划的分层抽样 。
总变异，每一观察值与总均值的离差的平方的总和。 总变异=组内离差+组间离差 在方差分析中，假定组内差异（每一班组的方差）是随机性的，组间的差 异（每一班组均值与总均值的方差）有随机性也有系统性的，也就是系统 性的。 辨别方法：如果在一定显著水平下，组间不存在显著差异，在概率程度上 认为组间差异是随机的。如过是系统的，说明差异是影响的主要原因。
ANOVA的原理 (2) – 总变动
秘密 Proprietary Confidential▲
总均值 x 是用右边的公式求.
x T T lm n
利用各个DATA x ij 和总均值 x 把总均值 x 分解为两个,
同下表示.
(x ij x) (x ij x i) (x i x)
左边和右边平方时同下.
3.3
ni
6
乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2
6
丙组 5.6 3.6 4.5 5.1 4.9 4.7 6
秘密 Proprietary Confidenonfidential▲
从以上资料可看出，三个组的数据各不相同，这 种差异（总变异）可以分解成两部分：
观察值
班组
1
2
3
4
5
81
83
81
81
81
82
80
82
82
82
优等品
率 84
85
84
84
84
86
86
86
86
86
84
84
84
84
84
指出方差分析的因素、水平和观察值？
班组是分析的因素，不同组即水平，合格率观察值关键产品质量特性。
研究班组间的差异是随机性的还是系统性的，就是方差分析研究的内容
秘密 Proprietary Confidential▲
③组内变异（同一处理组内部试验数据大小不等）
用组内离均差平方和 SS 组内 来表示。
g ni
SS组内 （Xij Xi)2 i1 j1
三个变异之间的关系：
秘密 Proprietary Confidential▲
S总 SS组 S 间 S组 S 内
v总v组间 v组内
其中： v总N1 v组间g1 v组内Ng
值就越大，
越大；反之， 越小。
甲组
4.2
3.3
3.7
4.3
4.1
3.3
ni
6
秘密 Proprietary Confidential▲
乙组 4.5 4.4 3.5 4.2 4.6 4.2
6
丙组 5.6 3.6 4.5 5.1 4.9 4.7 6
秘密 Proprietary Confidential▲
M组 S内 S组 S 内 /v组内
MS 的大小就反映了各部分变异的平均大
小。
秘密 Proprietary Confidential▲
方差分析就是通过比较组内均方 MS组内和组间 均方 MS组间 的大小关系来判断处理因素有无效应。
检验统计量： F MS 组间 MS 组内
v1 v组间 v2 v组内
• 把所有实验结果的方差,对几个因子的方差和其他误差的方差 来区分,并分析均值的差异的方法
• 利用“总方差 = 因子效果的方差 + 误差方差”
目的: 提供一种比较两个以上总体均值的客观方法。
ANOVA的概念(2) - 包含在哪里?
有1个X变量
X数据
X Data
离散型
连续型
Chi-Square
秘密 Proprietary Confidential▲
i1 j1
i1
j1
l
xi x00 i1
同样第8页式从写如下,这意义的略写SS(Sum of Squares)来表示.
l m
lm
lm
x ij x2 x ij x i2 x i x2
i 1j 1
i 1j 1
i 1j 1
SS(total)
SS(error)
SS(factor)
ANOVA的原理 (4) – 自由度
秘密 Proprietary Confidential▲
变异源分析
-方差分析
秘密 Proprietary Confidential▲
例如： 比较各省籍(台湾、大陆、客家人)
人士在收入及教育年数上的差异。 大学中各年级的同学智商是否有别
？ 三种不同的教学方法对于学生的成
绩是否有影响？
变异源
秘密 Proprietary Confidential▲
自由度是?
在一个系统中不影响其他变量能够独立移动的数 Ex) a*b*c = 4 这式中变量的自由度是 2 .
假如 a,b定为 1,2, c必须是 2 . 即能够自然的移动的变量。
自由度的计算
SS(total)的自由度 T 是,
lm1
SS(factor)的自由度 A 是,
秘密 Proprietary Confidential▲
离均差平方和只能反映变异的绝对大小。 变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自 由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离 均差平方和不能直接比较，须除以相应的自由度，该
比值称均方差，简称均方（MS）。
M组 S间 S组 S 间 /v组间
方差分析的基本思想借助以下例题予以说明：
例9-1 为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响 ，将18只大鼠随机分到甲、乙、丙3个组，每组6只 ，分别在地面办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘，12 周后测量大鼠全肺湿重（g），数据见表9—2，问不 同环境下大鼠全肺湿重有无差别？
甲组
4.2
3.3
3.7
4.3
4.1
l 1
SS(error)的自由度 E 是, lml
散布 OR 中心的 位置
包含2个水平的X变量均 值比较
稳定性
分布的形态 散布(Spread) 中心的位置 (Centering)
包含3个以上水平X变量的 均值比较
稳定性
分布的形态 散布(Spread) 中心的位置 (Centering)
One way ANOVA的概念(1) – 概要秘密 Proprietary Confidential▲
A4 A5 A6 … Al
x41 x51 x61 … xl1 x42 x52 x62 … xl2 x43 x53 x63 … xl3 x44 x54 x64 … xl4 x45 x55 x65 … xl5 x4m x5m x6m … xlm
合计 T1 T2 T3 T4 T5 T6 … Tl
T
均值 x1 x2 x3 x4 x5 x6 … xl x
精品课件
如果各组的总体均数相等，即无处理
因素的作用，则组内变异和组间变异
都只反映随机误差的大小，此时组间
均MS方组M间 S组间
和M组S内组内 均M方S 组内
大小相当，即 F 值则接近1，各组均
数间的差异没有统计学意义；反之，
如果处理有作用，则组间变异不仅包
含随机误差，还有处理因素引起的变
异 ( 组间变异主要反映处理因素的
目录
秘密 Proprietary Confidential▲
ANOVA(方差分析)的概念 One way ANOVA的概念 ANOVA的原理 应用MINITAB 实习 – 弹射器 再多想一想 简要及 附录
秘密 Proprietary Confidential▲
一、方差分析的基本思想
秘密 Proprietary Confidential▲
分析的一般方法
变异源分析是指通过对过程的有关数据的统计分析，得出变异由哪几部 分原因组成，并且定量给出每部分原因所产生的变异在总变异中占的比 例。主要是分析问题，尚未考虑解决问题。主要统计工具就是“方差分 析”和更深入的有关差分量的计算。
一般方法：