Chapter 4(3) 材料力学(I)第四章 习题课
材料力学(单辉祖)课后习题答案
2-21 .......................................................................................................................................................8
第一章 绪 论
题号
页码
1-3 .....................................................................................................................................................1
= 152.8MPa
查题 2-6 图 σ − ε 曲线，知该杆的轴向应变为 ε = 0.0022 = 0.22%
拉力作用时，有
∆l = lε = (0.200m) × 0.0022 = 4.4 ×10−4 m = 0.44mm
拉力卸去后， ∆l = 0 2. F = 20kN 时
σ
=
F A
=
4 × 20 ×103 N π × 0.0102 m2
=
−49.2MPa
杆内的最大正应力与最大切应力分别为
σ max = σ = 100MPa
τ max
=
σ 2
=
50MPa
2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定
材料的弹性模量 E、比例极限 σ p 、屈服极限 σ s 、强度极限 σ b 与伸长率 δ ，并判断该材料属于
分别为
FN
=
1 2
σmax A
材料力学课件第四章
3kN
C
2kN m
1kN m
A D
FA
6kN m
E
F
B
FB
G
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
4.3
例 题
求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、 4－4和5－5各截面上的内力
6kN m
6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1 2 3 4 5
A
C
2m
FA 13kN
3m
3m
FB 5kN
A
35kN
B
FS x1 20kN
M x1 20x1
0 x1 1 0 x1 1
1m
15
4m
2.5
25kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
kN
0 x2 4
0 x2 4
D
FD
MA
FB
B A
FA
7 qa 4
a
C
a
a
7 qa 4 5 2 qa 4 1 qa 4
7 2 M A qa 4
kN
1 qa 2 32
7 2 qa 4
1 2 qa 4
kNm
例题 4.13
F
叠加法作弯矩图
F
q
B
q
＋
A
A
l
F
l
B
A
l
B
qL F+qL
1/2qL2+FL 1/2qL2
04材料力学(I)第四章
0 x l 0 x l
x qx2 M x qx 2 2
建筑力学
2. 作剪力图和弯矩图
根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如
图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方， 弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁 弯曲时其受拉的边缘一侧)。 (b) Q图 (c)
对于中间铰C的力矩应等于零，还可列出1个独立的平衡
方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知支约束力。 由此也可知，此梁是静定梁。
建筑力学
于是可求得约束力如下：
M
20 10 3 N
C
0 m
3 m 2.5 m 5 10 3 N m FBy 5 m 0
FBy 29 kN
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。
建筑力学
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向 下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁
段上外力对该截面形心的力矩之代数和。
建筑力学
3. 作剪力图和弯矩图 ql QS x qx F 2 0 x l
qlx qx2 M x 2 2 0 x l
由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其 值为 FS,max ql (正值，负值)，发生在两个支座各自的内 Q max 2 ql 2 侧横截面上；最大弯矩其值为 M max 发生在跨中横截 8 面上。
面上的弯矩绝对值最大， Mb 为 M max e （负值)。弯 l 矩图在集中力偶作用处有突
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
材料力学第二版第4章习题答案
材料力学_第二版_范钦珊_第4章习题答案第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。
（A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴；（C ）等截面圆轴与椭圆轴；（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。
正确答案是 A 。
解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。
4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。
设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。
试判断下列结论的正确性。
（A ）max 1τ＞max 2τ； （B ）max 1τ＜max 2τ；（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ； （D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。
正确答案是 C 。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。
4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。
关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。
（A ）234)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。
正确答案是 D 。
解：由max 2max 1ττ=得)1(π16π1643231α-=d M d M xx 即 31421)1(α-=D d（1） )1(222212121α-==D d A A W W （2）（1）代入（2），得 2324211)1(αα--=W W4－4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。
材料力学习题课2~4
梁的正应力和剪应力强度条件：
M max
max
W
z
F S s，max
z，max
max
bI
z
其中Fs为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。
强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
校核强度；
设计截面尺寸；
设计载荷
• 一简支木梁受力如图所示，荷载F=5kN，距离 a=0.7m，材料的许用弯曲正应力[σ]=10MPa， 横截面为h/b=3的矩形。试按正应力强度条件确 定梁横截面的尺寸。
d
dx
静力学关系：
T
Ip
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d ——扭转角沿长度方向变化率。
dx
圆轴扭转时的强度计算
强度条件： [ ] max
对于等截面圆轴：
T [ max
]
([] 称为许用剪应力。)
W
P
强度计算三方面：
① 校核强度：
T max
[
]
max
W
P
② 设计截面尺寸： W
(rad/m)
max
T GI p
180
(/m)
[ ]称为许用单位扭转角。
例 一矩形截面等直钢杆，其截面尺寸为
h=100mm，b=50mm，长度l=2m，在杆两端
作用一对矩为Me=4000N ·m的扭转力偶。钢的
许用切应力[τ]=100MPa，切变模量G=80GPa，
许可单位长度扭转角[θ ′]=1 ﹙°﹚／m，试校核杆的
例 直径为d =1 cm 杆受拉力F =10 kN的作用，
试求最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜 截面上的正应力和剪应力。
材料力学第四章习题选及其解答.docx
4-1. 试求图示各梁中截面1、2、3上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面C或D 。
设p 、q 、a 均为已知。
解：（c ）（1）截开1截面，取右段，加内力（22112322qaa qa a P M qaqa P Q -=⨯-⨯-==+=（3）截开2截面，取右段，加内力（4）求内力2222122qaM a qa a P M qaqa P Q -=+⨯-⨯-==+=（d ）（1）求约束反力N R N R D A 300 100==（2）截开1截面，取左段，加内力(d)B(f)B(c)M=qa 2M M M=qa 2B（3）求1截面内力NmR M N R Q A A 202.010011-=⨯-=-=-=（4）截开2截面，取左段，加内力（5）求2截面内力NmR M N R Q A A 404.010022-=⨯-=-=-=（6）截开3截面，取右段，加内力（7）求3截面内力NmP M N P Q 402.020023-=⨯-===（f ）（1）求约束反力qa R qa R D C 25 21==（2）截开1截面，取左段，加内力Q 1M 12BMB（3）求1截面内力2112121 qa a qa M qa Q -=⨯-=-=（4）截开2截面，取右段，加内力（5）求2截面内力222223qa M a P M qaR P Q D -=-⨯=-=-= 4-3. 已知图示各梁的载荷P 、q 、M0和尺寸a 。
(1)列出梁的剪力方程和弯矩方程；(2)作剪力图和弯矩图；(3)确定∣Q ∣max 和∣M ∣max 。
q(c)M 0=qa 2 (d)(f)(e) (g)q(h)1BM (a)(b) Bq解：（a ）（1）求约束反力Pa M P R A A == 2（2）列剪力方程和弯矩方程⎪⎩⎪⎨⎧∈=-⨯-+⨯=∈-=+⨯=⎩⎨⎧∈=-=∈==),0[ )(2)(],0( 2)(]2,( 02)(),0( 2)(2222211111222111a x Pa a x P M x R x M a x Pa Px M x R x M a a x P R x Q a x P R x Q A A A A A A （3）画Q 图和M 图（4）最大剪力和最大弯矩值(i)q(j)BP=20kN(l)q(k)qM xxPa M P Q ==max max 2（b ）（1）求约束反力223 qa M qa R B B ==（2）列剪力方程和弯矩方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-⨯-=∈-=⎩⎨⎧∈-=∈-=)2,[ )2()(],0[ 21)()2,[ )(],0[ )(2222121112221111a a x a x qa x M a x qx x M a a x qa x Q a x qx x Q （3）画Q 图和M 图（4）最大剪力和最大弯矩值2maxmax 23 qa M qa Q == （c ）（1）求约束反力qBxxqM 0=qa 2M2 2qa M qa R A A ==（2）直接画Q 图和M 图（3）最大剪力和最大弯矩值2max max 2qa M qa Q ==（d ）（1）求约束反力P R R B A == 0（2）直接画Q 图和M 图（3）最大剪力和最大弯矩值Pa M P Q ==max maxxxxx。
材料力学-北京交通大学-4章答案
第四章弯曲内力4.4 设已知题4.4图(a)~(p)所示各梁的载荷 F 、q 、e M 和尺寸a ，(1)列出梁的剪力方程和弯矩方程；(2)作剪力图和弯矩图；(3)确定maxSF 及max M 。
解：(a)如题4.4图(a)所示。
剪立如题4.4图(a 1)所示坐标系。
(1)列剪力方程和弯矩方程。
应用题4.1(a)解法二提供的列剪力方程和弯矩方程的方法。
AC 段 ()()20S F x F x a =<<()()()20M x F x a x a =-<≤CB 段 ()()02S F x a x a =≤≤()()2M x Fa a x a =≤<(2)作剪力图、弯矩图，如题4.4图(a 2)所示。
(3)梁的最大剪力和弯矩为max2SF F =， max M Fa =(b) 如题4.4图(b)所示。
解法同4.4(a)。
剪立题4.4图(b 1)所示坐标系。
(1)列剪力方程和弯矩方程。
AC 段 ()()0S F x qx x a =-≤≤()()2102M x qx x a =-≤≤CB 段 ()()2S F x qa a x a =-≤<()()22a M x qa x a x a ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭(2) 作剪力图、弯矩图，如题4.4图(b 2)所示。
(3) 梁的最大剪力和弯矩为maxSF qa =， 2max32Mqa =(c) 如题4.4图(c)所示。
解法同4.4(a)。
剪立题4.4图(c 1)所示坐标系。
(1)列剪力方程和弯矩方程。
CB 段 ()()023S F x a x a =≤≤()()223M x qa a x a =≤<AC 段 ()()()202S F x q a x x a =-<≤()()()2212022M x q a x qa x a =--+<≤(2) 作剪力图、弯矩图，如题4.4图(c 2)所示。
材料力学第四章
一、 传动轴如图19-5（a ）所示。
主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。
试画出轴的扭矩图。
解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式：117030075.3695509550=⨯==n N M A A (N ·m )3513001195509550=⨯===n N M M B C B (N ·m )4683007.1495509550=⨯==n N M D D (N ·m )（2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。
现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。
BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。
根据平衡条件0=∑x m 得：01=+B n M M3511-=-=B n M M (N ·m )结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。
BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。
所以这一段内扭矩图为一水平线。
同理，在CA 段内：M n Ⅱ＋0=+B C M MⅡn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ468==D n M M Ⅲ(N ·m )根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。
由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径D =90mm ，壁厚t =2.5mm ，工作时的最大扭矩M n ＝1.5kN·m ，材料的许用剪应力][τ＝60MPa 。
材料力学课后习题答案4章
第四章 扭 转题号 页码 4-5.........................................................................................................................................................1 4-7.........................................................................................................................................................2 4-8.........................................................................................................................................................3 4-9.........................................................................................................................................................4 4-11.......................................................................................................................................................6 4-13.......................................................................................................................................................7 4-14.......................................................................................................................................................8 4-19.......................................................................................................................................................8 4-20.......................................................................................................................................................9 4-21.....................................................................................................................................................10 4-22.....................................................................................................................................................12 4-23.....................................................................................................................................................13 4-24.....................................................................................................................................................15 4-26.....................................................................................................................................................16 4-27.....................................................................................................................................................18 4-28.....................................................................................................................................................19 4-29.....................................................................................................................................................20 4-33.....................................................................................................................................................21 4-34.....................................................................................................................................................22 4-35.....................................................................................................................................................23 4-36.. (24)（也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解）4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm ，内径d = 40mm ，扭力偶矩M = 500N ·m ，切变模量G =75GPa 。
材料力学全部习题解答
弹性模量
b
E 2 2 0 M P a 2 2 0 1 0 9P a 2 2 0 G P a 0 .1 0 0 0
s
屈服极限 s 240MPa
强度极限 b 445MPa
伸长率 ll010000m ax2800
由于 280;故0该50 材0料属于塑性材料;
13
解：1由图得
弹性模量 E0 3.550110063700GPa
A x l10.938m m
节点A铅直位移
A ytan 4 l150co sl4 2503.589m m
23
解：1 建立平衡方程 由平衡方程
MB 0 FN1aFN22aF2a
FN 2 FN1
得： FN12F1N22F
l1
l2
2.建立补充方程
3 强度计算 联立方程1和方
程（2）;得
从变形图中可以看出;变形几何关
l
l0
断面收缩率
AAA110000d22d22d2121000065.1900
由于 2故.4 属6 % 于 塑5 性% 材料;
15
解：杆件上的正应力为
F A
4F D2 -d2
材料的许用应力为
要求
s
ns
由此得
D 4Fns d2 19.87mm
s
取杆的外径为
D19.87m m
16
FN1 FN 2
Iz= I（ za） I（ zR ） =1 a2 4
2R4 a4 R 4 =
64 12 4
27
Z
解 a沿截面顶端建立坐标轴z;，y轴不变; 图示截面对z，轴的形心及惯性矩为
0 .1
0 .5
y d A 0 .3 5 y d y2 0 .0 5 y d y
周建方版材料力学习题解答[第四章]
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δ3 3 1 2( 2 1 )
3
2 2
1
4
2Fl EA
Fl EA
(4
2 1) Fl EA
4-6 求图 4-18 所示节点 B 的水平位移和竖向位移。 AB 杆和 BC 杆的抗拉刚度 EA相同。
解：
C
根据静力学容易求得：
FBC
A
FAB B
BD
E GH F
题 4-6 图
FAB F FBC 2 F
2
EA
2
EA
4-5（c）
D
A
C
FO1A
FO1C
FO2C
δ1 δ2
(一）受力分析，反力计算
M C 0 FO1A F
F
M D 0 F 2l FO1C 2l 0
B (二）求变形
因此：FO1C 2F
1
FO1Al EA
Fl EA
2
FO1C 2l EA
2 2
2F 2l EA
2 2 2 Fl EA
1 8
ql 4 EI
5ql 4 24EI
4-15(b)解
（一） C C C1 C2 Fl2 Fl2l 3Fl2 2EI EI 2EI
（二）求 wB
wB
wB1
wB2
Fl3 3EI
Ml2 2EI
Fl3 Fl3 Fl3 3EI 2EI 6EI
ql (2)
(B') 1 ql 2 2
A dx B x
题 4-4 图
4-5 试计算以下各题刚性梁 AB 的 B 处位移（图 4-17）。其它杆件为弹性杆，刚度 EA。
（a）
q
A FDC
D
D' C C'
材料力学第四章PPT课件
180
8 0 1 390 2 42D 0 1 4(1 84 0 )1.89
③右端面转角为：
L
T
dx
220x dx
10x2
0 GPI
0 GPI
GPI
2 0
0.033(弧度）
40Nm T
2021/6/7
dx x
x
29
例7 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500马 力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
202123l的一段杆两截面间相对扭转角单位是弧度为gitl最后叠加值计算可分段求解的受扭构件由多个等截面圆轴组成的正负相对应的正负和扭矩注意202124如图所示阶梯轴
第四章 扭 转
主讲教师：郭慧珍
2021年6月29日星期二
2021/6/7
1
第四章
概述 常见的扭转现象
扭转
传动轴转动
汽车中的转向轴
计算扭转角
f 2
T li i
AC
GI 2021/6/i71
pi
B max
TB RB I PB
100 103 11
(22 4 18 4 )
86.7MPa 32
.. .0.06ra 9d
所以， max86.7MPa 25
§ 4.4 圆轴扭转时的强度和刚度计算
1、圆轴扭转的强度条件：
max
Tmax WP
33
§ 4.5 等直圆杆的扭转超静定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤： 列平衡方程； 找几何方程——变形协调方程；（解题关键） 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
2021/6/7
34
材料力学教学课件-材料力学-第4章modify.ppt
高分子材料 微观结构
关于材料的基本假定
各向同性假定
各向同性假定（isotropy assumption）— 假定弹性体在所有方向上均具有相同的物理 和力学性能。根据这一假定，可以用一个参 数描写各点在各个方向上的某种力学性能。
大多数工程材料虽然微观上不是各向同性 的，例如金属材料，其单个晶粒呈结晶各向 异 性 （ anisotropy of crystallographic ） ， 但当它们形成多晶聚集体的金属时，呈随机 取向，因而在宏观上表现为各向同性。
拉杆
梁将远先于拉杆发生破坏， 而且二者的变形形式也是 完全不同的。可见，在材 料力学中不仅要分析外力， 而且要分析内力。
弹性杆件的外力与内力
内力与内力分量
材料力学中的内力不同于工程静力学中 物体系统中各个部分之间的相互作用力，也 不同于物理学中基本粒子之间的相互作用力， 而是指构件受力后发生变形，其内部各点 （宏观上的点）的相对位置发生变化，由此 而产生的附加内力，即变形体因变形而产生 的内力。这种内力确实存在，例如受拉的弹 簧，其内力力图使弹簧恢复原状；人用手提 起重物时，手臂肌肉内便产生内力，等等。
武警战士用手劈砖(见视频)
弹性杆件的外力与内力
截面法
截面法步骤
确定杆件横截面上的内力分量的基本方法—截面法，一 般包含下列步骤：
首先应用工程静力学方法，确定作用在杆件上的所有未知 的外力。
工程力学材料力学第四完整版本习题答案解析
工程力学材料力学（北京科技大学与东北大学）第一章轴向拉伸和压缩1-1：用截面法求下列各杆指定截面的内力解：(a):N1=0,N2=N3=P(b):N1=N2=2kN(c):N1=P,N2=2P,N3= -P(d):N1=-2P,N2=P(e):N1= -50N,N2= -90N(f):N1=0.896P,N2=-0.732P注（轴向拉伸为正，压缩为负）1-2：高炉装料器中的大钟拉杆如图a所示，拉杆下端以连接楔与大钟连接，连接处拉杆的横截面如图b所示；拉杆上端螺纹的内径d=175mm。
以知作用于拉杆上的静拉力P=850kN，试计算大钟拉杆的最大静应力。
解：σ1=2118504P kNS dπ==35.3Mpaσ2=2228504P kNS dπ==30.4MPa∴σmax=35.3Mpa1-3：试计算图a所示钢水包吊杆的最大应力。
以知钢水包及其所盛钢水共重90kN，吊杆的尺寸如图b所示。
解：下端螺孔截面：σ1=19020.065*0.045P S=15.4Mpa上端单螺孔截面：σ2=2P S =8.72MPa上端双螺孔截面：σ3= 3P S =9.15Mpa∴σmax =15.4Mpa1-4：一桅杆起重机如图所示，起重杆AB为一钢管，其外径D=20mm,内径d=18mm;钢绳CB 的横截面面积为0.1cm2。
已知起重量P=2000N，试计算起重机杆和钢丝绳的应力。
解：受力分析得：F1*sin15=F2*sin45F1*cos15=P+F2*sin45∴σAB=11FS=-47.7MPaσBC=22FS=103.5 MPa1-5：图a所示为一斗式提升机.斗与斗之间用链条连接,链条的计算简图如图b 所示,每个料斗连同物料的总重量P=2000N.钢链又两层钢板构成,如c所示.每个链板厚t=4.5mm,宽h=40mm,H=65mm,钉孔直径d=30mm.试求链板的最大应力.解:F=6PS 1=h*t=40*4.5=180mm 2S2=(H-d)*t=(65-30)*4.5=157.5mm 2∴σmax=2F S =38.1MPa1-6:一长为30cm 的钢杆,其受力情况如图所示.已知杆截面面积A=10cm2,材料的弹性模量E=200Gpa,试求;(1) AC. CD DB 各段的应力和变形.(2) AB 杆的总变形.解: (1)σAC =-20MPa,σCD =0,σDB =-20MPa;△ l AC =NL EA =AC LEA σ=-0.01mm△l CD =CD LEA σ=0△L DB =DB LEA σ=-0.01mm(2) ∴ABl ∆=-0.02mm1-7:一圆截面阶梯杆受力如图所示,已知 材料的弹性模量E=200Gpa,试求各段的应力和应变. 解:31.8127AC ACCB CBPMPa S PMPa S σσ====AC AC AC LNL EA EA σε===1.59*104,CB CB CB LNL EA EA σε===6.36*1041-8:为测定轧钢机的轧制力,在压下螺旋与上轧辊轴承之间装置一测压用的压头.压头是一个钢制的圆筒,其外径D=50mm,内径d=40mm,在压头的外表面上沿纵向贴有测变形的电阻丝片.若测得轧辊两端两个压头的纵向应变均为ε=0.9*10-2,试求轧机的总轧制压力.压头材料的弹性模量E=200Gpa. 解:NllEAllε∆=∆=∴NEAε=62.54*10N EA Nε∴==1-9：用一板状试样进行拉伸试验，在试样表面贴上纵向和横向的电阻丝来测定试样的改变。
材料力学4-4
解：求梁的支反力。由平衡 方程 mB=0 和 mA=0
RA
A
P
C
200
P
D
115
RB
B
得
R A 23.6 KΝ
RB 27 KN
将梁分为AC，CD，DB三段。 每一段均属无外力段。
1265
剪力图 每段梁的剪力图均为水平直线 AC段FS1 = RA =23.6kN CD段：FS2= RA-P = -1.7kN DB段：FS3 =- RB = - 27kN
B
FS
C
R
A
80 KN
C 0.2
1
E
1.6
D
FS
D
RB 80 KN
2
DB段：水平直线
FS FS
B左
B右
R B 80 KN
0
80
最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。
+
FS(kN)
80
FS
max
80 KN (, )
弯矩图 AC段：向下倾斜的直线 q
MA0
M C R A 200 4 72KN m M D RB 115 3 11KN m
+ FS(kN)
1.7
MB 0
最大弯矩发生在 C 截面
27 4.72
M max 4 72KN m
+
M(kN.m)
对图形进行校核 在集中力作用的 C，D 两点 剪力图发生突变，突变值
KB段：向下倾斜的直线
M B左 m 5KN m
M B右 0
M A右 96.5KN m
P=50KN
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FS (−)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 弯矩 ：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–)
左上右下剪力为正， 左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正
10
M(–)
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例题 1
补充 求图（a）所示梁 、2--2截面处的内力。 求图（ ） 示梁1--1、 截面处的内力。 截面处的内力
15
FS = FS ( x ) 的图线表示
M = M (x) 的图线表示
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
解题的步骤 1 首先解出梁上的支座反力 2 对梁进行分段 集中力作用处、分布荷载集度有突变处是列F ★ ★集中力作用处、分布荷载集度有突变处是列 S(x)方程的 方程的 分段点。 分段点。 ★ ★ 集中力作用处、分布荷载集度有突变处、集中力偶作 集中力作用处、分布荷载集度有突变处、 用处是列M(x)方程的分段点。 方程的分段点。 用处是列 方程的分段点 3 建立合适的坐标 4 建立剪力和弯矩方程 (x)： HA、AB、BD段 FS(x)：分HA、AB、BD段 M(x)： HA、AC、CB、BD段 M(x)：分HA、AC、CB、BD段
7
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、梁弯曲的内力计算：
☆截面上内力的形式,以及如何 截面上内力的形式 以及如何 计算. 计算 A [例1] 已知：如图，P，a，l。求： 例 已知：如图， ， 。 处截面上内力。 距A端x处截面上内力。 端 处截面上内力 解：①求外力
FAX
a
F B l F
∑X = 0,
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 y M(x) q(x) 弯矩与荷载集度的关系是： 弯矩与荷载集度的关系是：
FS ( x) + dFS ( x)
A dx M(x)+d M(x)
5
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
③固定端 3个约束，0个自由度。 个约束， 个自由度 个自由度。 个约束 如：游泳池的跳水板支座， 游泳池的跳水板支座， 木桩下端的支座等。 木桩下端的支座等。 FAY 4.三种静定梁的基本形式 三种静定梁的基本形式 M — 集中力偶 ①简支梁 FAX MA
q(x) — 分布力 ②悬臂梁
一、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂， 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化
l
FS:
– –
a Me l
M:
b Me l
⊕
2 剪力图无变化。 剪力图无变化。 3 剪力方程的区间 [0，l] ， 4 弯矩方程的区间 [0,a) (a,l]
20
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充
例题 5
q0
解：①求支反力
L
FA
q0 L 6
2
FB
q0 L q0 L FA = ; FB = 6 3
FAY
x A
FS
m
FRB
剪力:采用力投影式 剪力 采用力投影式 ∴ 弯曲构件内力 弯矩:采用矩投影式 弯矩 采用矩投影式 FAY 1.
M 构件受弯时， 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。 用面垂直于截面的内力偶矩。
9
C
FRB
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
FS2
∑ M B ( Fi ) = 0 ,
1 qLx2 + M 2 − q ( x2 − a ) 2 = 0 2
1 M 2 = q( x2 − a)2 − qLx2 2
12
图（c） ）
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
内力的直接求法： ★ ★ 内力的直接求法：
上的内力时， 点左侧部分为研究对象， 1、求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象， 上的内力时 内力计算式如下，其中Fi 、 Fj 均为 A 截面左侧的所有向上 内力计算式如下，其中 和向下的外力。 和向下的外力。
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
习 题 课
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
一、梁的计算简图 二、梁弯曲的内力计算 三、剪力图和弯矩图
1、剪力方程和弯矩方程 、 2、剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 、剪力、 3、按叠加原理作弯矩图 、 4、对称性与反对称性的应用 、
3
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
6
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
③外伸梁 q — 均布力 P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力， 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 形式的静定梁。 超静定梁： 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。 部支反力。
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
简言之： 简言之： 1 、 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该 截面一侧（左侧或右侧）所有的竖向外力（ 截面一侧（左侧或右侧）所有的竖向外力（包 括斜向外力的竖向外力）的代数和。 括斜向外力的竖向外力）的代数和。 2、 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该 、 截面一侧（左侧或右侧）所有的外力（ 截面一侧（左侧或右侧）所有的外力（包括外 力偶）对该截面形心的力矩的代数和。 力偶）对该截面形心的力矩的代数和。
FS (x)
x
Fs(x)
M(x)
M ( x) = FAY x − M = F ( x − L)
F ⊕ x
③根据方程画内力图
一般不显示剪力和弯矩 的坐标方向， 的坐标方向，其正负用 +，--来表示。剪力和 来表示。 ， 来表示 弯矩图的各特征值必须 标明。 标明。剪力正值画在坐 标轴的上方,弯矩正值 标轴的上方 弯矩正值 画在坐标轴的下方. 画在坐标轴的下方
Fb l
FS:
⊕
–
M:
Fa l
⊕
19
2 3 4
Fab l
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
补充
例题 4
a
C
Me
b B
A
l
结论: ★ ★结论 1 集中力偶作用处弯矩自左向右发 集中力偶作用处弯矩自左向右 自左向右发 生突变,突变值等于集中力偶的 生突变 突变值等于集中力偶的 大小, 大小 所以在说明集中力偶作 用处的弯矩时,必须说明是集中 用处的弯矩时 必须说明是集中 Me 力偶的左侧还是右侧截面. 力偶的左侧还是右侧截面
A dx M(x)+d M(x)
dFS ( x) = q(x) dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该点处荷载集度的大小。 于该点处荷载集度的大小。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
∑M
A
( Fi ) = 0 ,
1 FS ( x)dx + q ( x)(dx) 2 + M ( x) − [ M ( x) + dM ( x)] = 0 2 dM(x) = FS (x) dx
FS (x)
⊕
3 L 3
②内力方程
–
q0 L2 3
x
q0 2 FS ( x ) = (L − 3x 2 ) 6L
⊕ M(x)
21
x
q0 x 2 M ( x) = ( L − x2 ) 6L
3q0 L2 27
③根据方程画内 力图
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
III 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系: 剪力、 一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
4
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。 个约束， 个自由度 个自由度。 个约束 如：桥梁下的固定支座，止 桥梁下的固定支座， 推滚珠轴承等。 推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。 个约束， 个自由度 个自由度。 个约束 如：桥梁下的辊轴支座，滚 桥梁下的辊轴支座， 珠轴承等。 珠轴承等。
11
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL 截面处截取的分离体如图（ ） 截面处截取的分离体如图
2 1 1 a 2
q
∑ Y = qL + F
S2
− q ( x2 − a ) = 0
b
∴ FS 2 = q ( x2 − a − L)
y qL
x
图（a） ） B M2 x2
14
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
II 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩 图
内力方程：内力与截面位置坐标（ ） 1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的 函数关系式。 函数关系式。
FS = FS ( x )
剪力方程 弯矩方程
M = M (x)
剪力图和弯矩图： 2. 剪力图和弯矩图：
剪力图 弯矩图
2. 剪力：FS 剪力： 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 3.内力的正负规定: .内力的正负规定: ①剪力FS: 剪力 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
FS (+ ) FS (−) FS (+)
2 1 1 a y qL A M1