高数曲率

则弧长微分公式为 ds x 2 y 2 d t
几何意义: ds M T
y
x 表示对参 数 t 的导数
dx cos ; ds
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dy sin ds
微分三角形
M dx O x x dx x
T dy
二、曲率及其计算公式
观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 怎样衡量 曲线的弯曲程度？ 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度
s>0
弧微分
设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s AM s( x)
y
s M M M M x M M x
M M (x) 2 (y ) 2 MM x MM y 2 1 ( ) MM x s s( x) lim 1 ( y) 2 x0 x
K | 2a | 2 3 2 [1 (2ax b) ]
显然 当2axb0时曲率最大
b 曲率最大时 x 对应的点为抛物线的顶点 2a
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|
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1 3 x 作缓和曲线, 例3. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
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有向弧段 M0M 的值 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称 弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段 M0M 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0 (
显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x)
(
s<0
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(2) 若曲线方程为 x ( y ) , 则
K
x ( 1 x )
2
3 2
K
y (1 y )
2
3 2
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| y | d 曲率的计算公式： K 2 3 2 ds (1 y )
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例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率 1 解 y 解 由 得 x y 12 y 2 3 x x 因此y|x11 y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为
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思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?
答: 有公切线 ;
2. 求双曲线
凹向一致 ;
曲率相同.
的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? y 2 1 解: y 2 , y 3 , 则 x x 1
R
(1 y )
2
3
2
y

(1
2
1) 2 x4
x
三、 曲率圆与曲率半径
曲率圆与曲率半径 设曲线在点M处的曲率为K(K0) 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于 M 且半径为 rK1的圆 上述圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 其圆心叫做曲 率中心 其半径r叫做曲率半 径 曲率与曲率半径关系
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曲率中心
曲率半径
曲率圆
1 处曲率圆与曲线有下列密切关系 1 在点 : r M K K r (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
3

x3
1 ( x2 2

1) 2 2 x
3
O
1
x
2
2 2
显然 R
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x1
2 为最小值.
利用 a b 2 ab
作业
4 ； 5 ； 7 ； 8 ； *9
P177
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第八节
| y | 1 2 2 K 2 3 2 2 3 2 (1 y ) (1 (1) ) 2 2
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| y | d 曲率的计算公式： K 2 3 2 ds (1 y )
例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得
第七节
平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
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M
M M

一、 弧微分
曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x) 上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
1 K lim s 0 s R
s
M
R
M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率的计算公式 d d 在 lim 存在的条件下 K
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y f ( x) B M A M y x
O a
x
x x
b x
MM lim 1 x0 M M
弧微分公式 ds 1 ( y )2 d x
也可以写作：ds (d x )2 (d y )2
x x(t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t )
抛物线顶点处的曲率半径为 rK1125 因此, 选用砂轮的半径不得超过125单位长 即直径 不得超过250单位长
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内容小结
2 2 d s (d x ) (d y ) 1. 弧长微分 ds 1 y dx 或 2
y d 2. 曲率公式 K 3 2 ds (1 y ) 2 3. 曲率圆 2 32 1 (1 y ) 曲率半径 R y K
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曲率 设曲线C是光滑的 曲线上 点M对应于弧s 在点M处切线的 倾角为 曲线上另外一点 N 对 应于弧ss 在点N处切线的倾 角为 平均曲率： 记K 称 K 为弧段 MN 的平均曲率
s
曲率：
记 K lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 s 0 s
求此缓和曲线在其两个端点 解: 当 x [ 0 , l ] 时, 1 2 l 0 y x 2R 2 Rl 1 y x Rl 1 x K y Rl 1 显然 K x 0 0 ; K x l R
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处的曲率.
y
R B
O
l
1 3 y x 6 Rl
s 0
s
ds
ds
曲率：
记 K lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 s 0 s
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曲率的计算公式 d d 在 lim 存在的条件下 K
s 0
s
ds
ds
设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数 因为tan y 所以 sec 2dydx
求此缓和曲线在其两个端点 说明:
处的曲率.
铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须
连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
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1 3 x 作缓和曲线, 例3. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
y y y d dx dx dx 2 2 2 sec 1 tan 1 y
又知 ds 1 y2 dx 从而得曲率的计算公式
| y | d K 2 3 2 ds (1 y )
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说明:
x x(t ) 给出, 则 (1) 若曲线由参数方程 y y (t ) x y x y K 2 2 32 (x y )
例4 设工件表面的截线为抛物线y04x2 现在要用 砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 y08x y08 y|x00 y|x008 把它们代入曲率公式 得
| y | K 0 8 2 3 2 (1 y )