概率论与数理统计7.3.3单侧置信区间

X
Y


2 1
n1


2 2
n2
z
2
正 态
未知方差,均值差近似置信区间 大样本（N(0,1)-分布）

X
Y

S12 n1

S22 n2
z
2
总 体
未知同方差,均值差置信区间 (t(n1+n2-2)-分布)
X Y Sw
1 n1

1 n2
t
解 1 0.95, n 5, x 1160, s2 9950,
t (n 1) t0.05(4) 2.1318,
的置信水平为 0.95 的置信下限
x
s n
t
(n

1)

1065.
双正态总体情形
设有两个正态总体
X
~
N(1,12 ),Y
~
N
(2
,
/

2 1
/

2 2

F /2 (n1
1, n2
1)
1


即:
P

S12 S22

F /2 (n1
1 1, n2
1)

12

2 2

S12 S22

1 F1 /2 (n1 1, n2

1)

1
故

2 1 2 2
的一个置信度为1-α的置信区间为:

单侧置信区间
一、问题的引入
在以上各节的讨论中,对于未知参数 , 我们给 出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元 件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们
关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在
考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的 “上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.
金球观 察值
铂球观 察值
6.683 6.661
6.681 6.661
6.676 6.667
6.678 6.667
6.679 6.664
6.672
设用金球和用铂球测定时测定值总体的方差相等,且两 样本均服从正态分布.求两个测定值总体均值差的置信 度为0.9 的置信区间。
〖解〗双正态总体,未知同方差的均值差置信区间.
2
(n1

n2

2)
未知均值,方差比置信区间 (F(n1-1,n2-1)-分布)

S12 S22

F
/
2
(n1
1 1,
n2
1)
,
S12 S22

F1
/2
(n1
1 1,
n2
1)

小结
正态总体均值 的置信水平为1 的单侧置信区间
, X
S n
设正态总体 X 的均值是, 方差是 2 (均为未知) ,
X1, X2 ,, Xn 是一个样本,
由 X ~ t(n 1),
S/ n
有
P

X S/

n

t
(
n

1)

1


,
即
P X
S n
t
(n

1)

1


,
于是得 的一个置信水平为 1 的单侧置信区间

2 1
n1
),
Y
~
N
(2
,

2 2
n2
),
故 X Y 是 1 2 的无偏估计,且有
从而
X
Y
~
N
(1


2
,

2 1
n1


2 2
)
n2
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)

2 1


2 2
n1 n2
从而可得1 2 的一个置信度为1-α的置信区间为

X
Y


2 1
n1


2 2
n2
z
2

方差
12
,
2 2
均未知
当样本容量都很大时,可用样本方差代替总体方差
而得 1 2 的置信度为1-α 的近似的置信区间为

X

Y

S12 n1

S22 n2
z
2

方差

2 1


2 2
未知
由ch6-th4得
(X
Y Sw
) (1
11 n1 n2
2 )
~
t(n1

n2

2)
从而 1 2 的一个置信度为1-α的置信区间为
X Y Sw
1 n1

1 n2
t
2 (n1

n2

2)
其中
Sw
(n1
1)S12

(n2

1)S
2 2
.
n1 n2 2
【例2】分别使用金球和铂球测定引力常数，
X
S n
t
(n

1),


,
的置信水平为 1 的置信下限
X
S n
t
(n

1).
又根据 (n
1)S 2
2
~
2(n 1),
有
P
( n
1)
2
S
2


2 1
(n

1)

1


,

即
P 2


(n 1)S

2 1
2 2
),
立X1样, X本2,.，.., X其n1样;Y1本,Y均2,值,Y与n2 样分本别方是差来分自别两为个：正态总体的独
X ,Y ; S12 , S22
1、均值差μ 1- μ 2的置信区间

方差
12
,
2 2
均已知
【推导】因为 X ,Y 分别是 1, 2 的无偏估计,且
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X
~
N
(1
,
2
B
/
分别为A,B所测定的测定

2 B
置信度为0.95的置信区
〖解〗双正态总体.均值未知时方差比的置信区间.

S
2 A
S
2 B

F
/
2 (n1
1 1,
n2
1)
,
S
2 A
SB2

F1
/2
(n1
1 1,
n2
1)

置信度1-α =0.95 ,α =0.05, 由样本值计算得：
s
2 A
二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1), 若由样本 X1, X2,, Xn 确定的统计量 ( X1, X2,, Xn ) , 对于任意 满足
P { } 1 , 则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的单 侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧置
sw2

(n1
1)s12 n1
(n2 1)s22 n2 2

51.5105 49106 652
12.33106
sw 3.51103
查表得:
t0.05(9) 1.8331
所求置信区间为:
6.678 6.664 3.51103
1 6

1 5
1.8331
即为:
0.010,0.018 ■
[P.186:17]
仅2、讨方论差两比正态1总222 的体置均信值区都间未知情形.
【推导】由ch6-th1知:
(n1 1)S12

2 1
~
2 (n1 1)
(n2

1)S
2 2

2 2
~
2 (n2 1)
且相互独立,故由F-分布定义知:
(n

2 1)

1


,
于是得 2 的一个置信水平为1 的单侧置信区间
0,
(n 1)S 2

2 1
(n

1)
,
2 的置信水平为 1 的单侧置信上限

2

(n 1)S 2

2 1
(n

1)
.
例1 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限.
t
(
n

1),
单侧置信上限
X
S n
t
(n

1),


,
单侧置信下限
正态总体方差 2 的置信水平为1 的单侧置信区间
0,
(n 1)S 2

2 1
(n

1)
.
单侧置信上限 2
信下限.
又如果统计量 ( X1, X2,, Xn ), 对于任 意 满足 P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧
置信上限.
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间

0.5419, sB2

0.6065, n1

n2
10
查表得:
1
1
F0.025(9,9) 4.03, F0.975(9,9) F0.025(9,9) 4.03 0.2481
所求置信区间为:
0.222,3.60 ■
已知方差,均值差置信区间 (N(0,1)-分布)
双

即:
(n1 1)S12

2 1
(n1 1)S12

2 1
/(n1 /(n2
1) 1)
~
F (n1
1, n2
1)
S12
/

2 1
S22
/
2 2
~
F (n1 1, n2 1)
其分布不依赖于任何未知参数.
由F-分布双侧分位点知:
PF1 /2 (n1

1, n2
1)
S12 S22
X Y Sw
1 n1

1 n2
t
2 (n1

n2

2)
置信度1-α =0.9 ,α =0.1, 由样本值计算得：
x 6.67817, s1 0.00387, s12 1.5105, n1 6 y 6.664, s2 0.003, s22 9106, n2 5
S12 S22

F
/2
(n1
1 1,
n2
1)
,
S12 S22

F1
/2
1 (n1 1,
n2
1)

【例3】设两位化验员A,B独立地对某种化学物品用 相同的方法各作10次测定,其测定值的样本方差分别为
sA2 0.5419, sB2 0.6065
设值间总总. 体体均 的为 方正 差态.求的方,差且比A2,A2