高等数学：第三章 第五节 极值

o
x0
x
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极大值的情形
y
y
f ( x) 0
f ( x) 0
o
x0
x
极小值的情形
f ( x) 0
f ( x) 0 f ( x) 0
o
x0
x
f ( x) 0
o
x0
非极值的情形
x
定理2 : 设 f (x) 在 U(x0) (x0 , x0 ) 内连续， 在 U( x0) 内可导 , ( f '( x0 ) 可以不存在 )
y
2 2 1 1
0 a x1 x2
x3 x4 x5 b
x
（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻 近范围的所有点的函数值进行比较。
而最大最小值的概念是整体的，它是指在 整个定义区间上，函数取最大或最小。
y
2 2 1 1
0 a x1 x2
x3 x4 x5 b
x
（2）极值点一定是区间内部的点，而最大值或 最小值可以在区间的端点上取得。
（1）如果当 x (x 0 , x0) 时 f (x) > 0，当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) < 0 ， 则点 x0 为 f (x) 的一
个极大值点， f ( x0 ) 为 f (x) 的一个极大值。 （当 x 由 x0 的左侧变到右侧时，f (x) 的符号由
y
2 2 1 1
0 a x1 x2
x3 x4 x5 b
x
• x2和 x4 为极小值点， x1和 x3 为极大值点，
• 在整个区间 [ a , b ]上， f ( x2)最小, f (b)最大. x [a, b], f (x2) f (x) f (b)
x x2 是函数在 [ a , b ] 上的最小值点。 x = b 是函数在 [ a , b ] 上的最大值点。
（3）极值不一定是最大（最小）值，反之， 最大值或最小值也不一定是极值。
（它们可以在区间的端点上取得）
y
2 2 1 1
0 a x1 x2
x3 x4 x5 b
x
（4）即便最大值或最小值在区间内部取得， 它们也不一定是极值。
（5）若 f (x) 在 （ a , b ）内除有限个点外处处可导， 且导数为 0 的点的个数是有限的。则当最大最小值在 区间内部取得时，它们同时也是函数的极值。
定理1：（极值存在的必要条件）
•
如果 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f '(x0) 存在，则
f '( x0 ) 0
• 由费马引理可得定理1的证明。
• f '(x0) 0 只是 x0 为极值点的必要条件，不 是充分条件。 例如 f (x) x 3 , f '(x) 3x 2 ,
f '(0) 0 , 但 x = 0 不是函数的极值点。
显然，驻点不一定是极值点，如 x5 ，反之，极 值点也不一定是驻点，如 x 4 （ f '(x4) 不存在 ）
• 若 f (x) 可导，则极值点一定是驻点，反之 不成立。
推论：函数的极值点必包含在函数的驻点和导 数不存在的点中。
问题：驻点或不可导点进一步成为极值点的 条件是什么？
y y
f ( x) 0 f ( x) 0
x (x0 , x0 ) 时 f (x) > 0 ，则点 x0 为 f (x) 的一
个极小值点， f ( x0 ) 为 f (x) 的一个极小值。
定理2 : 设 f (x) 在 U(x0) (x0 , x0 ) 内连续， 在 U( x0) 内可导 , ( f '( x0 ) 可以不存在 )
两侧的邻近范围内，总有
f (x)
f (x2) ,
即存在
x 2 的去心邻域 U(x2) (x2 2 , x2) (x2, x2 2 )
当 x U(x2) 时 ， 总有 f (x) f (x2) 对 x 4 同理
定义：设 f (x) 在 区间 I 内有定义， x0 I
如果存在
U ( x0 ),
(x3)
即存在
x3 的去心邻域 U(x3) (x3 1 , x3) (x3 , x3 1 )
当 x U(x3) 时 ， 总有 f (x) f (x3)
对 x1 同理
y
2 2 1 1
0 a x1 x2
x3 x4 x5 b
x
• 点 x 2 和 x4 有一个共同特征：它们都是区
间 ( a , b ) 的内部点，同时，如 x 2，在其左右
当
x U ( x0 ),有
f ( x) f ( x0 ) ,
则称 f ( x0 ) 为 f (x) 的极大值， x 0 称为极大值点。
如果当 x U ( x0), 有 f ( x) f ( x0 ) , 则称 f ( x0 )
为 f (x) 的极小值， x 0 称为极小值点。
• 极大值与极小值统称为函数的极值，极大值 点和极小值点统 称为 函数 的 极值点。
y
2 2 1 1
0 a x1 x2
x3 x4 x5 b
x
（6）在极值点对应的曲线上，如果有切线，则 切线一定水平，即若 f (x) 在极值点处可导，则 导数一定为 0。 如图中 f '(x1) f '(x2) f '(x3) 0 （7）导数为 0 的点不一定是极值点，如图中 x5
另外，函数在极值点处不一定可导，如图中 x4
第五节 函数的极值与最大最小值
• 一、函数极值及其求法 • 二、最大最小值问题 • 三、小结
一、函数的极值及求法 y
1 1
0 a x1 x2
x3 x4 x5 b
x
• 点x1和x3有一个共同特征：它们都是区间 ( a , b ) 的内部点，同时，如 x3，在其左右两
侧的邻近小范围内，总有f
(x)
<
f
费马（Fermat）引理y 设函y 数x3f ( x)在U ( x0 )内有定
义,并且在 x0处可导,如果 x U ( x0 ), 有
那末
f
'
(
f(
x0
x
)
) f
0
(
x0o)
(或 f ( x) f ( x0 ) ),
x
y
2 2 1 1
0 a x1 x2
x3 x4 x5 b
x
• 使 f '(x) 0 的点称为驻点。图中 x1 , x2 , x3 , x5
（1）如果当 x (x 0 , x0) 时 f (x) > 0，当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) < 0 ， 则点 x0 为 f (x) 的一
个极大值点， f ( x0 ) 为 f (x) 的一个极大值。 （当 x 由 x0 的左侧变到右侧时，f (x) 的符号由
正变负，则 x0 即为 f (x) 的一个极大值点。） （2）如果当 x (x 0 , x0) 时 f (x) < 0， 当