正弦函数图像和性质导学案职业高中[1]
(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案
公开课导学案——正弦函数与余弦函数的图像学习教案一、教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义和性质。
2. 学会绘制正弦函数和余弦函数的图像。
3. 能够分析正弦函数和余弦函数图像的特点和变化规律。
二、教学内容：1. 正弦函数和余弦函数的定义与性质2. 正弦函数和余弦函数图像的绘制方法3. 正弦函数和余弦函数图像的特点和变化规律三、教学重点与难点：1. 正弦函数和余弦函数的图像绘制方法2. 正弦函数和余弦函数图像的特点和变化规律的理解与应用四、教学方法与手段：1. 讲授法：讲解正弦函数和余弦函数的定义与性质，引导学生理解与思考。
2. 演示法：利用多媒体课件，展示正弦函数和余弦函数的图像，帮助学生直观理解。
3. 实践法：让学生动手绘制正弦函数和余弦函数的图像，培养学生的实际操作能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习正弦函数和余弦函数的定义与性质，引导学生进入新课的学习。
2. 讲解与演示：讲解正弦函数和余弦函数的图像绘制方法，利用多媒体课件展示图像，让学生直观地感受函数图像的特点和变化规律。
3. 实践操作：让学生动手绘制正弦函数和余弦函数的图像，指导学生观察和分析图像的特点和变化规律。
4. 总结与拓展：总结本节课的学习内容，强调正弦函数和余弦函数图像的特点和变化规律，布置课后习题，引导学生进行进一步的学习与思考。
教案结束。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，了解学生的学习兴趣和参与程度。
2. 课后习题完成情况：检查学生完成的课后习题，评估学生对正弦函数和余弦函数图像的理解和应用能力。
3. 小组讨论与合作：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作能力和交流能力。
七、课后习题：1. 绘制正弦函数y = sin(x)和余弦函数y = cos(x)在一个周期内的图像。
2. 分析正弦函数和余弦函数图像在区间[0, 2π]上的特点和变化规律。
3. 解释正弦函数和余弦函数图像的周期性及其与周期的关系。
高一数学 正弦型函数的性质与图像 导学案
高一数学正弦型函数的性质与图像导学案班级：姓名: 使用日期：【课堂探究】一.【素养培育】知识点一正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义知识点二φ，ω，A对函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x图象上所有的点向(当φ＞0时)或向(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标(当ω＞1时)或(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．(3)A(A＞0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标(当A＞1时)或(当0＜A＜1时)到原来的倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝A sin x的值域为，最大值为，最小值为.知识点三由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤知识点四函数y＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质二.【素养提升】例1 把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．跟踪训练1 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________例2 利用五点法作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3在（1）一个周期内的草图．（2）在x ∈[]-22ππ，上的草图．例3 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式．跟踪训练3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则其函数解析式________例4 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与P 点最近的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．跟踪训练4 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ的值； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值．【课堂评价】三、【课堂小结】1、本节课学了哪些知识内容？2、本节课用了哪些方法思想？四、【课堂达标】1．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是( ) A ．－π3，5π3，11π3 B ．－2π3，4π3，10π3 C ．－π6，11π6，23π6 D ．－π3，2π3，5π33函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为____________．4．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于________ 5．把函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3的图象向左平移m 个单位，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是________．6．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号为________．。
三角函数的图象和性质教案(中职教育).docx
三角函数的图象和性质教学目的：（一）1.理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法；2. 理解并熟练学握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法；3. 理解并学握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三介不等式的方法.（-）1•理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2. 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3. 会求简单函数的奇偶性.（三）1.理解并学握作正切函数和余切函数图像的方法；2. 理解并学握用正切函数和余切函数的图像解最简三角不等式的方法；3. 掌握正切函数的性质和性质的简单应用；4. 会解决一些实际问题.教学重点：1. 用单位圆中的正弦线作正弦、正切函数的图象；2. 正、余弦和正切函数的性质.教学难点：1. 用单位圆中的余弦线作余弦、正切函数的图象；2. 正、余弦和正切函数性质的理解与应用.教学过程： 一、复习引入：1. 弧度定义：氏度等于半径氏的弧所对的圆心角称为1弧度的角.2. 正、余弦函数定义：设仅是一个任意角，在Q 的终边上任取（异于原点 的）一点P （x,y ）,P 与原点的距离r （r = J 卜『+|y 『=JF +> 0）则比值』叫做Q 的正弦r Y 比值土叫做Q 的余弦 r比值2叫做a 的正切X3. 三角函数线：根据正弦，余弦，正切的定义，则有 sin a = MP , cos a = OM , tan a = AT这三条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT 分别叫做角a 的正弦线,余弦线，正切线.当角Q 的终边落在兀轴上时，M 与P 重合，A 与T 重合，此时正弦线，正切线分别变成一円 x,y)记作 sincr =— r记作cos a =—r y记作 tan =—x个点；当角a的终边在y轴上时，0与M重合,余弦线变成一个点,过A的切线平行于y轴, 不能与角a的终边相交，所以疋切线不存在，此时角a的止切值不存在.二、讲解新课：（一）正弦函数、余弦函数的图象1・用单位圆中的止弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图彖（几何法）：为了作三角函数的图彖，三角函数的口变量要用弧度制来度量，使口变量与函数值都为实数.在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识.正弦函数= 的图象第一步，在直角坐标系的X轴上任取一点q,以q为圆心作单位圆，从这个圆与兀轴的交点A起把圆分成斤（这里7? = 12）等份.把x轴上从0到271这一段分成n（这里71 =12）等份.（预备：取口变量X值一弧度制下角与实数的对应）.第二步，在单位圆屮画出对应于角0，兰，2龙的正弦线正弦线（等价于“列表”）.6 3 2把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点兀重合，则疋弦线的终点就是正弦函数图彖上的点（等价于"描点”）.笫三步，连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起來，就得到正弦函数y = sin兀，x e [0,2兀]的图象.根据终边相同的同名三和函数值相等，把上述图象沿着兀轴向右和向左连续地平行移动, 每次移动的距离为2兀，就得到y = sinx, xe R的图彖.把角x（xeR）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点为x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y = sinx的图彖.余弦函数y = cosx的图象用儿何法作余弦函数的图象，可y4以用“反射法”将角兀的余弦线“竖立”.把处标弦线0.A的终点4作兀轴的垂线，它与前而所作的直线交于A',那么0{A与AA长度相等几方向同时为正，我们就把余弦线0/ “竖立”起来成为AA,用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来,再将它们平移，使起点与x轴上相应的点兀重合，则终点就是余弦函数图象上的点.TT也可以旷旋转法”把角的余弦线“竖立”（把角兀的余弦线按逆时针方向旋转尹7T 7Tcosx = sin（x + -）,述可以把正弦函数y = sinx的图彖向左平移一单位即得余弦函数2 2y = cosx的图彖.函数y = sinx的图彖和余弦函数y = cosx的图彖分别叫做止弦曲线和余弦曲线.2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y = sin x, x G [0,2^-]的图彖中，3五个关键点是：（0,0）, （- ,1）,（龙,0）,（-不―1）, （2龙,0）余弦函数y = cosx, x e [0,2^]的图像中,JI 3五个关键点是：（0,1）, （-,0）,（矩―1）,（-处0）, （2^,1）只要这五个点描出后，图彖的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，耍求熟练掌握.-6n X55Z・4亢75/ ・2江■[7L/ 2亢、25/ 4兀/y=cosx6兀x根据诱导公式(二)正弦函数、余弦函数的性质1・定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R (或(-00,+00)).2.值域(1)值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度，所以I sin x 1< 1,1 cosx 1< 1,即一1 W sin 兀W 1,-1 < cos 兀 < 1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].(2)最值正弦函数y = sinx,兀wTT①当且仅当x = - + 2k兀,keZ时,取得最大值12JT②当且仅当兀二—一+ G Z时,取得最小值—12余弦函数y = cosx,x € R①当口仅当x = 2炽,keZ时,取得最大值1②当且仅当x = 2k7i七兀，kwZ时，取得最小值—13.周期性由sin(兀 + 2k兀)=sin x,cos(x + 2k兀)=cos x,(k G Z)知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数/(兀)，如果存在一个非零常数T,使得当兀取定义域内的每一个值时，都有/(x + T) = /(x),那么函数/(%)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知,2兀,4兀,・・・,一2兀,一4兀,・・・，2炽伙wZ,R工0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数/(%),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/(兀)的最小正周期.根据上述定义，可知：止弦函数、余弦函数都是周期函数，2k7i(k w Z,k工0)都是它的周期,最小正周期是2”.4.奇偶性由sin(-x) =一sin 兀,cos(-x) = cos xXT知：y = sin x (x G /?)为奇函数，其图彖关于原点0对称y = cosx (xeR)为偶函数，其图象关于y轴对称5.对称性正弦函数y = sin x(x G R)的对称中心是(Rr,O)(k eZ),对称轴是直线X = k7T + ^(keZy,( JT Y余弦函数y = cosx(>wR)的对称中心是3 + —,0 (k G Z),\ 2丿对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于兀轴的直线，对称中心为图彖与兀轴(中轴线)的交点).6.单调性JI 3从^ = sinx,xe［——, — 7r］的图象上可看出：2 27T TT当兀w［——,一］时，曲线逐渐上升，sinx的值由—1增大到12 2JT 3当兀刃时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到—1结合上述周期性可知:71 n正弦函数在每一个闭区间［-—+ 2k7T- + 2k/r］(k e Z)上都是增两数，2 2其值从-1增人到1;JI 3疋弦函数在每一个闭区间［-+ 2k7T-7l + 2k7T］(k G Z)上都是减函数，2 2其值从1减小到-1・余弦函数在每一个闭区间［2炽-龙,2炽］伙wZ)上都是增函数，其值从-1增加到1;余弦函数在每一个闭区间［2炽,2炽+刃伙e Z)上都是减函数，其值从1减小到-1・和的图彖和性质(表中对称屮心(so)(“z)( jr \炽 +—,0 ("Z) \ 2丿对称轴x = k” +彳(k G Z)x = kjv(k e Z)最小正周期2龙2龙单调性7T 7T| ---- + 2k7r,——2A TT］递增2 2|— + Zk7r,—7r + 2£兀］递减2 2\2k兀一兀,2k^\递增[2k兀,2k/r +兀1递减(三)正切函数的图象和性质1.正切函数歹=tanx的图像n 7T在区间内作出函数y = tan兀图像，根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数y= tan x x E R，且x H 空 + e z) 的图像，称“止切曲线” •2.正切函数和余切函数的性质⑴定义域：X H炽+彳(£ W Z)(2)值域：/?(3)周期：•・• tan(x + 龙)=+ “! = 一"n”=tanx xwR,且兀^k7r + — ,k e z\ cos(x + /r) -cosx V 2 )( n\:.y = tan x x e /?,且x ¥ kzi + — ,k w乙的周期为T = 7i (最小正周期) ~ 2(4)奇偶性:正切函数是奇函数由诱导公式tan(-x) = -tanx,我们可以证明正切函数是奇函数，正切函数的图像关于原点对成.(bn \⑸对称性:对称中心是—,0 (kwZ),特别提醒：止徐)切型函数的对称中心有两类: I 2丿一类是图象与兀轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处.TT JT⑹单调性：由图像可知，正切函数再区间(——+ kTC.— + k7i\k G Z内都是单调增函数.2 2正、余切函数的性质三、讲解范例：(一)图象问题例1画l\\y = cos x(x G R)与y = -sin x(x e R)两函数的图象，观察两曲线的平移关系. 解：略例2作下列函数的简图：(1)y = 1 + sin^ , x G [0,2^-] (2) y =1 sin x I (3) y = sin I x I解：略TT例3用五点法作函数y = 2cos(x + -),兀e [0,2刃的简图，并求其与貞线y二2交点个数解：略例4分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足卜•列条件的兀的集合:(1)sinx > 丄(2) cosx W 丄(0 v 兀 < —^)2 2 2解：略例5求下列函数的定义域：______⑴ y 二J2sinx + 1 (2) y = 716-x2 + V-cosx (3) y = Vsinx-cosx补充例题：⑴函数/(x) = sin 兀图象的对称轴是 ___________ ;对称屮心是 __________ .TT(2)函数/(x) = sin(x + -)图象的对称轴是 ___________ ;对称屮心是 ________ .⑶函数/(x) = 2sin(x + -) + l 图象的对称轴是 ____________ ;对称中心是 _______ .(4) 函数y = cos (龙+兀)与y = cos 兀的图象关于 ________ 对称.(填一种情况即可)X(5) 方程sinx = —的根的个数为()10A. 7B. 8C. 9D. 10⑹川五点法作函数y = 2sin2x 的图象时，首先应描出的五个点横坐标可是((二)定义域、值域问题 例1求卜-列函数的定义域：(1) y = 1 + —-—sinx(2) y = J1 - 2cosx (3) y = lg(2sinx-V3)求下列函数的值域:(1) y = • 7 • t 百兀 3 , =sin" x-sinx + l,x e3 4(2) y = =2sin(x + —),x e 6 6 3 (3) y = cosx-3 cos x + 3解：略例2求使下列函数取得最大值的口变量兀(xwR)的集合，并说出最大值是什么;7T 7T若兀W ［一彳，彳)呢？(1) y = cosx + 1 ; (2) y = sin 2xA0,产严 C. 0，九2乃,3込4兀° c 71 兀 3B. 0, — , —. —71.714 2 4 ,c 71 71 兀 2TT TT例3已知函数f(x) = 2a sin(2x -一) + b的定义域为[0,-],值域为[-5,1]. 3 2求的值.解：略例4求函数y = sin2 x + ocos兀+ —a——(x e [0,—])的最大值.8 2 2解：略例5 (1)已知y = 2 sin x cos x + sin x - cos x (x G [0,兀]),求y的最人值和最小值.(2)求y(兀)=sin4x + 2sin3 xcosx + sin2兀cos? x + 2sinxcos3 x + cos4x的最大值利最小值.(注：sin x - cos x = V2 sin(x - —), sin x cos x = — sin 2x)4 2解：略(三)周期性、奇偶性问题例1判断下列函数的奇偶性:⑴ /(x) =1 + sinx-cosx 1 +sinx + cosx(2) /(x) = sin x-cos x + cos2x (cos2兀=cos~ x-sin~ x)(3) /(x)==lg(sinx +Vl + sin2x)(4) /(x) = |sinx| + cosx 解：略例2 (1)已知/(x) = ax + bsin 3x = l(a,b为常数),K/(5) = 7,求/(-5).(2)若于(兀)为奇函数,且当兀> 0时,f(x) = xsinx + cos2x, 求当尢v 0时，于(兀)的解析式.⑶若函数f(x) = sin(x + a)是偶函数，求a的值.解：略例3求下列三角函数的周期,并探究其结.(1) y = 3cosx (2) y = sin 2x1TT TT(3)y = 2sin(—x ----- )(4) y = 2sin(5加 -- )2 6 3解：略点评：一般地，函数y = A sin(69x +(p\ xe R及函数y = cos(ax + 0)，兀w R (其中A* co、2/r©为常数，且A^09CO> 0)的周期T= —co例 4 (1)求函数 y = 2sin 2 2x + 4sin 2xcos2x +3cos 2 2x 的周期.rr (2)求函数y = 4 sin 3(——兀)的周期. 6解：略例5求下列函数的最小正周期：(1) y =1 sin 兀 I(2) y =1 2cos 兀 +11 解：略 例6⑴已知/(兀)是周期为5的周期函数，且/⑴=2007,求/(II).(2)已知奇函数/(兀)是7?上的函数，且/(1) = 2, f(x + 3) = /(x),求于(8)・ 解：略 例7 /(兀)是定义在R 上的偶函数，其图彖关于兀=1对称，对任意的旺宀e[0,-],都有/(兀]+兀2)= /(兀I )/(兀2)・(1) 设/(1) = 2,求/(£),/(：)； 2 4(2) 证明：/(x)是周期函数.解：略例8 (1)若函数y = )的图象关于直线x = 与x = b(b>a)都对称，求证：/(x)是周期函数，月.2(b-d)是它的一个周期；(2) 若函数 y = /(x)(兀 w 7?)满足 /(x) = f(x-a) + f(x +a)(常数 d w 7T ),求 证：f(Q 是周期函数，冃6。
正弦函数的图像与性质教案
《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）神木职教中心 数学组 刘伟教学目标：1、理解正弦函数的周期性；2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；5、初步理解“数形结合”的思想；6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；2、利用函数图像观察正弦函数的性质；3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想教学难点：正弦函数性质的理解和应用教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾终边相同角的诱导公式：)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2Ⅱ 新知识1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象x y sin =，[]π2,0∈x（1）、列表x 06π3π2π32π65π π67π 34π 23π 35π 611π π2 y 021 23123 210 -21 -23 -1 -23-21 0（2）、描点（3）、连线因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…，[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相同2、正弦函数的奇偶性由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-Ⅲ知识巩固例1 作下列函数的简图（1）xy sin=，[]π2,0∈x（2）xy sin1+=，[]π2,0∈x解：（1）①列表②描点③连线（2）①列表②描点③连线例2 求下列函数的单调区间（1）)sin(x y -= （2）)4sin(π-=x y解：（1）因x x y sin )sin(-=-=所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数 （2）由题知：πππππk x k 22422+≤-≤+-ππππk x k 24324+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤-≤+ππππk x k 247243+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 243,24是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数练习（师生互动，分层次提问）1． 课本第120页练习第1题 2． 求函数)4sin(π+=x y 的单调性解：由题知：πππππk x k 22422+≤+≤+-ππππk x k 24243+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤+≤+ππππk x k 24524+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 24,243是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数Ⅳ 小结本节课我们学习了用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
中职数学基础模块5.3.1正弦函数的图象和性质教学设计教案人教版
常数Ｔ叫做这个函数的周期．
由正弦曲线图象可知，当自变
对于一个周期函数 f (x)，如果在 量 x 的值每增加或减少 2 π 的整数
它的所有周期中存在一个最小的正 倍时，正弦函数的图象重复出现．
数，那么这个最小正数就叫做它的最
培养学生“看图 说话”的能力，即图 形语言、文字语言与 符号语言的转换，从 而达到从直观到抽象 的飞跃．
当 y＝π2 ＋2 kπ，k Z 时，y＝ sin x 取得最大值 1；即 y max ＝1；当 y＝－π2 ＋2 kπ，k Z 时，y＝sin x
范围是［－1，1］． 师：你能通过观察正弦函数图
象得到这个性质吗？ 生：因为正弦曲线分布在两条
取得最小值－1，即 ymin＝－1；
平行直线 y＝1 和 y＝－1 之间．所 以正弦函数的值域是［－1，1］．
小正周期．
结论：正弦函数是一个周期函数，
2 k π (k Z，且 k≠0)都是它的周期，
2 π 是其最小正周期．
（3）师：如何判断函数的奇偶性？
（3）奇偶性
生：
由公式 sin（－x）＝－sin x 得知，
偶函数 f (－x)＝f (x)，
正弦函数是奇函数，图象关于坐标原 偶函数图象关于 y 轴对称．
弦函数 y＝sin x，xR 的图象．
1. 正弦函数的图象．
第一步：平分单位圆．在直角坐
标系的 x 轴上任取一点 O，以 O 为
师：将圆等分的份数越多，图
用正弦线画图的
圆心作单位圆，从这个圆与 x 轴的交点 象越精确．
方法比较复杂，所以
A 起把圆分成 12 等份．
将它分为五个小步
第二步：作出各角的正弦线．过
（2）sin
《正弦函数、余弦函数的图像》教案与导学案
《第五章三角函数》《5.4.1正弦函数、余弦函数的图像》教案【教材分析】由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．【教学目标与核心素养】课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；4.数学运算：五点作图；5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.【教学重难点】重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx 的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？2．怎样作出正弦函数y=sinx的图像？3.怎样作出余弦函数y＝cosx的图像？4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
1.3.1正弦函数图像与性质(1)
《1.3.1正弦函数的图像与性质》导学案（第一课时）学校：班级：小组：姓名：组长：学科长：责任人：教师：学习目标：1、知识与技能目标：(1)了解作正弦函数图像的三种方法。
(2)重点掌握五点作图法，并会利用此方法作出[]π20，上的正弦曲线。
(3)结合图像掌握正弦函数的性质。
2、过程与方法目标：通过亲自动手作图，体会正弦函数图像的变化，并培养学生根据图像研究函数性质的能力。
3、情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，进一步增强从通法研究到特殊再到一般的思想方法。
学习重、难点：重点：正弦函数图像的作法及由图像总结正弦函数的性质。
难点：理解弧度制下角度与x轴上点的对应和以此为自变量的正弦函数。
学习过程：一、基本概念的自主学习【知识回顾】1、谈谈在弧度制下，自己对“角的集合与实数集R之间对应关系”的理解？2、什么叫三角函数？正弦函数又怎么理解？3、在以前的学习中，我们是通过什么方法作出某一函数图像的？【作图方法】1、通用方法（作图像常规方法）——描点作图法：2、特殊方法（利用正弦函数线）——几何作图法：3、常用方法（利用图像关键点）——五点作图法：二、知识升华的指导探究【生生交流】1、利用通用方法作出正弦函数在[]π20，上的图像。
2、根据所学的函数知识，从图像中解读出正弦函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的基本性质。
【师生交流】1、在上面图像的基础上，你能否快速作出正弦函数的图像？怎么作？2、通过这种方法，体会三角函数图像的周期性。
【指导探究】1、利用单位圆中的正弦线，作出x y sin =的图像。
2、观察[]π20，上的图像，找出确定图像形状的关键点。
3、概括总结利用确定图像形状关键点做三角函数图像的五点作图法。
三、学以致用的巩固练习例1：【作图】用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]π20，上的简图。
【变式反思】用“五点法”作函数x y 2cos 1-=在[]ππ22，-上的简图。
高中数学 正弦函数的图像与应用导学案 北师大版(1)
正弦型函数的图像及应用学习目标：正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点法”作图和图象的变换以及性质的应用学习重难点：正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)+k 的图象变换及应用 学习回顾：1．用五点法画y ＝3A sin(2x ＋6π)+1一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示2.阅读课本思考：函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝21sin(21x ＋3π)-2的图象的步骤 步骤1:______________________________________________________________; 步骤2:_______________________________________________________________; ______________________________________________________________________; 步骤3:_________________________________________________________________; ________________________________________________________________________; 步骤4:___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________; 步骤5:_______________________________________________________________________ __________________________________________________________________________; 3．完成课本P52面第3题：4．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做 ，T ＝ 2πω 叫做 ，f ＝1T 叫做 ，ωx ＋φ叫做 ，φ叫做 ． 基础自测：1.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π82.函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )． A ．－sin x B ．sin x C ．－cos x D ．cos x3.已知函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，在同一周期内，当x ＝9π时函数取得最大值2，当x ＝94π时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )A y ＝2sin(3x －6π) B y ＝2sin(3x ＋6π) C y ＝2sin(3x ＋6π) D y ＝2sin(3x －6π)课堂探究一、求函数的最值例1.求下列函数的最大值、最小值，并求取得最大值、最小值时x 的取值集合。
正弦函数的性质中职教案
正弦函数的性质中职教案教案标题: 正弦函数的性质（中职教案）教学目标:1. 了解正弦函数的概念和图像特征；2. 掌握正弦函数的周期、幅值、相位等性质；3. 能够应用正弦函数的性质解决实际问题。
教学重点:1. 正弦函数的周期、幅值、相位等性质的理解和应用；2. 解决实际问题时正弦函数性质的运用。
教学准备:1. 教师准备投影仪、计算器、教学课件等教学辅助工具；2. 学生准备教科书、笔记本、计算器等学习工具。
教学过程:引入活动:1. 利用多媒体投影仪展示正弦函数的图像；2. 聚焦于图像中的周期、幅值和相位，引导学生思考与之相关的物理和数学概念。
知识讲解:1. 解释正弦函数的定义和表达式；2. 介绍正弦函数的周期、幅值和相位的概念；3. 演示如何从图像中确定这些性质。
实例分析:1. 给出一些实际问题，如调频广播信号、摆锤的运动等；2. 引导学生尝试用正弦函数来描述这些实际问题，并确定相关的周期、幅值和相位。
练习活动:1. 分发练习题，并配备计算器；2. 练习题包括从图像中确定周期、幅值和相位，以及解决实际问题。
总结与拓展:1. 小结正弦函数的周期、幅值和相位的概念及应用；2. 引导学生以图像和实际问题为基础，自主探索更多正弦函数的性质。
作业布置:1. 要求学生通过实际问题或图像，找到更多的正弦函数性质；2. 要求学生总结正弦函数的性质及其应用，并写出一份简洁的报告。
教学评估:1. 观察学生在练习活动中的表现，并给予及时的指导和反馈；2. 对学生的作业报告进行评估，以检查他们对正弦函数性质的理解和应用能力。
拓展活动:1. 给学生展示更多具有正弦函数特征的图像，如天体运动、音波等；2. 鼓励学生思考并提出更多正弦函数性质的问题，并与同学分享讨论。
正弦余弦函数的图象导学案1课件
(π,0)、(3π,-1)、(2π,0)
2
D.y=sin x 与 y=cos x 的图象与 x 轴有无数个公共点
【解析】A、B、D 正确,y=cos x 的五个关键点应是(0,1)、
(π,0)、(π,-1)、(3π,0)、(2π,1).
2
2
导.学. .固 思
2 为得到余弦曲线,正弦函数的图象需向右平移的单位数是
导.学. .固 思
解关于 x 的不等式 cos x≥-1,x∈[-5,5].
2
【解析】画出函数 y=cos x 在 x∈[-5,5]上的图象和直线 y=-1的图象,可
2
以发现它们的交点分别是(-4π,-1),(-2π,-1),(2π,-1),(4π,-1),所以不
3
2
3
23
23
2
等式 cos x≥-1的解集为[-5,-4π]∪[-2π,2π]∪[4π,5].
图象,如图所示.
导.学. .固 思
(2)由于 y=|sin(x+3π)|=|cos x|,因此只需作出函数 y=|cos
2
x|,x∈[-2π,2π]的图象即可.而函数 y=|cos x|,x∈[-2π,2π]的图 象可采用将函数 y=cos x,x∈[-2π,2π]的图象在 x 轴下方的部分翻 折到 x 轴上方的方法得到,所得图象如图所示(实线).
导.学. .固 思
问题2 根据正弦线作正弦函数y=sin x的图象
(1)作 y=sin x 在[0,2π]上的函数图象:在直角坐标系的 x 轴上
任取一点 O1,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的交点 A 起,
把圆分成 12 等份(等份越多,画出的图象越精确).相应地,把 x 轴
人教版高中数学必修四导学案1.3.1正弦函数的图象和性质(1) Word版
普兰店市第一高一年级数学导学案
正弦函数的图象和性质
编制人：潘刚，校对：姜淑敏
学习目标：学会五点法作图象的方法，能画出正弦函数的图象，并根据图象掌握正弦函数的性质。
重点：正弦函数图象
难点：性质及应用
学习过程：
活动一
知识回顾：.任意角三角函数的定义，三角函数线
.常用三角函数值
.在各象限的符号
活动二：自主学习
列表
活动二合作探究
例：用“五点法”作函数，在上的简图
活动三自主检测
1.用“五点法”作出下列函数在上的简图
（）（）
练习：.取何值时，取最大值和最小值？。
中职数学教案：正弦函数的图象与性质(全2课时)
江苏省XY中等专业学校2022-2023-1教案课时总编号：教学内容2.有向线段：我们把规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称作有向线段。
3.有向线段的数量：根据有向线段与y轴（x轴）正方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号三例题讲解例题：用五点法画出下列函数在最小正周期内的简图（在坐标轴中，一个最小正周期里，选择五个基本点，使用平滑的曲线连接而成图象的方法，叫做五点作图法。
）1.xy sin= 2.xy sin1+=解：1.（1）列表x 02ππ23ππ2 y 0 1 0 -1 0 （2）、描点（3）、连线（2）①列表②描点③连线教学内容四练习巩固1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象xy sin=，[]π2,0∈x（1）、列表x 02ππ23ππ2 xy sin=0 1 0 -1 0（2）、描点（3）、连线因为终边相同的角的三角函数值相同,所以xy sin=的图像在…，[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4---，…与xy sin=，[]π2,∈x的图像相同。
江苏省XY中等专业学校2022-2023-1教案课时总编号：教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容五小结本节课我们学习了用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
“五点法”作图的关键点：性质汇总表：六作业布置板书设计教后札记。
中职数学正弦函数的图象与性质优质课教学设计
§6.3.1正弦函数旳图象与性质1——图象教材分析1、教材旳地位与作用《6.3.1正弦函数旳图象与性质1——图象》是温州市中档职业学校地方创新教材第六章第三节第一小节旳内容。
在此之前，学生已经学习了角旳概念旳推广和度量以及任意角旳三角函数值，这为过渡到本节旳学习起着铺垫作用。
本节内容不仅可以使学生掌握正弦函数旳图象旳形状，又可以学会简图旳画法——五点法。
也为此后研究正弦、余弦、正切函数旳性质作了充足旳准备，起到承上启下旳作用。
2、教学目旳会用描点法画出正弦函数旳图象；掌握“五点法”画正弦函数旳简图；3、教学旳重点难点重点是正弦函数旳图象旳形状；难点是用描点法画出函数y=sinx,x∈[0,2π]旳图难点旳突破：突破难点重要是在学生配合下教师边解说环节（怎么列表，怎么描点，怎么连线，），边画图，力求精确，以起到示范作用。
教法学法1、教法根据本节课旳教学内容和中职学生旳实际水平，我采用品体到一般，部分到整体旳启发引导与合伙探究旳教学措施，辅助采用多媒体课件，学生练习用格子纸。
2、学法通过观测、归纳、类比、实际操作演习旳过程：让学生学会用自己旳思维分析问题。
3、学情分析（1）前几节课学生已经学习了角旳概念旳推广及其度量，任意角旳三角函数，掌握了特殊旳弧度角旳三角函数值。
（2）我任教旳14电商班学生数学基本较为单薄，学习探究能力较差，因此课堂上离不开教师旳思维启发，也离不开师生、生生间旳合伙探究。
教学过程常用弧度角的正弦值的求解及等式异同点的分析正弦函数的定义及表示——解析式，图象正弦函数y=sinx ，x ∈[0,2π]的图象的具体演练正弦函数简图画法——五点法正弦曲线及特征例题板演，练习巩固三、教学过程变量分析步骤分析特征分析诱导公式完善巩固基本思路：由旧及新，由易及难，逐步加强，逐步推进文成职专周海桃小结，作业布置课后巩固一、 设疑引入教师出示问题，引导学生分析、思考：=======ππππππ2sin 723sin6 sin 52sin 4 3sin 36sin 2 0sin 11）（）（）（）（）（）（）（点：观察求出的等式的异同、尝试求解下列式子并规定学生：（1）能读出符号；（2）能求正弦值；（3）能讲出异同点：相似点都是取正弦，不同点有弧度角，正弦值2.教师顺势引导学生：对于每一种拟定旳弧度角x ，通过取正弦，均有唯一一种正弦值y 与之相应，因此y 与x 存在函数关系： )(sin R x x y ∈=；设计思维:通过特殊角旳三角函数值引入,既能巩固学生已有旳知识,激发爱好;同步又为背面列表做好铺垫;还能通过度析变量弧度角,正弦值旳关系引出正弦函数旳定义及图象.二、学习新课 一．定义1.型如y =sin x (x ∈R )旳函数叫做正弦函数.教师角色：教师在黑板上将正弦函数写下，并写出课题“6.3.1正弦函数旳图象与性质1” 二．定义旳巩固1.判断下列函数与否为正弦函数： (1) y=1+sinx ;(2) y=2sinx (3) y=sin2x ; (4) y=sin(x-π) (5) y=cosx对学生规定，一看角——与否为x ；二看名——与否为正弦（sin ）；三看y 与否就为正弦值。
(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案
公开课导学案——正弦函数余弦函数的图像学教案第一章：正弦函数图像的基本特征1.1 学习目标：了解正弦函数图像的形状和基本特点。
1.2 教学内容：(1) 引导学生观察正弦函数图像的波形，理解其周期性和振幅的概念。
(2) 分析正弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。
1.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制正弦函数图像，观察其特点。
(2) 分组讨论正弦函数图像在各个象限的变化规律。
1.4 练习题目：(1) 描述正弦函数图像的一个周期内的变化情况。
(2) 判断给定的点在正弦函数图像的哪个象限。
第二章：余弦函数图像的基本特征2.1 学习目标：了解余弦函数图像的形状和基本特点。
2.2 教学内容：(1) 引导学生观察余弦函数图像的波形，理解其周期性和相位的概念。
(2) 分析余弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。
2.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制余弦函数图像，观察其特点。
(2) 分组讨论余弦函数图像在各个象限的变化规律。
2.4 练习题目：(1) 描述余弦函数图像的一个周期内的变化情况。
(2) 判断给定的点在余弦函数图像的哪个象限。
第三章：正弦函数和余弦函数图像的比较3.1 学习目标：掌握正弦函数和余弦函数图像的异同点。
3.2 教学内容：(1) 分析正弦函数和余弦函数图像的形状和周期的关系。
(2) 比较正弦函数和余弦函数图像在各个象限的变化规律。
3.3 课堂活动：(1) 让学生对比绘制正弦函数和余弦函数图像，观察其异同点。
(2) 分组讨论正弦函数和余弦函数图像的比较。
3.4 练习题目：(1) 说明正弦函数和余弦函数图像的异同点。
(2) 绘制一个给定角度的正弦函数和余弦函数图像，并比较它们的特点。
第四章：正弦函数余弦函数图像的应用4.1 学习目标：学会利用正弦函数和余弦函数图像解决实际问题。
4.2 教学内容：(1) 引导学生利用正弦函数和余弦函数图像解决物理、工程等领域的问题。
(2) 分析正弦函数和余弦函数图像在实际问题中的应用。
中职数学教学设计——正弦函数的图像和性质
授课题目4.6 正弦函数的图像和性质选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长3课时授课类型新授课教学提示本课将通过简谐振动形成的曲线，感知正弦曲线的特性，进而学习周期函数的有关知识，以及正弦函数的图像和性质；学习借助代数运算与几何直观，认识正弦函数的图像与性质，以及运用“五点法”画出正弦函数在一个周期上的简图．教学目标知道描点法画正弦函数在［0,2π］上的图像的步骤，能找出正弦函数在［0，2π］上的图像中关键的五个点，并利用“五点法”作正弦函数相关的函数的图像，逐步提升数形结合的数学思想，逐步提升直观想象等核心素养；能通过正弦曲线分析正弦函数的性质，并利用这些性质解决正弦函数的相关问题，知道从哪些角度分析函数的性质，学会利用函数图像分析函数性质的一般方法，逐步提升逻辑推理等核心素养．教学重点五点作图法作正弦函数的图像，正弦函数的性质的应用．教学难点五点作图法和正弦函数的性质的理解．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入4.6.1 正弦函数的图像简谐运动是最基本也是最简单的机械振动．单摆是常见的简谐振动之一，以时间为横轴，摆球离开平衡位置的位移为纵轴，作出摆球偏离平衡位置的位移随时间变化的关系图，你发现什么规律了么？提问启发引导思考作答交流用生活中的现象创设情境的引发学生思考激发求知欲探索新知简谐运动形成的曲线是一条波浪起伏、周而复始的曲线，我们可以用正弦函数来刻画它.由三角函数的单位圆定义可知,在第一象限内, sin x 随 x 的增大而增大; 在第二象限内, sin x 随 x的增大而减小; 在第三象限内, sin x 随 x 的增大而减小; 在第四象限内, sin x 随 x 的增大而增大.根据单位圆的圆周运动特点, 单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置,这说明自变量每增加或者减少2π, 正弦函数值将重复出现. 这一现象可以用公式sin(x +2k π) = sin x ，k ∈Z来表示.一般地，对于函数 y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内任意一个值时，都有f (x +T ) ＝f (x )，则称函数y ＝f (x )为周期函数．非零常数T 为y ＝f (x )的一个周期．因此正弦函数y = sin x ，x ∈R 是一个周期函数，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都是它的周期，即常数2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期．如果周期函数y ＝f (x )的所有周期中存在一个最小的正数 T0，那么这个最小的正数 T0就称为y ＝f (x )的最小正周期． 显然，2π为正弦函数的最小正周期.利用正弦函数的周期性质可以简化正弦函讲解结合图像引导说明讲解解释说明说明倾听观察图像思考理解理解思考理解思考数形结合说明问题帮助学生动态理解函数的特征说明函数的周期不唯一从而说明引入最小正周期的必要性数形结合说明问题渗透树形结合思想方法逐步提升直观想象核心素养数的图像与性质的研究过程．下面用描点法作出正弦函数y = sin x 在[0,2π]上的图像．(1)列表把区间[0,2π]分成12等份, 分别求出y =sin x 在各分点及区间端点的正弦函数值.(2)描点作图．根据表中x ，y 的数值在平面直角坐标系内描点(x , y ) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y ＝sin x 在 [0,2π]上的图像.观察函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图像发现，在确定图像的形状时，起关键作用的点有以下五个，描出这五个点后，正弦函数的图像就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到[0,2π]上正弦函数的图像简图了，这种作图方法称为五点法．因为正弦函数的周期是2π，所以正弦函数值每隔2π重复出现一次．于是，我们只要将函数y ＝sin x 在 [0,2π]上的图像沿x 轴向左或向右平移2k π(k ∈Z )，就可得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像.指导引导操作分析强调“五点法”是重要的作图方法和学生必备基本技能正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是(2)描点作图. 引导讲解观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝[0,2π]内，符合题意的x满足0≤x书面作业：完成课后习题和学习与训练；查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与。
北师大版数学必修四：《正弦函数的图像与性质》导学案(含解析)
第5课时正弦函数的图像与性质1.能从单位圆得出正弦函数的性质(定义域、值域、周期性,在[0,2π]上的单调性).2.理解正弦线的含义,能在单位圆中作出角α的正弦线.3.了解正弦曲线的画法,能利用五点法画出正弦函数的简图.4.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.如图所示,装满细沙的漏斗在做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直的运动的木板上的曲线轨迹.问题1:如下图,设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),过点P作x轴的垂线,垂足为M,我们称MP为角α的,如果b>0,把MP看作与y轴,规定此时MP具有正值b;如果b<0,把MP看作与y轴反向,规定此时MP具有负值b,当角α的终边在x轴上时,正弦线变成.问题2:作正弦函数图像的一般方法(1)描点法:列表,描点,连线.(2)几何法:几何法就是利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.(3)五点法:正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]中,五个关键点为、、、、.问题3:根据曲线写出正弦函数的一些性质:函数y=sin x性质定义域值域周期性是周期函数,周期为2kπ(k∈Z),最小正周期为最值当时,取得最大值1当时,取得最小值-1 单调性增区间减区间奇偶性对称性对称轴为对称中心为点问题4:《创设情境》中细沙在木板上形成的曲线是的曲线,可采用“五点法”作图画出该曲线的图像.1.y=sin x,x∈[,]的值域为().A.[-1,1]B.[,1]C.[,]D.[,1]2.若sin x=2m+3,且x∈[-,],则m的取值范围为().A.[-,]B.[-,-]C.[-,-]D.[-,]3.用“五点法”作函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的图像时的五个点分别是、、、、.4.观察正弦函数的图像,求满足sin x>0的x的取值范围.与正弦函数有关的函数的定义域求函数y=的定义域.与正弦函数有关的函数的值域求下列函数的值域.(1)y=(sin x-2)2+1;(2)y=m sin x+n(m≠0).正弦函数性质的运用求函数y=lo sin x的单调递增区间.求下列函数的定义域:(1)y=lg(sin x-1);(2)y=+.求f(x)=2sin2x+2sin x-,x∈[-,]的值域.求函数y=sin(-2x)的单调递增区间.1.点M(,m)在函数y=sin x的图像上,则m的值为().A.B.C.D.12.函数y=sin x的图像的一条对称轴方程可以是().A.x=-B.x=C.x=-D.x=π3.函数y=的定义域为.4.判断方程x+sin x=0的根的个数.(20XX年·江西卷)函数y=sin2x+sin x-1的值域为().A.[-1,1]B.[-,-1]C.[-,1]D.[-1,]考题变式(我来改编):第5课时正弦函数的图像与性质知识体系梳理问题1:有向线段正弦线同向一点问题2:(3)(0,0)(,1)(π,0)(,-1)(2π,0)问题3:R[-1,1]2πx=+2kπ(k∈Z)x=-+2kπ(k∈Z)[-+2kπ,+2kπ](k∈Z) [+2kπ,+2kπ](k∈Z)奇函数x=kπ+(kπ,0)问题4:正弦型函数基础学习交流1.B当x=时,y有最大值1,当x=时,y有最小值.2.C∵x∈[-,],∴由y=sin x的图像可知y∈[-,],即-≤2m+3≤,解得-≤m≤-.故m的取值范围为[-,-].3.(0,2)(,3)(π,2)(,1)(2π,2)4.解:如图,观察正弦曲线可得{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}.重点难点探究探究一:【解析】由题意知2sin x+1≥0,即sin x≥-.在一周期[-,]内满足的角为x∈[-,π],由此可以得到函数的定义域为[2kπ-,2kπ+π](k∈Z).【小结】此题等价于求解不等式sin x≥-,注意数形结合,利用图像、正弦线可以快速、准确地得到答案.探究二:【解析】(1)设t=sin x,则有y=(t-2)2+1,t∈[-1,1],∴当t=-1时,y=(t-2)2+1取得最大值10;当t=1时,y=(t-2)2+1取得最小值2,∴y=(sin x-2)2+1的值域为[2,10].(2)∵sin x∈[-1,1],且m≠0,∴当m>0时,y=m sin x+n的值域是[n-m,n+m];当m<0时,y=m sin x+n的值域是[n+m,n-m].综上可知,函数y=m sin x+n的值域是[n-|m|,n+|m|].【小结】本题用到换元法,先设t=sin x,得出t的取值范围,从而将问题转化为我们熟悉的一、二次函数的值域问题.探究三:【解析】令u=sin x,则y=lo u,∵∈(0,1),∴y=lo u是关于u的减函数,故只需求u=sin x的单调递减区间即可,而u=sin x的单调递减区间为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z},∴y=lo sin x的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).[问题]sin x可以小于等于0吗?[结论]sin x不可以小于等于0,因为它是对数函数的真数,故sin x>0.于是,正确解答如下:令u=sin x,则y=lo u,∵∈(0,1),∴y=lo u是关于u的减函数,故只需求u=sin x大于0的减区间即可,而u=sin x的减区间为{x|2kπ+<x≤2kπ+π,k∈Z},∴y=lo sin x的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+π)(k∈Z),【小结】解决此题的关键是理解并掌握对数函数和正弦函数的性质.对于复合函数的单调性问题,注意“同增异减”.同时,注意对数函数的真数大于0.思维拓展应用应用一:(1)由sin x-1>0,得sin x>.作如图正弦曲线y=sin x与直线y=,可知所求定义域为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).(2)由得-≤sin x<1,作如图正弦曲线y=sin x与直线y=-,可知所求定义域为[2kπ-,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+](k∈Z).应用二:令t=sin x,则f(t)=2(t+)2-1,又x∈[-,],∴t∈[-1,],∴f(t)max=f()=1+,f(t)min=f(-)=-1,∴f(x)=2sin2x+2sin x-的值域是[-1,1+].应用三:∵y=sin(-2x)=-sin2x,∴只需求sin2x的单调递减区间即可,即2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),∴y=sin(-2x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).基础智能检测1.B将(,m)代入y=sin x中,得m=sin=.2.C函数y=sin x图像的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).3.{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}由+sin x≥0得sin x≥-,由正弦函数图像得{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}.4.解:设f(x)=-x,g(x)=sin x,在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图像,由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点,即方程x+sin x=0仅有一个根.全新视角拓展C y=sin2x+sin x-1=(sin x+)2-,∵-1≤sin x≤1,∴-≤y≤1.思维导图构建五点法(kπ,0)(k∈Z)x=kπ+(k∈Z)[-1,1][-+2kπ,+2kπ](k∈Z)[+2kπ,+2kπ](k∈Z)奇函数。
正弦函数的图象和性质导学案
1.3.1正弦函数的图象和性质（1）
【学习目标】
1. 会用单位圆中的正弦线画正弦函数的图象；
2. 会用五点法画函数y = sinx ，x ∈[0，2π]的图象。
【重点】用五点法绘制正弦函数图象。
【难点】运用几何法画正弦函数图象。
预习案【课前预习，成竹在胸】
1．正弦函数：___________________________。
2．x y sin =的图象叫做__________________。
3.作图
几何法的作图步骤：
（1）x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆； （2）从圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；
（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π
、
、2π的正弦线；
（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份； （5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。
五点法：
在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。
我们称这种方法为“五点法”，这五个关键点是：___________________________，描出这五个点后，函数y=sinx ，x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了。
4.性质：
探究案【巩固深化，发展思维】
例1．用“五点法”作函数y 1sin x,x [0,2]=+∈π的简图。
（1）列表
（2）描点作图
思考：如何得到y= -sinx 的图象？。
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5. 6．1正弦函数的图像和性质（1）
【教学目标】
知识目标：
(1) 理解正弦函数的图像和性质；
(2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； 能力目标：
(1) 认识周期现象，以正弦函数载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数简图；
(3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．
【教学重点】
（1）正弦函数的图像及性质；
（2）用“五点法”作出函数y =sin x 在[]0,2π上的简图．
【教学难点】
周期性的理解．
【自主学习】
问题1观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间
是多少呢？再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？．
推广：类似这样的周期现象还有哪些？ 概念
对于函数()y f x =，如果存在一个________的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有
x T D +∈(这句话的意思是你取得周期也一定要在X 的取值范围里)并且等式()()f x T f x +=成立，
那么，函数()y f x =叫做____________，常数T 叫做这个函数的一个______________．
由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且 2π，4π， 6π，
及2π-，4π-，
都是它的周期．通常把周期中最小的正数叫做__________________，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π．
【合作探究】
如何画出正弦函数的图像？根据以下的步骤来完成！
题目：用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 第一步：确定函数解析式，本题的解析式是_________________ 第二步：确定取值范围，本题的取值范围是__________________
第三步：观察书上125页图5-28，可以发现在一个周期内，函数的图像有_______个点与横坐标相
交，_________个最高点，_______个最低点。
我们需要__________个点来完成一个周期的函数图像！为了方便就算，我们取（ ， ），（ ， ），（ ， ）（ ， ），（ ， ）这五个点来完成。
第四步：列表格，求出你所用的五个点的对应值
第五步：画图，画坐标系，找出对应点。
连出曲线！。