郑州大学数学分析2009考研真题及答案

郑州大学数学分析2009年试卷

一、（20）

二、（20）

三、（20）

1211

2

0...lim n x

x x x

n

x n +→⎛⎫+++ ⎪⎝⎭

设a ,a ,...,a 是n 个正实数，求a a a

四、（10）

区间上的连续函数如果在任何有理点为零，证明:此函数恒为零。 五、（20）

六、（20）

()2

2

1xt e

f x dt t -+∞

=+⎰

研究函数的连续性及可微性。

七、（20）

()3

3C 2c

y

y dx x dy --⎰求正向简单闭曲线使积分最大，

并求出最大值。

八、（每问10分，共20分）

()()E E F 1F 2f f 设为平面上一个有界闭集，连续函数将一对一映为平面上的点集，证明：也是有界闭集

的逆映射也是连续函数。

()[)()()[)0

010,x

f x x f t x ∞+∞⎰设在，+上连续并且单调递减，证明：函数F =

dt 在单调递减。

1103,lim n n x x x +→∞

<<=设证明：极限x 存在并求之。

2

2

0sin sin x x dx dx x x +∞

+∞=⎰

⎰证明:

郑州大学数学分析2009年试卷答案

一、

()()()()()()()()[)()()[]()()()[)'

2

2

'

0F F 000,1F 0

0,x

x

x

x xf x f t dt

f x f t dt x x x f x f x f t t x x x f t x --=

=

+∞-≤∈≤+∞⎰⎰⎰证明：对求导，

得由在，上连续且单调递减，从而，所以即函数F =dt 在单调递减。

二、

{}111133

3,22

3

,2,3,...,2320

3

.2

3

lim ,2n n n n n n n n n n n n n n x x x n n

x x x x x x x x x a x a ++++→∞+-<==≤=--==

>>===证:显然0

设两边对

三、

11201211001121120...lim ...ln ln ...ln lim lim ...ln ln ...ln ...lim x

x

x

x

n x x x x

n x x n n

x x

x x n n

x

x

x

x

n x a a a n a a a a a a a n x a a a a a n

a a a n ++++→→→→⎛⎫+++ ⎪⎝⎭

+++++=+++++=

=⎛⎫

+++= ⎪⎝⎭

解：对取对数得所以

四、证明：利用连续函数的局部保号性

'

22

20020220002

200sin 1sin sin 2sin cos 0sin sin lim 0,lim 0

sin 2sin sin sin x x x dx xdx

x x x x x

dx

x x

x x

x x

x x

dx dx

x x

x x

dx dx x x

+∞

+∞+∞→→∞+∞+∞+∞+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭+∞=-+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明：由于所以上式=综上可得

六、

()[)()[)()[)()[)()[)2

2

22

2

2

2

222

02'

22

22

22

,111

0,,11100,111,01010xt

xt xt xt t

xt xt

e f x t dt t

e x dt t t t

f x f x e t e x f x t t t t t t e dt t

f x -+∞

-+∞----+∞=+∈+∞≤++++∞+∞-=++-≤+-+∞++∞⎰

⎰⎰证明：设当时，由收敛，

从而在，上一致收敛，故在，上连续

对

对求导得因为一致有界，e 单调递减趋于所以由狄利克雷判别法知在，上一致收敛故在，上可微的

()(){}

(){

}

(){

}

3

322D

2222D

2222D

2163C 630163C:631,16312

c

y

y dx x dy x y dxdy

D x y x y dxdy x x y y x y dxdy --=-++≥-+⎧=⎪

+=⎨

=⎪⎩

-+=

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：由是由曲线所围成的平面区域

由要使最大，

应尽量使平面区域最大化，且被积函数为正的，那么积分曲线作积分变换

八、

(){}(){}{}

()()

()

000001E F F F ,,,lim ,lim lim F F i k k k k

n k k k k k n n n n n k k k f y y f x y x E x E x x x x y f x f x f x y y →∞

→∞

→∞

=∈∈=====证明：由为有界闭集，为连续函数，显然是有界的

下证为闭集

设为中的任意一个无限点集，对于每个存在一个的它必有聚点即存在的子列满足则从而为聚点，即中的均是聚点，可得为有界闭集。

()()()()()()()10000

000110010102,,0,0,,F f f f y F x E f x y f x x x x f x f x y y f y f y f y y f εδδεδεδε-----∀∈∈=∀>∃>-<-<=-<-<由是一一映射，知存在，

因为是一一映射，对存在使得由在连续，当时，令上述，即当时从而在连续。

由的任意性，是上的连续函数。

答案仅供参考！