高三数学《不等式选讲》专题复习题含答案

高三数学《不等式选讲专题复习题》含答案

典型题一

【母题原题1】【2018新课标1，理23】已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.

【母题原题2】【2017新课标1，理23】已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

【母题原题3】【2016新课标1，理24】已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像;

(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.

【解析】(Ⅰ)f(x)=

y=f(x)的图像如图所示.

母题揭秘：

【绝对值不等式的解法与性质】

1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c 型不等式的解法

（1）若c>0，则|ax＋b|≤c⇔–c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤–c，然后根据a，b的取值求解即可；

（2）若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R．

2．|x–a|＋|x–b|≥c，|x–a|＋|x–b|≤c（c>0）型不等式的解法

零点分区间法零点分区间法的一般步骤为：

①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；

②将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间；

③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

④取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集．

几何法（利用|x –a|

的几何意义）

由于|x –a|+|x –b|与|x –a|–|x –b|分别表示数轴上与x 对应的点到与a ，b 对应的点

的距离之和与距离之差，因此对形如|x –a|+|x –b|≤c （c >0）或|x –a|–|x –b|≥c （c >0）

的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．

数形结合法

通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函

数的零点并画出函数图象是解题的关键．

3．|f （x ）|>g （x ），|f （x ）|0）型不等式的解法： ①|f （x ）|>g （x ）⇔f （x ）>g （x ）或f （x ）<–g （x ）； ②|f （x ）|

③a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当

()()0a b b c --≥

【证明不等式的常见方法】

不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等． （1）如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；

（2）如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；（3）如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．

在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．

跟踪练习一

1．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】已知函数

，关于的不等式

的解集记为.

（1）求； （2）已知，，求证：

.

2．【安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试】已知函数

(1)解不等式.

(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.

3.【河南省洛阳市2017-2018学年高三年级第一次统考】已知函数()()1

3

f x x a a R =-∈. （1）当2a =时，解不等式()1

13

x f x -

+≥； （2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤

⊆⎢⎥⎣⎦

，求实数a 的取值范围．

4．【河南省南阳市第一中学2018届高三第十八次考试】已知函数，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）

，

，求的取值范围.

典型题二

【母题原题1】．【河南省豫北豫南名校2018届高三上学期精英联赛】 已知函数()()1

20f x x a x a a

=++-

≠。 （1）当1a =时，解不等式()4f x <；

（2）求函数()()()g x f x f x =+-的最小值。 【答案】（1）5,13⎛⎫

- ⎪⎝⎭

；（2）42.

【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得()2

22g x a a

≥+

，再根据基本不等式求最小值. 试题解析：（1）

1a =， ∴原不等式为2114x x ++-<，

1{ 2214x x x <-∴---+<，或11,{ 2214,x x x -≤≤+-+<或1,{ 2214,

x x x >++-<

5

13x ∴-<<-或11x -≤<或ϕ，

∴原不等式的解集为5,13⎛⎫

- ⎪⎝⎭

.

【母题原题2】．【辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考】 函数()1f x x m x m =+-． （Ⅰ）当1m =时，求不等式()1

2

f x ≥

的解集； （Ⅱ）若对任意[]

0,1m ∈，不等式()f x n ≥的解集为空集，求实数n 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）不等式()12f x ≥解集为1| 4x x ⎧

⎫≥-⎨⎬⎩⎭

；（Ⅱ） 2+∞（，）.

【解析】试题分析：

本题考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用。（Ⅰ）根据零点分区间法将绝对值不等式化为不等式组求解。（Ⅱ）由绝对值的三角不等式可得()max 1f x m m =-1m m -的