清华大学微积分高等数学课件第7讲定积分二

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牛顿—莱布尼兹公式将定积分的计 算问题转化为求被积函数的一个原函 数的问题.
[例 1] 计 算1 1 dx 01x
| [解]
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1பைடு நூலகம்
dxln1(x)
01x
0
ln2 ln1
ln2
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[例 2]计 算 1six n dx 0
[解]
0
1 six n d x 0
记作 F(x)ax f (t)dt (axb)
上限变量
x
或 F(x)a f (x)dx (axb)
是 上 限 x的 函 数 积分变量
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定理： (1)若f(x)R[a, b]则 , F(x)C[a, b];
(2)若f(x)C[a, b]则 , F(x)D[a, b] 且F(x)f(x) x[a, b]
数？
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二、牛顿—莱布尼兹公式 定理2：设f(x)C[a, b],F(x)是f(x)在[a, b]
上的任意一,则 个有 原函数
bf(x)d xF (b)F (a)F (x)b
a
a
[证] 因f为 (x)C[a,b]故 , 由1知 定 ,变理 上
定 积G分 (x)
x
f(t)dt
a
是f(x)在 [a, b]上的一个 ,且 G 原 (a)函 0.
F (x)lim 1xx f(t)d tlim f()
x 0 x x
x 0
介 于 x与xx之 间 f(x)
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x0 x
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[例 1 ]求 (1 )d d x 1 xetd ;t(2 )d d x 1 x2etd t
[解] 因为 ex是连续函 ,所数 以有
(1)
[注意] 连续函数一定存在原函数 ！
dx
dx(a f(x)dx)f(x)
质 点 以v(速 t)从 度时a开 刻始 作 直,线
在
时t走 刻过
t
路s程 (t)a
v()d
当v(t )连续时就有s(t)dd[tatv()d]v(t)
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路程函数是速度函数的原函数4
[证] (1) 用连续定义证明
b
G (b )f(t)d t G (b ) G (a )(1 )
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a
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又已F(知 x)是f(x)在[a, b]上的任意 一个原,故 函有 数
F(x)G (x)C
于 , 是 G ( b ) G ( 有 a ) F ( b ) F ( a )
代入(1式 ) ,便得到
b
a f(x)dx F(b)F(a)
d dx
1xetdt ex
令 u x2
(2)
d dx
x2 1
etd
t
d [ uetdt] du
du 1
dx
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eu2x2xex2 7
[例 2] 求ddxxx23etdt
[解]
x2 etdt 1 etd t x2etdt
x3
x3
1
x2etdt x3etdt
1
1
d d x x x 2 3e td td d x 1 x 2e td td d x 1 x 3e td t
1 2 si2 xc no 2 xdsx
0
(si2 xnco2 xs)2dx
x
x
0
sin cos dx
2
2
0 2(c2 x o ssi2 x n )d x 2 (s2 x i n co 2 x)d sx
| | 202 0/8(/82 si2 xn 2 co 2 x)0 2 s ( 2 co 2 x 2 ssi2 x)n 2 4(
作业
P174习题6.3
1(3)(4). 2(2). 4. 5.
7(3)(5)(11). 8(1)(3).
复习: P168—186
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第十七讲 定积分（二） 一、变上限定积分 二、牛顿-莱布尼兹公式 三、定积分的换元积分法 四、定积分的分部积分法
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一、变上限定积分
若 f(x)在 [a, b]上 可 ,则 x 积 [a, b] f(x)在 [a, x]上也 . 可积
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
xx
x
F (xx)F (x)f(t)d tf(t)dt
xx
a
a
a
x x
f(t)dt f(t)dt f (t )dt
a
x
x
f R [ a ,b ] M 0 ,f ( x ) M x [ a ,b ]
xx
xx
0F (xx)F (x)f(t)d t f(t)dt
法，对这种函数也可以讨论各种性态。
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[例 4]
设参数x 方ts程 in d,y
0
c
0
t
ods
确定函 yy数 (x)求 , dy, dx
d2y dx 2.
[解] dy y(t) cost cot dx x(t) si nt
d2y dx2
(
dy dx
)t
x(t )
(cott)t s int
x
x
M x 0(x 0)
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[证] (2) 用导数定义证明
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
由 (1 )有 , F (x )liF m (x x ) F (x )
x 0
x
1 xx
lim f(t)dt
x x0 x
f(x)C[a, b],利用积分中值定理得到
2xxe2(3x2)ex3 2xxe23x2ex3
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[例3] 设由方ye程 t2dt 0sint2dt0
0
x
能确定隐y函 y(x数 ),求dy. dx
[解] 方程两边 x求对 导 ,得到
ey2 dysinx2 0 dx
解出dy , 得 dx
dy ey2 sinx2 dx
[注意] 变上限定积分给出一种表示函数的方
1 sin 3
t
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x
(1c
ot2s)dt
[例 5]求 极l限 im0 x 0
5
x2
[解] “ 0 ”,利用洛比达法则 0
x
(1c
l i m 0
x 0
5
x2
ot2)sdt (1cox)s 1
lim x 0
3
x 5 2
2
2x
(1cosx)
lim x0
5x2
xli0m 512 xx22
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[例6] 试问:具有什麽性质的f ,恒 函有 数
x
f(x)d xaf(t)d tC(x [a,b])
若fC[a,b],则 有
x
f(x)dxa f(t)d tC (x[a,b])
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思考题：
1.有原函数的函数是否一定连续？ 2.有原函数的函数是否一定黎曼可积？ 3.黎曼可积的函数是否一定存在原函