大一高数 微分中值定理与导数的应用高等数学作业与练习册(第三章习题)

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第三章 微分中值定理与导数的应用

本章概述：本章以微分中值定理为中心，讨论导数在研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性）方面的应用．

重点：中值定理；洛必达法则；函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点；函数极值的求法；函数的最值问题；方程根的存在性及不等式的证明．

难点：三个中值定理及泰勒公式；方程根的存在性及不等式的证明．

基本要求：理解中值定理的条件和结论，它是本章内容的理论基础，是建立导数与函数关系的桥梁；掌握中值定理证明的思想方法--构造性证明方法．此方法不仅在中值定理的证明中，而且在不等式的证明、方程根的存在性及导数的应用中都具有广泛的应用；掌握洛必达法则，它是求未定型极限的一种重要方法；掌握导数的应用，会利用导数研究函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性和拐点等．

第一节 微分中值定理

1．填空与选择：

（1）下列函数在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）

（A ）x

e x

f =)(； （B ）||)(x x f =；

（C ）2

1)(x x f -=； （D ）⎪⎩⎪⎨⎧

=≠=0

,00 ,1sin )(x x x

x x f ． （2）下列条件不能使)(x f 在],[b a 上应用拉格朗日中值定理的是（ ）

（A ）在],[b a 上连续，在),(b a 内可导； （B ）在],[b a 上可导；

（C ）在),(b a 内可导，且在a 点右连续，b 点左连续； （D ）在),(b a 内有连续的导数．

（3）函数()ln (1)f x x =+在[0,1]e -上满足拉格朗日定理中的数值ξ是（ ）

（A ）e ； （B ）1e -； （C ）2e -； （D ）1． （4）设)(x f y =在),(b a 内可导，,x x x +∆是),(b a 内的任意两点，()-()y f x x f x ∆=+∆，则（ ）

（A ）x x f y ∆'=∆)(；

（B ）在x x x ∆+,之间恰有一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ； （C ）在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ；

2

（D ）在x x x ∆+,之间的任一点ξ，均有x f y ∆'=∆)(ξ．

（5）若)(x f 在),(b a 内可导，且12,x x 是),(b a 内任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使（ ）

（A ）()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中b a <<ξ； （B ）11()()()()f b f x f b x ξ'-=-，其中b x <<ξ1； （C ）2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-，其中21x x <<ξ； （D ）22()()()()f x f a f x a ξ'-=-，其中2x a <<ξ．

（6）设)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程()0f x '=有_____ 个实根, 分别位于区间 中． 2．证明：当1x ≥时，恒等式2

22arctan arcsin 1x x x

π+=+成立．

3．设函数()f x '在[,]a b 上连续,且()()0f a f b <，

()0((,))f x x a b '≠∈．证明函数()f x 在区间(,)a b 内有唯一

零点．

4．证明：方程0x

x e +=在区间(1,1)-内有唯一的根．

3

5．设)(x f 在[0,1]上具有二阶导数，(1)(1)0f f =-=，又)()(2

x f x x F =．证明在)1,0(内至少存在一点ξ，使

0)("=ξF ．

6．证明下列不等式：

（1）当1,0n a b >>>时，11

()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-．

（2）当π<

x cos sin >．

7．设)(x f 是],[b a 上的正值可微函数．证明：存在),(b a ∈ξ，

使得)()

()()

()(ln

a b f f a f b f -'=ξξ．

4

8． 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，证明在(0,1)内存在一点c ，使 ()2()()cf c f c f c ''+=．

本节作业总结：

5

第二节 罗比达法则

1．填空与选择：

（1）能用罗必塔法则求极限的是（ ）

（A ）4

314lim

2

1-+-→x x x x ； （B ）x

x x x x ln ln lim

++∞

→；

（C ）x

x x x sin 1

sin

lim

2

→； （D ）x

x x

x

x e e e e --+∞→+-lim ．

（2）下列各式运用洛必达法则正确的是（ ）

（A ）==∞

→∞

→n

n n

n n e n ln lim

lim 11

lim

=∞→n n e ；

（B ）=-+→x

x x x x sin sin lim

∞=-+→x

x x cos 1cos 1lim

；

（C ）x

x

x

x x

x x x x cos 1cos

1

sin

2lim

sin 1sin

lim

02

-=→→不存在；

（D ）x x e x 0lim →=11

lim 0=→x x e

．

（3）=→

x

x x 3cos 5cos lim

2

π

．

（4）=+

+∞

→x

x

x arctan )1

1ln(lim

．

（5）0

lim (sin )x

x x +→= ．

（6）)tan 11(

lim 2

x

x x

x -

→= ．

2． 利用罗必塔法则求下列各极限：

（1）1

23lim

2

3

2

3

1

+--+-→x x x x x x ．

（2）lim

(0)m m n

n

x a

x a a x a

→-≠-．