电容电感计算公式(114)
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电容的电路符号和有关的电参量如图 1 所示。
图 1.电容的电路符号 电容的模型可看作如图 2 所示的被电介质隔离的两个导电金属板。 当电压 v 加在金属板间时，一个金属板上积聚+q 电荷而另一个积聚-q 电荷。
图 2.电容模型
如果金属板面积为 A 相互间距为 d ，则金属板间产生的电场强度为
电容极板间的电压为
对于电容 C3：
电感： 电感是一个在磁场中储存能量的线圈。 考虑一个长度为 l 的导线圈成如图 11 所示的 A 区域。A 中的电流 i（t）按着图示方向
流过线圈。这个电流产生的磁感应强度 B 为：
µ 为导线材料的磁导率
通过 A 的磁通量为：
图 11.计算电感的电流回路
我们曾经定义过 从麦克斯韦方程可以知道：
1 这里假设两个电容初始都没有电荷
(1.14) (1.15)
(1.16)
(1.17) (1.18)
(1.19) (1.20)
图 8.两个电容并联
输送到一个电容的瞬时功率为
P(t) = i(t)v(t)
(1.21)
每个电容存储的能量是瞬时功率的积分。假设电容在 t = −∞ [ v(−∞) = 0 ]时没有电荷
E= q εA
(1.1)
v
=
Ed
=
qd εA
(1.2)
流入电容的电流为通过电容两极板的电量变化率 i = dq 。因此我们可以得到， dt
i = dq = d ⎜⎛ εA v ⎟⎞ = εA dv = C dv dt dt ⎝ d ⎠ d dt dt
(1.3)
比例常数 C 为电容器的电容值。它是电容器的几何参数-板间距(d)极板面积(A)的函数并由极板间电解质的介电常数(ε)决定。
图 14
电感串联或并联，可以求出等效电感。首先考虑电感的并联，图 15 所示。电感上的电压相 同。
由 KCL 我们可知： 则有：
图 15 电感的并联
电感的并联类似于电阻的并联。 接下来我们看看电感串联的情况，见图 16
图 16 电感的串联
通过 KVL，我们可知：
电感的串联类似于电阻的串联 电感中储存的能量是电感上瞬时功率的积分。假设在 t =∞的时候没有电流流过，那么在 t 时刻，电感中储存的能量为：
C = εA d
(1.4)
电容量表示电容存储电荷的能力，它的计量单位为法拉(F)。
电容的电压和电流关系为
i = C dv dt
(1.5)
电容特性方程中存在时间参量，使得包含电容的电路有了新的令人激动的特性。注意对
于直流（时间恒定）信号（ dv = 0 ）电容表现为开路（ i = 0 ）。还要注意电容的电压不会 dt
常数 i（0）表示的是在 t=0 的时候流过电感的电流（我们假设当 t－﹥∞的时候，i=0）
现在讨论当电感 L 接交流电流源时电流的变化，电路如图 13 所示。
假设电流 i（t）的形式为：
图 13 基本电感电路
那么电压 v（t）变为：
因此流过电感的电流和经过电感的电压是相差 90 度的。这里电压超前电流 90 度。图 14 说 明了电感上电流和电压的大致图像。
在电感中储存的能量 E 为：
在直流时，电感就相当于短路。 电感 L 反映的是磁通量储存的效率。
问题： 计算下面电路的等效电容。
计算每个电容上的电压和其储存的能量。
在下面电路中，电流源提供 i=10 exp(-2t) mA 的电流，计算每个电容上的电压和在时间 t=2sec 时每个电容上储存的能量。
图 10.带串联电阻的非理想电容 典型的等效串联电阻值在 mΩ 到 Ω 之间。
电容以电场的形式存储能量
∫ 电流电压关系 i = C dv , v = 1 idt
dt C
在直流电路中电容表现为开路 电容量 C 表示电容存储电荷的能力 电容的单位为法拉（F）。1 法拉=1 库仑/1 伏特 典型的电容值在mF(10-3F)到pF(10-12F)之间
2
2
例子. 计算在直流电源的条件下，下面电路中电容所储存的能量。
另外，在直流电源的条件下电容相当于开路，其相应的电路图是：
从这个电路中，我们可以看出，电压 V1 和 V2 都是 10 伏特，从而可知电容 C1 上的电压 为 0 伏特。
因此电容上储存的能量是：
对于电容 C1：
0 焦耳
对于电容 C2：
电容存储的能量为 E = 1 Cv 2 2
大电容存储之前应将端子短接。
例子：
一个 47μF 的电容连接在电压为 v(t) = 20sin(200πt) 伏
的时变电压源上。计算通过电容的电流 i(t)
得出电流为
i = C dv = 47 ×10 −6 × 20 × 200π cos( 200πt) = 0.59 cos( 200πt)安培 dt
∫ v2 =
1
t
idt
C2 0
回路的 KVL 结果为
v(t
)
=
⎜⎛ ⎝
1 C1
+
1 C2
∫⎟⎞ t
⎠0
idt
根据 v 和电容值依次给出电压 v1 和 v2
v1 = v C2 C1 + C2
v2 = v C1 C1 + C2
类似的并联电容组（图 8）的电流分配原则为
i1 = i C1 C1 + C2
i2 = i C2 C1 + C2
原因。
让我们考虑图 3 所示的电路,电路中电容量为 C 的电容连接在时变电压源 v(t)上。
如果电压 v(t)的形式为
图 3.基本电容电路
v(t) = A cos(ωt)
(1.8)
则电流 i(t)为
i(t) = C dv = −CAω sin(ωt) = CωAcos⎜⎛ωt + π ⎟⎞
dt
⎝ 2⎠
突变因为那样需要电流为无穷大，这在实际上是不可能的。
如过果我们把方程(1.5)对时间求积分我们会得到
∫ ∫ t idt =
t C dv dt
−∞
−∞ dt
∫ ∫ v =
1
t
idt =
1
t
idt + v(0)
C −∞
C0
(1.6) (1.7)
积分中的常量 v(0)代表电容在 t = 0 时刻的电压值。v(0)的存在是电容具有存储特性的
非理想电容的一般电路模型如图 9 所示
图 9.非理想电容 阻抗 Rp 一般很大，它表示电介质的阻抗。阻抗 Rs 一般很小，这符合引线和极板电阻 以及由于工作条件产生的阻抗效应（例如信号频率）。 在实际中我们把与电容串联的电阻叫做等效串联电阻（ESR）。ESR 是电容器一个很重 要的特征，在电路设计中必须考虑。因此我们感兴趣的非理想电容模型如图示
(1.9)
因此通过电容的电流与电容上的电压相位差 90 度。电流超前电压 90 度。 电容的电压电流波形图如图 4 所示。电流超前电压 90 度。
图4 如果取峰值电压与峰值电流之比我们可以得到
Xc = 1 Cω
(1.10)
Xc 的单位为伏/安或欧姆，因此它表现出某些电阻特性。注意当频率ω → 0 Xc 的值将
实际电感 以下两点是造成电感非理想的原因所在：
1．用有限阻值的导线绕制线圈 2．线圈的匝效应在高频的时候变的很显著。 图 17 为非理想的电感模型
图 17.不理想电感的电路模型 除了有阻性非理想的电感外，还有容性非理想电感。高频时尤其显著。除了额外说明，否则， 在我们的分析中忽略这些影响。 一个电感以磁场形式储存能量。 电流-电压的关系是：
电容和电感
我们通过引进两个新的无源线性元件：电容和电感来继续我们对线性电路的分析。 迄今学习的所有线性电阻电路的分析方法都适用于包含电容和电感的电路。 理想的电容和电感存储能量而不是像电阻那样消耗能量。
电容：
在数字和模拟电子电路中电容都是一个基本元件。它是一个滤波器件和记忆元件。电 容是电场中的储能元件。
趋于无穷大，这表示电容类似开路。
电容阻碍低频电流
当频率很大时 ω → ∞ Xc 的值将趋于零，这表示类似短路。
电容允许通过高频电流
电容可以通过串联和并联的方式组合成一个等效电容。我们先考虑如图 5.所示的并联 电容组。注意所有的电容上的电压都是相同的电压 v 。
图 5.电容并联
Fra Baidu bibliotek
应用 KCL 我们可以得到
我们从回路的电压电流关系，将常数 L 叫作电感。
常数 L 被称为电感的电感值，其单位是 H。在图 12 中，是与电感 L 有关的电路符号和相关 的电气变量。
图 12.电感的电路符号 直流信号作用电感相当于短路。注意到电感中电流不能突变，因为那样要求电感两端的 电压趋于无穷大，那样 L 是无法承受的。当我们设计电感电路时，应该紧记这点，流过电感 的电流一定不能瞬间改变。 我们结合以前的方程式可知：
通过极板，则在 t 时刻存储在电容中的能量为
∫ ∫ ∫ E(t) =
t
P(τ )dτ
=
t
v(τ )i(τ )dτ
=
t v(τ )C dv(τ ) dτ
= 1 Cv(t)2
−∞
−∞
−∞
dτ
2
(1.22)
实际电容.
如果电容极板间的电介质材料电阻率有限——与理想电容的无限的电阻率相比——那 么在电容器的两个极板间会有微小的电流流过。另外还有引线电阻和极板效应。
(1.12)
接下来我们看如图 6 所示的电电容容串的联并方联式类似于电阻的串联
图 6.n 个电容串联 对回路应用 KVL 并有(1.7)式我们可以得到
⎜⎛
⎟⎞
v
=
v1+
v2
+
v3
+
...
+
vn
=
⎜ ⎜ ⎜
∫ 1
+
1
+
1
+ ... +
1
⎟t ⎟
1C144C4242C34444C3n⎟0
i(t
)dt
+
v(0)
例子：
计算右边电路中的电容在直流条件 下存储的能量。
为了计算电容存储的能量，我们必须 确定它的电压然后用（1.22）式。
我们知道在直流条件下电容表现为 开路（没有电流通过它）。因此相应的电路为
从由 1kΩ 与 2kΩ 电阻组成的分压器中分得的电压 v 为 12 伏。因此电容中存储的能量
为
Ec = 1 Cv 2 = 1 1×10−6 ×122 = 72微焦耳
i = i1+ i2 + i3 + ... + in 又由 ik = Ck dv 我们可以得到
dt
(1.11)
i
=
C1 dv dt
+
C2
dv dt
+
C3 dv dt
+ ... +
Cn
dv dt
=
⎜⎛ ⎜⎝
C114+ 4C244+2C34+4...4+4C3n Ceq
⎟⎞ ⎟⎠
dv dt
=
Ceq
dv dt
=
1 Ceq
t
∫
0
i(t
)
+
v(0)
⎜
1
⎟
⎝
Ceq
⎠
(1.13)
电容的串联类似于电阻的并联
通过推算我们能计算出串联电容间的电压分配原则。这里我们只考虑两个电容串联的情 况，如图 7 所示。
图 7.两个电容串联
两个电容流过的电流相同，因此它们上的电压v1 和v2 为：1
∫ v1 =
1
t
idt
C1 0
图 1.电容的电路符号 电容的模型可看作如图 2 所示的被电介质隔离的两个导电金属板。 当电压 v 加在金属板间时，一个金属板上积聚+q 电荷而另一个积聚-q 电荷。
图 2.电容模型
如果金属板面积为 A 相互间距为 d ，则金属板间产生的电场强度为
电容极板间的电压为
对于电容 C3：
电感： 电感是一个在磁场中储存能量的线圈。 考虑一个长度为 l 的导线圈成如图 11 所示的 A 区域。A 中的电流 i（t）按着图示方向
流过线圈。这个电流产生的磁感应强度 B 为：
µ 为导线材料的磁导率
通过 A 的磁通量为：
图 11.计算电感的电流回路
我们曾经定义过 从麦克斯韦方程可以知道：
1 这里假设两个电容初始都没有电荷
(1.14) (1.15)
(1.16)
(1.17) (1.18)
(1.19) (1.20)
图 8.两个电容并联
输送到一个电容的瞬时功率为
P(t) = i(t)v(t)
(1.21)
每个电容存储的能量是瞬时功率的积分。假设电容在 t = −∞ [ v(−∞) = 0 ]时没有电荷
E= q εA
(1.1)
v
=
Ed
=
qd εA
(1.2)
流入电容的电流为通过电容两极板的电量变化率 i = dq 。因此我们可以得到， dt
i = dq = d ⎜⎛ εA v ⎟⎞ = εA dv = C dv dt dt ⎝ d ⎠ d dt dt
(1.3)
比例常数 C 为电容器的电容值。它是电容器的几何参数-板间距(d)极板面积(A)的函数并由极板间电解质的介电常数(ε)决定。
图 14
电感串联或并联，可以求出等效电感。首先考虑电感的并联，图 15 所示。电感上的电压相 同。
由 KCL 我们可知： 则有：
图 15 电感的并联
电感的并联类似于电阻的并联。 接下来我们看看电感串联的情况，见图 16
图 16 电感的串联
通过 KVL，我们可知：
电感的串联类似于电阻的串联 电感中储存的能量是电感上瞬时功率的积分。假设在 t =∞的时候没有电流流过，那么在 t 时刻，电感中储存的能量为：
C = εA d
(1.4)
电容量表示电容存储电荷的能力，它的计量单位为法拉(F)。
电容的电压和电流关系为
i = C dv dt
(1.5)
电容特性方程中存在时间参量，使得包含电容的电路有了新的令人激动的特性。注意对
于直流（时间恒定）信号（ dv = 0 ）电容表现为开路（ i = 0 ）。还要注意电容的电压不会 dt
常数 i（0）表示的是在 t=0 的时候流过电感的电流（我们假设当 t－﹥∞的时候，i=0）
现在讨论当电感 L 接交流电流源时电流的变化，电路如图 13 所示。
假设电流 i（t）的形式为：
图 13 基本电感电路
那么电压 v（t）变为：
因此流过电感的电流和经过电感的电压是相差 90 度的。这里电压超前电流 90 度。图 14 说 明了电感上电流和电压的大致图像。
在电感中储存的能量 E 为：
在直流时，电感就相当于短路。 电感 L 反映的是磁通量储存的效率。
问题： 计算下面电路的等效电容。
计算每个电容上的电压和其储存的能量。
在下面电路中，电流源提供 i=10 exp(-2t) mA 的电流，计算每个电容上的电压和在时间 t=2sec 时每个电容上储存的能量。
图 10.带串联电阻的非理想电容 典型的等效串联电阻值在 mΩ 到 Ω 之间。
电容以电场的形式存储能量
∫ 电流电压关系 i = C dv , v = 1 idt
dt C
在直流电路中电容表现为开路 电容量 C 表示电容存储电荷的能力 电容的单位为法拉（F）。1 法拉=1 库仑/1 伏特 典型的电容值在mF(10-3F)到pF(10-12F)之间
2
2
例子. 计算在直流电源的条件下，下面电路中电容所储存的能量。
另外，在直流电源的条件下电容相当于开路，其相应的电路图是：
从这个电路中，我们可以看出，电压 V1 和 V2 都是 10 伏特，从而可知电容 C1 上的电压 为 0 伏特。
因此电容上储存的能量是：
对于电容 C1：
0 焦耳
对于电容 C2：
电容存储的能量为 E = 1 Cv 2 2
大电容存储之前应将端子短接。
例子：
一个 47μF 的电容连接在电压为 v(t) = 20sin(200πt) 伏
的时变电压源上。计算通过电容的电流 i(t)
得出电流为
i = C dv = 47 ×10 −6 × 20 × 200π cos( 200πt) = 0.59 cos( 200πt)安培 dt
∫ v2 =
1
t
idt
C2 0
回路的 KVL 结果为
v(t
)
=
⎜⎛ ⎝
1 C1
+
1 C2
∫⎟⎞ t
⎠0
idt
根据 v 和电容值依次给出电压 v1 和 v2
v1 = v C2 C1 + C2
v2 = v C1 C1 + C2
类似的并联电容组（图 8）的电流分配原则为
i1 = i C1 C1 + C2
i2 = i C2 C1 + C2
原因。
让我们考虑图 3 所示的电路,电路中电容量为 C 的电容连接在时变电压源 v(t)上。
如果电压 v(t)的形式为
图 3.基本电容电路
v(t) = A cos(ωt)
(1.8)
则电流 i(t)为
i(t) = C dv = −CAω sin(ωt) = CωAcos⎜⎛ωt + π ⎟⎞
dt
⎝ 2⎠
突变因为那样需要电流为无穷大，这在实际上是不可能的。
如过果我们把方程(1.5)对时间求积分我们会得到
∫ ∫ t idt =
t C dv dt
−∞
−∞ dt
∫ ∫ v =
1
t
idt =
1
t
idt + v(0)
C −∞
C0
(1.6) (1.7)
积分中的常量 v(0)代表电容在 t = 0 时刻的电压值。v(0)的存在是电容具有存储特性的
非理想电容的一般电路模型如图 9 所示
图 9.非理想电容 阻抗 Rp 一般很大，它表示电介质的阻抗。阻抗 Rs 一般很小，这符合引线和极板电阻 以及由于工作条件产生的阻抗效应（例如信号频率）。 在实际中我们把与电容串联的电阻叫做等效串联电阻（ESR）。ESR 是电容器一个很重 要的特征，在电路设计中必须考虑。因此我们感兴趣的非理想电容模型如图示
(1.9)
因此通过电容的电流与电容上的电压相位差 90 度。电流超前电压 90 度。 电容的电压电流波形图如图 4 所示。电流超前电压 90 度。
图4 如果取峰值电压与峰值电流之比我们可以得到
Xc = 1 Cω
(1.10)
Xc 的单位为伏/安或欧姆，因此它表现出某些电阻特性。注意当频率ω → 0 Xc 的值将
实际电感 以下两点是造成电感非理想的原因所在：
1．用有限阻值的导线绕制线圈 2．线圈的匝效应在高频的时候变的很显著。 图 17 为非理想的电感模型
图 17.不理想电感的电路模型 除了有阻性非理想的电感外，还有容性非理想电感。高频时尤其显著。除了额外说明，否则， 在我们的分析中忽略这些影响。 一个电感以磁场形式储存能量。 电流-电压的关系是：
电容和电感
我们通过引进两个新的无源线性元件：电容和电感来继续我们对线性电路的分析。 迄今学习的所有线性电阻电路的分析方法都适用于包含电容和电感的电路。 理想的电容和电感存储能量而不是像电阻那样消耗能量。
电容：
在数字和模拟电子电路中电容都是一个基本元件。它是一个滤波器件和记忆元件。电 容是电场中的储能元件。
趋于无穷大，这表示电容类似开路。
电容阻碍低频电流
当频率很大时 ω → ∞ Xc 的值将趋于零，这表示类似短路。
电容允许通过高频电流
电容可以通过串联和并联的方式组合成一个等效电容。我们先考虑如图 5.所示的并联 电容组。注意所有的电容上的电压都是相同的电压 v 。
图 5.电容并联
Fra Baidu bibliotek
应用 KCL 我们可以得到
我们从回路的电压电流关系，将常数 L 叫作电感。
常数 L 被称为电感的电感值，其单位是 H。在图 12 中，是与电感 L 有关的电路符号和相关 的电气变量。
图 12.电感的电路符号 直流信号作用电感相当于短路。注意到电感中电流不能突变，因为那样要求电感两端的 电压趋于无穷大，那样 L 是无法承受的。当我们设计电感电路时，应该紧记这点，流过电感 的电流一定不能瞬间改变。 我们结合以前的方程式可知：
通过极板，则在 t 时刻存储在电容中的能量为
∫ ∫ ∫ E(t) =
t
P(τ )dτ
=
t
v(τ )i(τ )dτ
=
t v(τ )C dv(τ ) dτ
= 1 Cv(t)2
−∞
−∞
−∞
dτ
2
(1.22)
实际电容.
如果电容极板间的电介质材料电阻率有限——与理想电容的无限的电阻率相比——那 么在电容器的两个极板间会有微小的电流流过。另外还有引线电阻和极板效应。
(1.12)
接下来我们看如图 6 所示的电电容容串的联并方联式类似于电阻的串联
图 6.n 个电容串联 对回路应用 KVL 并有(1.7)式我们可以得到
⎜⎛
⎟⎞
v
=
v1+
v2
+
v3
+
...
+
vn
=
⎜ ⎜ ⎜
∫ 1
+
1
+
1
+ ... +
1
⎟t ⎟
1C144C4242C34444C3n⎟0
i(t
)dt
+
v(0)
例子：
计算右边电路中的电容在直流条件 下存储的能量。
为了计算电容存储的能量，我们必须 确定它的电压然后用（1.22）式。
我们知道在直流条件下电容表现为 开路（没有电流通过它）。因此相应的电路为
从由 1kΩ 与 2kΩ 电阻组成的分压器中分得的电压 v 为 12 伏。因此电容中存储的能量
为
Ec = 1 Cv 2 = 1 1×10−6 ×122 = 72微焦耳
i = i1+ i2 + i3 + ... + in 又由 ik = Ck dv 我们可以得到
dt
(1.11)
i
=
C1 dv dt
+
C2
dv dt
+
C3 dv dt
+ ... +
Cn
dv dt
=
⎜⎛ ⎜⎝
C114+ 4C244+2C34+4...4+4C3n Ceq
⎟⎞ ⎟⎠
dv dt
=
Ceq
dv dt
=
1 Ceq
t
∫
0
i(t
)
+
v(0)
⎜
1
⎟
⎝
Ceq
⎠
(1.13)
电容的串联类似于电阻的并联
通过推算我们能计算出串联电容间的电压分配原则。这里我们只考虑两个电容串联的情 况，如图 7 所示。
图 7.两个电容串联
两个电容流过的电流相同，因此它们上的电压v1 和v2 为：1
∫ v1 =
1
t
idt
C1 0