化归思想的应用举例

初等数学中化归思想的应用举例

——研究性学习结题报告

嘉鱼一中学生 彭宇川

在一定的条件下，不少数学问题可以转化，数学问题的转化方法，又称为化归思想。如：高次转化为为低次，多元转化为单元，异名转化为同名，未知转化为已知，一般转化为特殊，参差不齐化归为有规律可循等，运用化归思想处理数学问题,其目的一般是完成复杂向简单、抽象向直观、困难向容易、隐含向显现转化，从而使问题得到简捷解决的目的。以下举例说明。

一、 特殊值化归

例1.1、若f ex dx cx bx ax x +++++=+2

3455)13(，

求f d b ++的值。

解：用一般方法，很难下手，不妨考虑运用特殊值方法化归： 令102441

5

==+++++=f e d c b a x ，则， 令32)2(1

5-=-=+-+-+--=f e d c b a x ，则， 两式相加除以2，得：496=++f d b 二、 找规律化归

例2.1、按规律排列的一串数：2、5、9、14、20、27、…这串数的第2008个数是多少？这串数的第n 个数是多少？（用含n 的代数式表示）

解：找规律

第2008个数20190442

2008)20092()12008(5432=⨯+=

++++++= 第n 个数 []4)3(2)1(2+=⋅++=n n n n 三、 作图化归

为培养动手习惯，出现了一类必须通过动手作图才能寻找正确答案的数学问题。作图法的解题要求是：（1）审清题意；（2）正确作图；（3）检验结果。

例3.1、地面上有不在同一直线上的A 、B 、C 三点，一只机器小狗位于地面异于A 、B 、C 的P 点。小狗第一次从P 点跑到P 关于A 的对称点1P ，第二次从1P 点跑到1P 关于B 的对称点2P ，第三次从2P 跑到2P 关于C 的对称点3P ，第四次从3P 跑到3P 关于A 的对称点4P ，…依次这样继续跑。

（1） 作图说明：点P 和点6P 能否重合？

（2） 试问：小狗跑完2007次，它在地面的什么位置？

解：要了解点P 和点6P 重合否，必须作图说明。

（1）作图显见6P 与P 能重合。

（2）从图上可知小狗跑完6次回到起点P ，而2007÷6=334…3 2007P ∴与3P 重合。

例3.2、电子青蛙游戏盘如右图为,10,9,8,a BC a AC a AB ABC ===∆如果电子青蛙开始时在BC 边上0P 点，a BP 40=。

第一步青蛙跳到AC 边上1P 点，且01CP CP =；

第二步青蛙从1P 跳到AB 边上2P 点，且12AP AP =；

第三步青蛙从2P 跳回到AC 边上3P 点，且23BP BP =；……

青蛙按上述规则跳下去，第2007落点为2007P ，

问2007P 与0P 之间的距离是多少？

解：正确作图：易知

第一次：a CP CP 601==

第二次：a AP AP 312==

第三次：a BP BP 523==

第四次：a CP CP 534==

第五次：a AP AP 445==

第六次：a BP BP 456===0BP

经过六次重复出现

而200733346⋅⋅⋅=÷

a BP BP 532007==∴

2007P ∴与0P 之间距离为a 。

四、 日期化归

一年365天，一、三、五、七、八、十、十二月份每月31天，四、六、九、十一月份 每月30天，二月份28天。全年有51～52个星期日。以上知识对解涉及年、月、日的数学问题是应了解的基本问题。而其中考虑星期日的天数是解问题的关键。

例4.1、妈妈告诉小明“2006年共有53个星期日”，小明马上告诉妈妈2007年的元旦一定是星期几？为什么？

解：∵ 53×7=371

52×7=364

而 364〈365〈371

∴ 2007年的元旦一定是星期一

例4.2、某月有三个星期一的日期是偶数，问这个月的1日肯定是星期几？为什么？ 解：∵三个星期一的日期是偶数必须有4×7+1=29天

∴这个月的1日肯定是星期天

可见此类问题的关键要熟悉月历、日历、年历，只要抓住条件特殊性简单推算，问题就迎刃而解。

五、 整体化归

当出现复杂数学问题时，需要分析问题特征，抓住其特殊性的规律或性质，将问题化繁为简，化隐为显，从而整体化归为简单问题得以解决。

例5.1、计算-++++++++

)2006

131211)(2007141312

1( )2006

1413121)(2007131211(++++++++ 解：令a =++++2006

131211 进行整体变式(观察可见2006131211++++ 是个整体) 原式)1()2007

1()200711(-⋅+-⋅+-=a a a a 2007

1200712007122+-+-+-=a a a a a a 2007

1= 例5.2、计算999999998998998998999999⨯-⨯

解：令a =999，则1998-=a ，整体变式后 原式)1)(1(10)1(10)1(10)1(10)1(3636---⨯--⨯--⋅+⨯-+⨯-=a a a a a a a a a a a a 1222-+-=a a a 19992-⨯=1997=

整体变式的特点是条件有规律可循，而问题有规律可化解。

六、 整合化归

当数学问题出现繁杂时，不妨从最简单的着手，找出问题转化的规律，可谓“磨刀不 误砍柴功”，然后整合问题化归。

例6.1、计算：

)

220062003)(220042001()285)(263)(241()220072004)(220052002()296)(274)(252(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 解：原式2005

2004200376543220062004200376543⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

1003= 将上述问题变式：

例6.2、计算：)2011()411)(311)(211(2

222----

解：原式)20

11)(2011()411)(411)(311)(311)(211)(211(-+-+-+-+= 20

21201934322321⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 202121⨯= 4021= 分析数学问题要有柳暗花明的境界，要善于从问题中找到解决的对策，而正确运用数学思想方法，将问题化归成自己熟悉掌握的知识范畴是走出题海困惑的关键。

七、 简单化化归

将n 个小的数学问题能组合成一个大的数学问题，反过来可以将一个复杂的数学问题化

解为最简单的小问题，然后寻找解题规律，关键是善于剖析找准突破口，但必须保证每一 步的正确性，否则影响最后的结果。

例7.1、计算：)11)(11()311)(311)(211)(211(a

a +-

+-+- 解：原式a

a a a 11322321+⨯-⨯⨯⨯⨯= a a 21+= a

2121+= 例7.2、如果2006

111=+n m ，求m 、n 的值。 解：2

123131=⨯+ 而2006120062007120071=⨯+ ∴m=2007，n=2007×2006

将上述问题复合后即成为：

例7.3、已知m 、n 都是正整数，并且