电磁场与电磁波第四章2

( z 0)
z
q q
2 h 2
R
x
P
图3 介质2的镜像电荷
1 q q 2( x, y, z) 4 2 x2 y 2 ( z h)2
( z 0)
利用电位满足的边界条件
1 z 0 2 z 0
1 1 z
z 0
2
2 z
和 l 共同产生的电位函数 l l 1 1 ln ln C 2 2 2 2 2 d 2 d cos 2 d 2 d cos 由于导体圆柱接地，所以当 a 时，电位应为零，即 l l 1 1 ln ln C 0 2 a2 d 2 2ad cos 2 a2 d 2 2ad cos 由于上式对任意的都成立，因此，将上式对 求导，可以得到
z 0
q
q
因z = 0时， R R
0
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 原问题 2
l
l x, z h , z 0; z 0, 0
l
镜像线电荷： 电位函数
, h h
z 0
可得到
1 1 ( q q ) ( q q ) 2 1 q q q q
2.带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像
y
l
b
a
l
r2
l
r1
l
c
d
x2
c
x1
x
设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线 电荷密度分别为 l 和 l ，其位置如图所示。 其等位面是许多圆柱面，若让 其中两个等位面分别与两圆柱 面重合，即满足两导体柱面为 等位面的边界条件。根据惟一 性定理，待求区域中的场就由 这两个等效线电荷产生。
电磁场与电磁波
第四章 静态场的解
• 球壳中： – 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 球壳内：边界为r = a1的导体球面， 边界条件为
(a1 , , ) 0
a1 q1 d1
根据球面镜像原理，镜像电荷 q1 的位置和大小分别为
a1
q1
q1
a b1 d1
设镜像电荷的线密度为 l，且距圆柱的轴线为 d ，则由 l
l d (a2 d 2 ) ld (a2 d 2) 2add ( l l)cos 0 l l 2 2 2 2 l d (a d ) ld (a d ) 0 2 所以有 a l l 0 d d
轴线平行且到轴线的距离为d。
无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的
图1 线电荷与导体圆柱
特点：在导体圆柱面上有感应电荷， 圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共 同产生。
P( , )
0
a

o d
l
d
l
x
分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与
轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。
图2 线电荷与导体圆柱 的镜像
k12 1 x1 2 c k1 1 2ck a 2 1 k1 1
2 k2 1 x2 2 c k2 1 2ck b 2 2 k2 1
x1 x2 d
a 2 b2 d 2 x1 2d a 2 b2 d 2 x2 2d
c
2 x1 a2
通常把这两个等效的线电荷称为电轴，该方法也称为电轴法
布在球壳的内表面上。与镜像电
荷q 应位于导体球壳外，且在点 电荷q与球心的连线的延长线上。 与点荷位于接地导体球外同样的 分析，可得到
a q q , d
b
a a
o
r d
R q d'
R' q'
a2 d d
| q'|>|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量
球壳内的电位
q 1 a 2 2 4 0 r d 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos (r a)
电磁场与电磁波
第四章 静态场的解
一、 边值问题的分类 二、 唯一性定理 三、 镜像法 四、 分离变量法
平面镜像法
球面镜像法
圆柱面镜像法 平面介质镜像法
平面镜像法
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
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h
镜像电荷 电位函数
h
h
R
R
q q, h h
1 1 ( ) （z 0 ） 4 R R
d 2 2 a 4 2 da 2cos l 导体圆柱面外的电位函数： ln C 2 2 2 d d 2 d cos d 0 C l ln 由 a 时， 2 a
故
d 2 2 a 4 2 da 2cos l ln 2 a 2 2 a 2 d 2 2 da 2 cos
q
d2
q2
d1
d1
电磁场与电磁波
第四章 静态场的解
一、 边值问题的分类 二、 唯一性定理 三、 镜像法 四、 分离变量法
平面镜像法
球面镜像法
圆柱面镜像法 平面介质镜像法
球面镜像法
P 1. 点电荷对接地导体球面的镜像 如图所示，点电荷q 位于半径 为a 的接地导体球外，距球心为d 。 球面上的感应电荷可用镜像电荷 q'来等效。q'应位于导体球内（显然 不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d'。则有 r a d'
q'
d'
d
电磁场与电磁波
第四章 静态场的解
一、 边值问题的分类 二、 唯一性定理 三、 镜像法 四、 分离变量法
平面镜像法
球面镜像法
圆柱面镜像法 平面介质镜像法
圆柱面镜像法
1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像
问题：如图 1 所示，一根电荷线密度
0 a
o
d
l
x
为 l 的无限长线电荷位于半径为a 的
两电轴在空间产生的电位为

l r ln 2 2π 0 r1
k 2 1 2 2 2ck 2 ( x 2 c) y ( 2 ) k 1 k 1
x12 c2 a2
2 x2 c2 b2
2 2 ( x c ) y r 等位面方程为 2 k 2 2 r1 ( x c) y
可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。
2 . 点电荷对不接地导体球的镜像
点电荷q 位于一个半径为a 的不 P r a d R q
接地导体球外，距球心为d 。
导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面
球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零 采用叠加原理来确定镜像电荷 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为 q'的感应电 荷分布，则 a a2 q q , d d d
导体圆柱面上的感应电荷面密度为 l ( d 2 a 2 ) S a 2 a(a 2 d 2 2ad cos ) 导体圆柱面上单位长度的感应电荷为
l (d 2 a 2 ) 2 ad in S dS l 2 2 S 0 2 a a d 2ad cos
特点：在点电荷的电场作用下，电介质产 生极化，在介质分界面上形成极化电荷分 布。此时，空间中任一点的电场由点电荷 与极化电荷共同产生。 分析方法：计算电介质 1 中的电位时，用 位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上 的极化电荷，并把整个空间看作充满介电 常数为 1 的均匀介质，如图2所示。
1
然后断开接地线，并将电荷－q'加于导体球上，从而使总电
荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷－q' 可用一个位 于球心的镜像电荷q"来替代，即
a q，d 0 a 球外任意点的电位为 q q
P
r
a q" R'
R
q
q q q ( ) 4 0 R R r 1
q2
d2
a2
o
r
q2
b2
r2
q2
d1
d2
• 球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 (a2 , , ) 0 的位置和大小分别为 – 根据球面镜像原理，镜像电荷 q2
2 a2 b2 d2
a2 q2 q2 d2
– 球壳外区域任一点电位为
a2 q 1 外 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4 π 0 (r 2d 2 r cos d 2 ) (d 2 r 2d 2 ra2 cos a2 )
2 1
q1
d1
b1
球壳内区域任一点电位为
q 内 4π 0
1 2 2 1/ 2 ( r 2 d r cos d 1 1 ) a1 2 2 (d1 r 2d1ra12 cos a14 )1/ 2

用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外 的情况不予考虑。
显然，q1 对平面 2 以及q2 对平 面 1 均不能满足边界条件。 只有在(－d1, －d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。 q1 d2 d2 q3 d1 R1 1
d1
R
q d2
2
R3 R2
1 1 1 1 ( ) 电位函数 4 R R1 R2 R3
q a q d
r a d
R
q
P R' q' d
R
q q ( ) 4 0 R R 1
a2 导体球电位为零 d d
q
点电荷对接地空心导体球壳的镜像 如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电 荷q 位于球壳内，与球心相距为d ( d < a )。 由于球壳接地，感应电荷分
导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。
电磁场与电磁波
例
第四章 静态场的解
有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。 求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
解：
a1 q1
a2
( r , , )
r1
z
q
h
2
图1 点电荷与电介质 分界平面
x
z
1 h 1 h
q R R
q
P
x
图2 介质1的镜像电荷
介质1中的电位为
1 q q 1( x, y, z) [ ] 41 x2 y 2 ( z h)2 x2 y 2 ( z h)2
计算电介质 2 中的电位时，用位 于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面 上的极化电荷，并把整个空间看作充 满介电常数为 2 的均匀介质，如图 3 所示。介质2中的电位为
电磁场与电磁波
第四章 静态场的解
一、 边值问题的分类 二、 唯一性定理 三、 镜像法 四、 分离变量法
平面镜像法
球面镜像法
圆柱面镜像法 平面介质镜像法
平面介质镜像法（电介质）
问题：如图 1 所示，介电常数分别为 1 和 2 的两种不同电介质的分界面是无限 大平面，在电介质 1 中有一个点电荷q， 距分界平面为h 。
感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为
S r
r a
q(a 2 d 2 ) 4 a(a 2 d 2 2ad cos )3 2
导体球面的内表面上上的总感应电荷为
q(a 2 d 2 ) 2 a 2 sin d d qin S dS q 2 2 3 2 S 0 0 (a d 2ad cos ) 4 a
有效区域
l
l R ln ( z 0) 2 R
h
h
R
R
当z=0时， r r
0
l
满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。
3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷q 位于(d1, d2 )处。 对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )