托勒密定理以及一个与它类似的定理

托勒密定理以及一个与它类似的定理

浙江宁波鄞州区钟公庙中学童文虎

定理1（托勒密定理）：在四边形

ABCD 中，如果180C A ，那么BD AC AD BC CD

AB 与它类似的定理是

定理2：在四边形ABCD 中，如果

90C A ，那么222BD

AC AD BC CD AB 关于托勒密定理的证明，有许多方法．本文介绍一种构造相似三角形的方法，且仅

用相似三角形知识对上述二个定理进行简明统一的证明．图1（凸四边形）图2（四边形）

在四边形ABCD 外作

ECB ，使DAB E C B ，DBA EBC ，连结DE （如图1或图2）．则

DAB ∽ECB ∴BE

BD BC AB CE AD

即CE AB AD BC ，

BE BC BD AB ∵

DBE DBC EBC DBC DBA ABC ∴

ABC ∽DBE ∴DE AC BD AB

，即DE

BD

AC AB ∴对于任意正整数n 恒有

n n n n n n n CE CD AB CE AB CD

AB AD

BC CD AB n n n n DE CE CD BD

AC ，（※）∵BCD

DAB BCD ECB ECD

∴①当180C A 时，180ECD ，DE CE CD ．在（※）式中令1n 即得定理１．

②当90C A 时，90ECD ，222DE CE CD ．在（※）式中令2n 即得定理２．

由（※）式可知，上述二个定理的逆定理也成立。