(完整版)力学中的多过程问题

热点八 力学中的多过程问题
力学中三种重要的运动形式和两种重要解题方法的综合应用
命题特点：多物体、多过程——三种重要运动形式（直线运动、圆周、平抛）的组合、两大解题方法（动力学和功能关系）的应用
此专题为力学综合问题，涉及知识点多，综合性强，以论述和定量计算为主，一般作为高考卷的第一个计算题。

题目情景设置一般是匀变速直线运动、平抛运动和圆周运动的综合，涉及较多的过程；涉及几乎所有的力学主干知识和主要的解题方法；难度较大，区分度较大，是考卷中的高档题。

例1.如图所示、四分之一圆轨道OA 与水平轨道AB 相切，它们与另一水平轨道CD 在同一竖直面内，圆轨道OA 的半径R=0．45m ，水平轨道AB 长S 1＝3m ，OA 与AB 均光滑。

一滑块从O 点由静止释放，当滑块经过A 点时，静止在CD 上的小车在F=1．6N 的水平恒力作用下启动，运动一段时间后撤去F 。

当小车在CD 上运动了S 2＝3．28m 时速度v=2．4m/s ，此时滑块恰好落入小车中。

已知小车质量M=0．2kg ，与CD 间的动摩擦因数μ＝0．4。

（取g=10m/2s ）求
（1）恒力F 的作用时间t ．
（2）AB 与CD 的高度差h 。

主要涉及的知识点有：运动的等时性，匀速直线运动，匀变速直线运动，平抛运动，牛顿第二定律，机械能守恒定律等。

题目的设计背景学生较熟悉，入手容易，涉及到了两个物体五个运动过程，比较繁琐。

【解析】（1）设小车在恒力F 作用下的位移为l ，由动能定理得2212
Fl Mgs Mv μ-=
： 由牛顿第二定律得 F Mg Ma μ-= 由运动学公式得 212l at = 联立以上三式，带入数据得a = 4m/s 2 , 21l t s a
== （2）滑块由O 滑至A 的过程中机械能守恒，即212A mgR mv =
AB 段运动时间为1112A s t s v gR
=== 故滑块离开B 后平抛时间与小车撤掉恒力F 后运动时间相同。

由牛顿第二定律得µMg =Ma´ 由运动学公式得 v=at -a´t´
由平抛规律得212
h gt = 带入数据得h=0.8m 考生答题中出现的主要错误有：
（1）不能确定两个独立运动的物体的等时关系。

（2）对小车的运动过程分析不清，误认为小车在CD 段上一直做匀加速直线运动，将v ＝2.4m/s 看做是小车的最大速度，求出了加速的时间t ＝0.6s 。

（3）本题第（1）问采用动能定理的方法可简化解题过程，但不少考生选用了运动学方法，导致运算过程复杂，失分较多。

（4）答题不规范。

本题因涉及到了两个物体五个运动过程，较为繁琐，使用脚标混乱的现象比较多见，评阅者不易找到清晰的解题思路和采分点。

例2.如图所示，在高出水平地面 1.8h m =的光滑平台上放置一质量2M kg =、由两种不同材料连接成一体的薄板A ，其右段长度10.2l m =且表面光滑，左段表面粗糙。

在A 最右
端放有可视为质点的物块B ，其质量1m kg =。

B 与A 左段间动摩擦因数
0.4u =。

开始时二者均静止，先对A 施加20F N =水平向右的恒力，待
B 脱离A （A 尚未露出平台）后，将A 取走。

B 离开平台后的落地点与平台右边缘的水平距离 1.2x m =。

（取210m g s =）求：（1）B 离开平台时的速度B v 。

（2）B 从开始运动到刚脱离A 时，B 运动的时间t s 和位移x B （3）A 左端的长度l 2
过程分析：当A 在恒力F 的作用下向右作匀加速运动时，由于A 的右段是光滑的，B 受力平衡，所以B 静止不动，当A 的位移10.2l m =时，这是AB 之间就产生了摩擦力，B 开始做匀加速运动，直到脱离A,然后B 在平台上做匀速运动，到达边缘后做平抛运动。

解：（1）设B 做平抛运动的时间为t ,由运动学知识可得：
t
v x gt h B ==22
1，代人数据得s m v B /2= （2）设B 的加速度为B a ,由牛顿第二定律和运动学知识得：
221B B B B
B B B
t a x t a v ma mg ===μ,代人数据得 m x s t B B 5.05.0==
（3）设B 刚开始运动时A 的速度为A v ,由动能定理得：212
1A Mv Fl = 设B 运动后A 的加速度为A a ,由牛顿第二定律和运动学知识得
222
1)(B A B A B A
t a t v x l Ma mg F +=+=-μ,代人数据得m l 5.12= 方法提炼：
求解多过程问题的关键是要学会对过程的拆分与组合，过程与过程的衔接点往往是解题的切入点。

求解力学中的多过程问题的一般步骤为：
确定研究对象列方程求解动能分析做功分析过程分析受力分析→→→→→
【限时训练】
1、在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上的A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为
μ的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中。

设滑道的水平距离为L ，B
点的高度h 可由运动员自由调节（取g ＝10 m/s 2）。

求：
（1）运动员到达B 点的速度v 与高度h 的关系。

（2）运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离L max 为多少？
（3）若图中H ＝4 m ，L ＝5 m ，动摩擦因数μ＝0．2，则水平运动距离要达到7 m ，h 值应为多少？ 热点一、匀变速直线运动和平抛运动的组合
此类问题一般涉及2～3个子过程，解决问题的思路一般是按照事件发生的先后次序，根据已知和所求选择力观点（牛顿运动定律和运动学规律）或能量观点（功能关系）来解决问题。

通过两种运动的衔接点——速度可以把两种运动的某些物理量建立联系，这点往往成为解题的关键。

解析：（1）设斜面长度为L 1，斜面倾角为α，根据动能定理得
mg （H －h ）－μmgL 1cos α＝12m v 2① 即mg （H －h ）＝μmgL ＋12
m v 2② v ＝2g (H －h －μL )③ （2）根据平抛运动公式 x ＝v t ④ h ＝12
gt 2⑤ 由③～⑤式得x ＝2(H －μL －h )h ⑥ 由⑥式可得，当h ＝12
（H －μL ） L max ＝L ＋H －μL 。

（3）在⑥式中令x ＝2 m ，H ＝4 m ，L ＝5 m ，μ＝0.2，则可得到：－h 2＋3h －1＝0
求出h 1＝3＋52m ＝2.62 m ，h 2＝3－52
m ＝0.38 m 。

2、如图所示，水平轨道上，轻弹簧左端固定，自然状态时右端位于P 点。

现用一质量m ＝0．1 kg 的小物块（视为质点）将弹簧压缩后释放，物块经过P 点时的速度v 0＝18 m/s ，经过水平轨道右端Q 点后恰好沿圆轨道的切线进入竖直固定的圆周轨道，最后滑上质量M ＝0．9 kg 的长木板（木板足够长，物块滑
上去不会从木板上掉下来）。

已知PQ 间的距离l ＝1 m ，竖直半圆轨道光滑且半径
R ＝1 m ，物块与水平轨道间的动摩擦因数μ1＝0．15，与木板间的动摩擦因数μ2
＝0．2，木板与水平地面间的动摩擦因数μ3＝0．01，取g ＝10 m/s 2。

（1）判断物块经过Q 点后能否沿圆周轨道运动；（2）求木板滑行的最大距离x 。

热点二、匀变速直线运动和圆周运动的组合
此类问题中物体做直线运动和圆周运动，其特点是：直线是圆周在两种运动衔接点处的切线。

物体在衔接点处速度不变，但受力情况变化。

一般涉及圆周运动在该处的临界问题，需要列关于向心力的动力学方程；对涉及该处的过程，往往需要列机械能守恒定律或动能定理方程。

解析：（1）物块在PQ 上运动的加速度a 1＝－μ1g ＝－1.5 m/s 2
设进入圆周轨道时的速度为v ，v 2－v 20＝2a 1l
得v ＝v 20－2a 1
l ＝321 m/s 设物块刚离开Q 点时，圆轨道对物块的压力为F N ，
根据牛顿定律，有F N ＋mg ＝m v 2R 得F N ＝m v 2R
－mg ＝31.1 N>0 故物块能沿圆周轨道运动。

（2）设物块滑上木板时的速度为v 1，根据机械能守恒定律得，
12m v 2＋mg ·2R ＝12m v 21
得v 1＝19 m/s 设物块滑上木板时的加速度为a 2，a 2＝－μ2g ＝－2 m/s 2
设木板的加速度为a 3，μ2mg －μ3（m ＋M ）g ＝Ma 3
a 3＝μ2mg －μ3(M ＋m )g M ＝19
m/s 2 设物块滑上木板经过时间t 二者共速，有v 1＋a 2t ＝a 3t 得t ＝9 s
这时木板的位移x 1＝a 3t 2/2＝4.5 m
它们的共同速度v 2＝a 3t ＝1 m/s
物块和木板一起减速的加速度a 4＝－μ3g ＝－0.1 m/s 2，
它们减速运动的位移x 2＝－v 222a 4
＝5 m x ＝x 1＋x 2＝9.5 m 。

3、如图所示，将一质量为m ＝0．1 kg 的小球自水平平台右端O 点以初速度v 0水平抛出，小球飞离平台后由A 点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC ，并沿轨道恰好通过最高点C ，圆轨道ABC 的形状为半径R ＝2．5 m 的圆截去了左上角127°的圆弧，CB 为其竖直直径，（sin 53°＝0．8，cos 53°＝0．6，重力加速度g 取10 m/s 2）求：（1）小球经过C 点的速度大小；
（2）小球运动到轨道最低点B 时轨道对小球的支持力大小；
（3）平台末端O 点到A 点的竖直高度H 。

热点三、圆周运动和平抛运动的组合
此类问题中物体先做平抛运动后再做圆周运动，其特点是：两种运动的轨迹在衔接点处有公共切线，平抛运动的末速度方向恰好在此处圆周的切线上。

末速度和水平方向的夹角即弦切角，分解速度时，注意
应用弦切角和圆心角的关系。

解析：（1）恰好能通过C 点，由重力提供向心力，即mg ＝v 2C R
v C ＝gR ＝5 m/s 。

（2）从B 点到C 点，由机械能守恒定律有12m v 2C ＋mg ·2R ＝12m v 2B
在B 点对小球进行受力分析，由牛顿第二定律有F N －mg ＝m v 2B R
得F N ＝6.0 N ，方向竖直向上。

（3）从A 到B 由机械能守恒定律有12m v 2A ＋mgR （1－cos 53°）＝12m v 2B
所以v A ＝105 m/s 在A 点对速度v A 进行分解有：v y ＝v A sin 53° 所以H ＝v 2y 2g
＝3.36 m 。

4、如图所示，用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形轨道固定在竖直平面内，其弯曲部分是由两个半径均为R ＝0．2 m 的半圆轨道平滑对接而成的（圆的半径远大于细管内径）。

轨道底端与水平地面相切于A 点，顶端与一个长为l ＝0．9 m 的水平轨道相切于B 点。

一倾角为θ＝37°的倾斜轨道固定于右侧地面上，其顶点D 与水平轨道的高度差为h ＝0．45 m ，并与其他两个轨道处于同一竖直平面内。

一质量为m ＝0．1 kg 的小物体（可视为质点）在A 点被弹射入“S”形轨道内，沿轨道ABC 运动，并恰好从D 点无碰撞地落到倾斜轨道上。

小物体与BC 段间的动摩擦因数μ＝0．5。

（不计空气阻力，g 取10 m/s 2。

sin 37°＝0．6，
cos 37°＝0．8）
（1）小物体从B 点运动到D 点所用的时间。

（2）小物体运动到B 点时对“S”形轨道的作用力大小和方向。

（3）小物体在A 点获得的动能。

热点四、匀变速直线运动、平抛运动和圆周运动的组合
此类问题涉及较多的运动形式、较多的物理规律，解题时应按事件发生的次序，按部就班的分析每一个过程或状态遵循的规律，通过不同运动之间的衔接点的速度等建立相关物理量的关系。

解析：（1）小物体从C 点到D 点做平抛运动，设在D 点时竖直方向的分速度为v D ，在C 点速度为v C ，
有v D ＝2gh ＝3 m/s tan θ＝v D v C
解得v C ＝4 m/s 小物体做平抛运动的时间为t 1＝v D g
＝0.3 s 小物体从B 到C 做匀减速直线运动，在B 点速度为v B ，由牛顿第二定律得μmg ＝ma
由运动学公式得v 2C －v 2B ＝－2al 代入数据解得v B ＝5 m/s
小物体做匀减速直线运动的时间为 t 2＝v C －v B a
＝0.2 s 小物体从B 点运动到D 点所用的总时间为 t ＝t 1＋t 2＝0.5 s 。

（2）小物体运动到B 点时，设其受到轨道对其的作用力方向向下，由牛顿第二定律得
F N ＋mg ＝m v 2B R
解得F N ＝11.5 N 由牛顿第三定律得F N ′＝F N ＝11.5 N 方向竖直向上。

（3）对小物体从A 点运动到B 点的过程，由机械能守恒定律得 E k A ＝4mgR ＋12
m v 2B 解得E k A ＝2.05 J 。