单一参数正弦交流电路

3.纯电容元件在交流电路中电压与电流之间的相位差是 多少？容抗与频率有何关系？判断表达式的正误。
（1 ）i U U u ； （2）I ； （3）i ； （4）I UC XC C C
20
http://
当电容器两端的电压发生变化时，电容 就进行充电(或放电)，从而形成了充( 或放)电电流。在关联参考方向下，电 容两端的电压与电流的关系为
du i C dt
du i0 当 u U (直流) 时, dt 0 所以,在直流电路中电容相当于断路.
航空报国 追求卓越 1. 电容元件上的电压、电流关系
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电容元件上电压、电流的有效值关系为：
IC=UC=U2πf C=U/XC
称为电容元件的电抗，简称容抗。 其中： XC= ω1 C
容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用； 容抗的单位与电阻相同，也是欧姆【Ω】。
容抗与哪些 因素有关？
XC与频率成反比；与电ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量C成反比
直流下频率f =0，所以XC=∞。C相当于开路。
直流情 况下容 抗为多 大？
由于C上u、i 为微分（或积分）的 动态关系，所以C也 是动态元件。
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2. 电容元件的功率
（1）瞬时功率 p i O p
u U m sin t iC I Cm cos t
则
p iC u I Cm cos t U m sin t
i
L
u
解析式：
设 i I m sin t
相量表达式：
I I 0 U L j I L U L 90

d ( I m sint ) di L 则 uL L dt dt I mL cost U Lm sin( t 90)
U
相量图：
I
电感元件上 u 超前 i 90°电角。
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电感元件上电压、电流的有效值关系为：
U=LI=2πf LI=IXL
其中： XL=2πf L=ωL称为电感元件的电抗，简称感抗。
感抗反映了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用；
感抗的单位与电阻相同，也是欧姆【Ω】。
感抗与哪些 因素有关？
XL与频率成正比；与电感量L成正比
直流下频率f =0，所以XL=0。L 相当于短路。
u 则 i R 相量表达式：
U U 0
解析式：
2 I sin t
U I 0 I 0 R
相量图为：
I
U
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电阻元件上的电压、电流关系可归纳为：
1. 频率相同； 2. 相位相同；
U 3. 有效值关系：I R 或 U IR

4. 相量关系； I U U0 U 0 I0
Um U U u （ 1 ）i ； （ 2 ）I ； （ 3 ）i ； （ 4 ）i R R R R
2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是多 少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。
Um U U u （ 1 ）i ； （ 2 ）I ； （ 3 ）i ；（ 4 ）I XL L L L
【例】 将电容C=40μF的电容器接入电源电压 u=31 1sin（314t+30°）V中，试求电容的容抗XC、流过的电流I ，并写出电流的瞬时值表达式。
解: ω 314rad / s
ψi 30 90 120
311 U V 220V 2 1 1 XC 80 6 ωC 314 40 10 U 220 I A 2.75A X C 80
i 2I sin(ωt ψi ) 2.75 2 sin(314t 120)A
电压电流关系
元件
航空报国 追求卓越 相量图
瞬时值 有效值（最 相位关系 相量关系 关系 大值）关系
电阻元件 u iR R 电感元件
X L L
U IR
u i 0
u i
90
－UIcos2 t
结论：1. p随时间变化；2. p≥0,为耗能元件。
航空报国 追求卓越 （2）平均功率（有功功率）P (一个周期内的平均值)
由: p u i U m sint I m sint 可得:
UI UI cos 2t
P = UI
平均功率用大写！ U和I为有效值
Ф
i
+
L
u
-
电感元件是一种能 够贮存磁场能量的元件， 是实际电感器的理想化 模型。
电感元件图符号
只有电感上的电流变化时，电感两 端才有电压。在关联参考方向下， 电感两端的电压与电流的关系为 di 0 当 i I (直流) 时, dt
di uL dt
u0
所以,在直流电路中电感相当于短路.
航空报国 追求卓越 1. 电感元件上的电压、电流关系
2
U XC XC
2
Q反映了电容元件与电源之间能量交换的规模。
1. 电容元件在直流、高频电路中如何？ 直流时C相当于开路，高频时C相当于短路。 2. 电感元件和电容元件有什么异同？ L和C上的电压、电流相位正交； L和C都是储能元件； 它们都是在电路中都是只交换不耗能。 问题与讨 论
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直流情 况下感 抗为多 大？
由于L上u、i 为微分（或积分）的 动态关系，所以L 是动态元件。
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2. 电感元件的功率
（1）瞬时功率 p u O p
i I m sin t u L U Lm cos t
则
p u L i U Lm cost I m sint
U Q ULI I X L XL
2
2
Q反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
问题与讨论
1. 电源电压不变，当电路的频率变化时， 通过电感元件的电流发生变化吗？ f 变化时XL随之变化，导致电流i 变化。 2. 能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？ 不能！
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【例】 将一个电感L=127mH的线圈(电阻忽略 不计)，接入电压为220V、f=50Hz的交流电源上， 求线圈的感抗和流过电流的大小?
i
U L I sin 2t
ωt
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
ωt
结论： 纯电感不消耗能量， 只和电源进行能量交换 （能量的吞吐) 所以，电感L是储能元件
可逆的能量 储能 放能 储能 放能 转换过程
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（2）平均功率（有功功率）P
P=0，电感元件不耗能。
（3） 无功功率Q
解: 当f=50Hz时
2 f 2 50 100 rad/s
X L L 100 127 103 40
U 220 I A 5.5A XL 40
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三、纯电容电路
i
+
u
-
++ ++ +q -- --
C
-q
电容元件图符号
电容元件是一种能 够贮存电场能量的元件， 是实际电容器的理想化 模型。
0
U IR


U I
U
di uL dt
U I XL
U I jX L


I I
U I ( jX C )

电容元件
XC 1 C
du iC dt
u i
U I XC
900
U
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1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？ 判断下列表达式的正误。
例
求：“220V、100W”和“220V、40W”灯泡的电阻？
解：
U 2 2202 R100 484 P 100 U 2 2202 R40 1210 P 40
显然，在相同电压下，负载的电阻与功率成反比。 注意：通常铭牌数据或测量的功率均指 有功功率。
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二、纯电感电路
单一参数正弦 交流电路
工程实训中心
电工电子教研室
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单一参数的正弦交流电路
电容 电阻 电感
单一参数电路元件的交流电路：电路元件仅由 R、L、C三个参数中的一个来表征其特性。
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一、纯电阻电路
1.电阻元件上的电压、电流关系
i
R
u
i= R
2U sin t R

u
设 u 2 U sin t
R
R
R
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2. 电阻元件的功率
瞬时功率用小写！
（1）瞬时功率 p
i 2 I sin ( t ) u 2 U sin ( t )
则
p u i U m sint I m sint UI UI cos 2t
p=UI-UIcos2 t
u i
UI
ωt
u
ωt
ICU sin 2t
结论： 纯电容不消耗能量， 只和电源进行能量交换 （能量的吞吐)
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
ωt
所以，电容C是储能元件
充电 放电 充电 放电
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（2） 平均功率（有功功率）P P=0，电容元件不耗能。 （3）无功功率Q
Q UIC I C
ic
C
u
解析式：
设 u U m sin t
相量表达式：
U U 0° IC jU C IC

d (U m sint ) du C 则 iC C dt dt U mC cost I Cm sin( t 90) I
° 90
相量图：
U
电容元件上 i 超前 u 90°角。