第11稳恒磁场A(完全版)

r
x
方向：垂直纸面向里(且所有
.P
电流元在P点产生的磁场方向相 o a
同 ); 所 以 直 线 电 流 在 P 点 产 生 的
磁场为
B
x2 o x1 4
Idx sin
r2
dB
o 4
Idl sin
r2
15
B
x2 o x1 4
Idx sin
r2
由图可以看出:
x=atg( -90 )=-actg
x Rctg
dx
R
c2sc2
1
d
R2 x2 R2 csc2
34
I
LN
β2 β
BP
0 R2nIdx
2
(R2
x2
3
)2
Px
BP
0nI
2
2 sin d
1
BP
0nI
2
(cos 2 cos 1)
注意： 1. β1 、 β2是轴线与连线的夹角。 β1 、 β2应取同一方位的角。
β1
R
dx
I
半圆筒轴线上一点的磁场强度。
解 用长直导线公式积分。
I
Bx =
-
0
μo dθ
2R
sin
oI 2R
By
0
oI 2 2R
cosd
0
dB
B oI 2a
y
o
x
R
d •
24
例题 圆电流轴线上一点的磁场。
解 由对称性可知，P点的场强方向沿轴线向上。
dB
o 4
Idlsin '
r2
B
有
B=
2Ro Idl 0 4r 2
通电导线的磁性，起源于传导电流； 磁铁的磁性，起源于分子电流； 电磁波的磁性，起源于位移电流；
结论：磁和电不可分。磁场就是电流的磁场。
电流1 磁场
电流2
运动电荷 磁场 运动电荷
5
二、磁场 —由电流在周围空间激发的一种特殊物质 物质性表现： ①磁场对电流或运动电荷能施力的作用 ②磁场能对载流导体做功 —磁场具有能量 ③磁场能与其他物质相互作用 —使磁介质磁化 特殊性表现： ① 区别于实体物质，具有空间叠加性。
CD段在三角形中心o点产生的磁场也为零。 只有AB段在三角形中心o点产生磁场：
Bo
oI 4r
BI A
r a 3
ar
o
Bo
3o I 4a
IC D
21
证明: 电流I经三角形分流后, 在中心o点产生的磁场为零。
0 I1 cos 30 cos150 4 3
a 6
方向：向外
0 4
I2 cos 30 cos150 2
B
2
A
B
oI 4a
(cos1
cos2)
C
AB： B1
oI 4acos
[cos(
2
) cos ]
BC：
B2
oI 4a
(cos
2
cos )
oI 4a
•
P点磁场：B
B1
B2
oI 4a cos
(1 sin
)
oI 4a
20
(2)边长为a的正三角形中心o点的磁场。
电流I经三角形分流后, 在中心o点产生的磁场 为零。
I
s
en
比值与试验线圈无关！
以上分析：在场中给定点，比值 M max 及其特殊方向
反映了该点磁场的性质。
Pm
可以将二者结合起来作为一个物理量，用以描述该点磁
场的性质。
10
以上分析：在场中给定点，比值 M max 及其特殊方向
反映了该点磁场的性质。
Pm
定义：磁感应强度B
大小： B M max
I 单位：特斯拉（T）
I q/T
T 2
I q 2
q
s
I
29
例题 一半径为R的均匀带电半圆弧，单位长度
上的电量为，绕其直径所在的直线以角速度匀速
转动，求圆心o处的磁场。
解 半圆弧旋转起来，象一个球面，可划分为若
干圆电流积分。
R o
r x
o
30
建立如图所示的坐标系。
B
o
r2
ω 2
Rd
02
R3
注意到：r=Rsin, 于是
s
的性质处处相同
7
特征量：磁矩pm
pm=IS en
方大向小：: pemn=方IS向
I
来自百度文库
en
s
en
为试验线圈平面正法线方向的单位矢量。
具体研究：
现象1：在磁场中给定点，放置不同的磁针，其N极
都指向同一个方向。
说明此特殊方向与磁针无关。
8
现象2：
当试验线圈的
en
方向沿此特殊方向时，
所受磁力矩M=0
x
r
如半圆弧圆心处的磁场：
B= o I 1 μo I
o
I
R
2R 2 4R
当然，圆心之外这个结论就不正确了。
Idl
26
例题 直电流和圆电流的组合。
圆心o:
Bo=
oI
2R
3 4
oI 4R
o R
方向：垂直纸面向外。
c
I
b
a
I 2
d
Bo
oI
4R
oI
4r
oI 4r
a
方向：垂直纸面向里。
Ie b
I
f
R
o dc r
②区别于电场，磁场只存在于运动电荷周围， 只存在于电流周围。
6
如何描述磁场？ 定量描述： 磁感应强度矢量B 定性描述： 磁感应线图
三、磁感应强度B
目的：描述磁场的强弱和方向的空间分布
出发点：磁场对载流的线圈有磁力矩的作用
准备工作： 试验载流线圈
条件：
①I 很小，其磁场对待研究的
磁场无影响
I
en
②S很小，其范围内待研究磁场
sin
oI sin 4r 2
2R
dB
dB
p
x
r
即
B
o
2
(x2
R2I R2 )3/2
Idl IR
25
在圆电流的圆心o处,因x=0,故得
B oI
2R
B
o
2
(x2
R2I R2)3/2
由于各个电流元在圆心处产
B
生的磁场方向相同，因此，
dB
一段圆弧形电流在圆心处
dB p
产生的磁场就是圆电流在圆心 产生磁场乘以(圆弧弧长与圆周 长之比)。
12
Idl
Idl
B
B
dB
o 4
Idl r r3
P
3.电流元Idl 是 矢量。
r
大小：Idl=电流I线元长度dl。
方向：电流I的方向； 4.磁场的大小：
dB
o 4
Idl sin
r2
是Idl与r 之间的夹角。
方向：由右手螺旋法则确定(见 下图)。
13
5. 对载流导体求磁感应强度B 思想:化整为零，集零为整
主要内容：一个重要物理量——磁感应强度B 一条基本定律——毕奥-萨伐尔定律 两条基本定理——高斯定理和安培环路定理
一个公式： 洛仑兹力
本章学习方法：类比法
2
§11-1 磁力和磁场 磁感应强度 一.磁力和磁场
1.磁铁的磁现象 ① “慈石召铁”, 将磁铁吸引铁钴镍的性质叫磁性。 ②条形磁铁吸引铁屑。将吸引铁屑多的两端叫磁极。 ③悬挂的条形磁铁自动指向南北.
B o sin 2 d
4 0
1 8
o
r x R
o d
B
o
2
(x2
R2I R2 )3/2
31
B
载流直螺线管
I
密绕在圆柱面的螺旋线圈称为螺线管。
设直螺线管半径为R，线圈中电流为I，总长为L， 总匝数为N.
单位长度的线圈匝数n： I
LN
nN/L
R P
求轴上任意一点P的Bp=?
32
取dx段：
35
I
LN
β2
β1
R
P
BP
0nI
2
(cos 2 cos 1)
讨论:(1)如果直螺线管为无限长（L>>R），轴线上磁场
1 0, 2
B 0nI
36
§11-3磁高斯定理
一.磁感应线(磁力线)
为了形象地描绘磁场在空间的分布,按下述规定 在磁场中画出的一系列假想的曲线—磁力线：
(1)曲线上每一点的切线方向表示该点磁场的方 向;
磁铁对载流导线也有力的作用； 磁铁对运动电荷也有力的作用,p72(b)图； 电流与电流之间也有力的相互作用，p72(c)图.
以上磁铁间的作用力、磁铁和电流间的相互作用力， 电流与电流间的相互作用力统称磁力。
4
1882年,安培对这些实验事实进行分析的基础上，提 出了物质磁性本质的假说：
一切磁现象都起源于 电流，起源于 电荷运动。
dI ndx I nIdx
（视为圆电流）
I
LN
Px
R dx
dBP
0
2
R2dI
(R2
x2
3
)2
0
2
R2nIdx
(R2
x2
3
)2
方向如图
33
I
LN
β
R
dBP
0
2
R2nIdx (R2 x2)
BP dBP
0
2
3 2
R
(R2
P
2nIdx
x
2
)
3 2
x
dx
取β为参量，有：
0nI 2 sin d
s
en
Pm
方向：
试验线圈在该点处于平衡位置时的 en方向
注意：定义磁感应强度矢量还有多种方法。
11
§11-2 毕奥-萨伐尔定律！
P
真空中，电流元Idl 在P点产
生的磁场为
r
Idl
dB
o 4
Idl r r3
上式称为毕奥-萨伐尔定律。
1.公式中的系数是SI制要求的。 真空的磁导率：o=410-7
2. r是从电流元Idl 指向场点P的矢量。 r是电流元Idl 到P点的距离。
(2)通过垂直于磁场方向单位面积上的磁感应线 条数等于该点磁感应强度的大小。
B B
B ds
B
dm
ds
dm —通过ds的磁感应线条数
37
磁力线有以下特点: (1)磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向 无穷远处)。所以磁场是涡旋场。 (2)磁力线与载流电路互相套合(即每条磁力线 都围绕着载流导线)。 (3)任两条磁力线都不相交。
Idl sin
r2
I
P
=0 dB 0
Idl
B dB 0
如果P点位于直导线上,则P点的磁感应强度必然 为零。
如果P点位于直导线的延长线上,则P点的磁感应 强度也必然为零。
如果P点位于直导线上或其延长线上,则P点的磁感 应强度必然为零。
19
例题 直电流公式的应用。
(1)P点磁场:
P
a
I
1
I
(4)磁力线密集处，B大；反之，B小。
38
二、磁场的高斯定理
因为磁力线是闭合曲线， 有穿入，必有穿出。
磁力线从封闭面内穿出时， 磁通量为正； 磁力线从封闭面外穿入时， 磁通量为负。 磁通量的代数和(净通量)必为零
sB dS 0
B S
39
sB dS 0
这就是磁场的高斯定理。 在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电
磁针也自动指向南北。将指南的一极叫南极，将 指北的一极叫北极。
④磁极间存在相互作用力: 同极相斥，异极相吸。
在历史上很长一段时期里,人们曾认为磁和电是两类 截然不同的现象。
3
2.磁力 1819年,奥斯特实验首次
发现了电流与磁铁间有力的 作用(见图),才逐渐揭开了磁 现象与电现象的内在联系。
I
N S
将载流导体分成若干电流元Idl ,求dB
dB
o 4
Idl r r3
载流导体产生的磁感应强度
B
dB
载流导体
B
o 导体 4
Idl r r3
应当注意：上面的积分是求矢量和。
14
例题 求直线电流的磁场。
x
解 选坐标如图, 电流元Idx
在P点所产生的磁场为
I
dB o 4
Idxsin
r2
Idx
dx
ad sin 2
,
r
a
sin
B oI 2 sin d
4a 1
完成积分得
x 2
I
Idx
r
x
.P
o 1 a
B
oI 4a
(cos1
cos
2
)
I
B
P点磁场方向: 垂直纸面向里。
16
B
oI 4a
(cos1
cos
2
)
2
注意： I
1.上式中的a是直电流外一点 P到直电流的垂直距离。
2. 1和 2是直电流与(直电流
称线圈的这个位置为其平衡位置。
当试验线圈的
en
方向偏离此特殊方向时，
I
s
en
线圈所受磁力矩M的大小不同；
当试验线圈的
en
方向与此特殊方向垂直时，磁力矩M
最大。
9
现象3： 对一给定点，改变试验线圈的磁矩：
磁矩pm增大，磁力矩Mmax增大.
M max pm
2M max 2 pm
nM max npm
27
圆心o:
A
B环
o I1
2R
l1
2R
oI2
2R
l2
2R
I
Ｉ1l1
o (I1l1 I2l2 ) 0 4R2
B
o
I1
l1 s
I2
l2 s
,
I1l1
I2l2
Ｉ2l2
R C
I
D
电流I经圆环分流后, 在中心 o点产生的磁场为零。
Bo
oI 4R
2
oI 2R
方向：垂直纸面向里。
28
电荷的电量为q,电荷做匀速圆周运动，形成电流。 如果电荷圆周运动的角速度为ω，求电流。
荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反 映了静电场的有源性。
在磁场中,磁力线的连续性表明,像正、负电荷那 样的磁单极是不存在的,磁场是无源场。
因为产生磁场的电流是闭合的,磁场也是闭合的,是无源
场. 40
例题 在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面 S,S边线所在平面的法线方向的单位矢量en和B的夹
端点与场点P的)连线的夹角。
1 和 2应取同一方位的角。
1 a
P
17
2
B
oI 4a
(cos1
cos
2
)
I
讨论: (1)对无限长直导线,
1=0, 2=,则有
B oI 2a
IB
P
1 a
(2)对半无限长直导线,
1= /2, 2=,则有
B oI
4a
18
(2)如果P点位于直导线上,求P点
磁场
dB
o 4
3a
6
方向：向里
B
I1 ar
I1R1 I2 2R1
o
IC
I1 2I2
D
IA I2
22
0 4
I1 cos 30 cos150 3a 6
0 4
2I2 cos 30 cos150 3a 6
0
I1 2I2
B
I1 ar
o
IC D
IA I2
23
(3)在一半径为R的无限长半圆筒
形金属薄片中，沿长度方向有电流I流 过，且电流在横截面上均匀分布。求
第三篇
Electromagnetic field
电磁场
第11章 (6)
Steady magnetic field
稳恒磁场
1
第10章研究了存在于静止电荷周围的静电场，10.7 研究了电荷运动形成的电流。
现在开始研究存在于电流周围的磁场。 由稳恒电流激发的磁场成为稳恒磁场，又称静磁场。
第11章 稳恒磁场 任务：研究稳恒磁场的产生、性质和磁力（磁力矩）