数理方程第一部分

前言

数学物理方程的研究对象是描述各种自然现象的微分方程、积分方程、函数方程等等。通常，《数学物理方程》教材中所研究的内容，着重是偏微分方程的三类曲型方程的定解问题。它产生于如振动和波动、流体流动、电磁场、弹性、热传导、粒子扩散等实际问题。

当前，数学技术已成为高科技的重要部分，数学建模、数值计算已越来越发挥重要作用，正在成为广大数学工作者特别是应用数学工作者和计算数学工作者广阔的用武之地，而数学物理方程是一门重要的基础课，是进一步学习现代数学知识的准备，是利用数学知识为经济建设服务的桥梁。数理方程教材中主要讨论基本理论和求解这些问题的一些方法和技巧。

本讲义是根据课程设置需要及本课程特点而编写的。由于理论内容涉及到的高等数学知识比较多且深，推导过程长，常使初学者难以掌握主要过程和整体思路，所以本讲义将重点放在这两个内容上。对于较深入（主要是理论证明方面）的知识或例题将在课堂补充讲解。另外，一些相对简单的推导过程留给读者（读者也可通过查阅参考书得到这些结果），一些繁琐而不重要的内容给予说明。这样，一方面可以使解决问题的过程变得精悍，减少读者的学习负担，另一方面，可以使读者通过这些推导练习加深对理论内容的理解，起到由点到面，循序渐近的作用，增强学好这门课的信心。

由于准备仓促，遗漏及错误之处在所难免，在此作者表示歉意，并请读者指正。

主要参考书

1.复旦大学数学系主编《数学物理方程》，人民教育出版社；(数学系本科生用书)

2.戴嘉尊《数学物理方程》，东南大学出版社；(数学系本科生用书)

3.华南理工大学研究生处《数学物理方法》，华南理工大学出版社(工科硕士研究生用书)

4.杨秀雯等《数学物理方程与特殊函数》，天津大学出版社(工科硕士研究生用书)

第一章 典型方程和定解问题

§1.1 一些典型方程的推导

1.1.1 波动方程的推导

例1.1.1 弦的波动方程。

解 (1)假设 长为l 且均匀柔软的弦，两端固定,其上作用一外力，作微小横振动. (2) 建立数学模型

如图. 设时刻弦上处振幅为具有二阶边连续偏导数t x u u x t =(,),,在弦上取微段MM '. 由弦均匀设线密度为ρ，由弦柔软知张力沿弦的切线方向，由弦作微小横振动可设),(,00t x f 度为设弦上横向连续外力密≈'≈αα───在时刻t 弦上点x 处单位长度上的作用力大小，设微段的重心处横坐标为ξ,并),(0t f ξ以近似微段上各点处的力密度，则(如图)

①水平方向合力： 取,0cos cos T T T T ≈'⇒=-''αα'=T T

②铅垂方向合力： 由牛顿第二定律得 .),(sin sin 0s t f T T ∆⋅+-''ξαα

.),(),(,, (1.1.1)

),(),(),( ),,~,,,0( 0,),( ),(),(),( )

,(),()],(),([ ),(),()tan (tan ),(),()sin (sin ),(),(sin sin 0222222211010000单位质量上的横向力与弦的材料及张力有关其中或连续时当得并令故两边同除之间位于--=--=+∂∂=∂∂+''=''''''∆∆→→→∆→∆∆∆+''⋅∆≈∆+∆''''⋅∆≈∆+'-∆+'''⋅∆≈∆+-'''⋅∆≈∆+-'''⋅∆≈∆+-''ρ

ρξξξξρξξξρξξρξααξρξααξρξααt x f t x f T

a f x

u a t u t x f t x u a t x u u u x s x x x x x x x x t u s s t f x t u T t u s s t f t x u t x x u T t u s s t f T t u s s t f T t u s s t f T T xx tt tt xx tt xx tt x x tt

tt

tt

Θ

称(1.1.1)为一维波动方程.当0≠f 时称为非齐次方程；当f =0时称为齐次方程.

据题意给出弦上点所满足的偏微分方程及其它条件一并给出的定解问题：

).

<(0 )()0,(),()0,()0( 0),(,0),0()0 ,<(0 (I) 2⎪⎩

⎪

⎨⎧<=='=>==><+''=''l x t x u x x u t t l u t u t l x f u a u t xx tt ψϕ

(3)求解(参§3.1)； (4)检验(§9.1).

(5)改善假设，重新推导方程.

特别地，当弦的两端拉紧且弦只受重力作用时，,0g f ρ-=方程为 g u a u xx

tt -''='' 2 ,,g u g u tt tt

>>''''即远大于重力加速度因弦上的加速度故可忽略g ，而有 (1.1.2) 2

2222x u a t u ∂∂=∂∂ .

(2) ?

1sin sin tan tan lim ?)tan (tan )sin (sin (1) : .

, : 0

0推导上面的方程按单调减少且凸的微段吗换为上面为何能将问题进行推导的理以等价无穷小的手段这里是利用牛顿第二定程也可用其它方法推导方注=-'-'-'-'→'→ααα

ααααααα 例1.1.1’ 弹性直杆的纵向振动问题(题3). 例1.1.1” 锥体杆的纵向振动（复旦P11）

例1.1.2 薄膜的振动问题(天大P133) 例1.1.3 三维波动问题（南京P6）

1.1.2 热传导方程的推导

1．梯度与方向导数: 设

u u x y z l ==(,,),(cos ,cos ,cos ),具一阶连续偏导数ρ0

αβγ 则u 的梯度和u 沿)(0l l ρ

ρ或方向的方向导数分别为

.)grad (gradu cos cos cos ),,,(=gradu 0l u l z u

y u x u l u z u y u x u =⋅=++=ργ∂∂β∂∂α∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

2．高斯公式: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑

∑Ω∑∑

Ω--=++=++=∑++=++=++通量

故有

的外法线向量为其中dS n u

dS z u y u x u v z u y u x u n dS

R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz v z R

y Q x P ∂∂γ∂∂β∂∂α∂∂∂∂∂∂∂∂γβαγβα∂∂∂∂∂∂)cos cos cos ()d ( ).cos ,cos ,(cos )cos cos cos ()d ( 2222220

ρ 3．热传导：热量总是从温度高的地方流向温度低的地方；

4．热传导学中的傅里埃（Fourier ）实验定律：

这实际上是将热量故应取负值相反而热量流向与温度增加即沿外法向故

高且靠近曲面的点处温度向内有热量由体外流经曲面当物体内部温度低时例如产生的的方向相反而

即取得最大值的方向流向和温度梯度的正向其中负号是由于热流的即

三者成正比的法线方向的方向导数沿曲面及物体温度以

曲面面积与时间的热量内流过一个无穷小面积物体在无限短的时间段(,,,0grad ,,,,.grad ),( ,,, n n n u n

u

u l

u

dSdt

n

u

k dQ n u

dS u dS dt dQ dS dt ρρρ>⋅=-=∂∂∂∂∂∂∂∂