稳定性分析与分数阶微分方程

东华大学
2013~ 2014学年第II 学期研究生期末考试试题
考试学院：理学院
考试专业：基础数学应用数学
考试课程名称：稳定性分析与分数阶微分方程
学号姓名得分
（考生注意：答案必须写在答题上，写在本试题纸上一律不给分）[试题部分]
一、根据所学知识，概述Lyapunov第二方法的核心思想和基本理
论。

二、针对某一类问题或某个模型，运用Lyapunov第二方法进行
稳定性分析。

三、综述分数阶微积分的三种定义方式及其性质和联系。

四、谈谈你对分数阶微分方程研究的认识和看法。

要求：1. 第二题结合每人曾经报告过的文献来完成；
2. 用电子文档打印，并提交电子文件。

一、根据所学知识，概述Lyapunov 第二方法的核心思想和基本理论
李雅普诺夫（Lyapunov ）提出了两种方法，分析运动的稳定性:
第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。

第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动的稳定性，因此又称为直接法。

李雅普诺夫直接法（也称第二方法）是整个稳定性理论的核心方法，李雅普诺夫1892年提出的稳定性理论、渐近稳定性定理及两个不稳定性定理，奠定了运动稳定性的基础，被誉为稳定性的基本定理。

目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。

李雅普诺夫第二方法的核心思想：
以二维自治系统为例，李雅普诺夫直接法借助于一个V 函数，利用方程右端的信息来探测解的稳定性的原始几何思想。

考虑方程
⎪⎩⎪⎨⎧==),(),(21222111
x x f dt
dx
x x f dt dx 0)0,0()0,0(21==f f
其中21,f f 连续，保证解的唯一性.
设),()(21x x V x V =是K 类函数，且],[)(1
21+∈R R C x V ,此方程的解
T t x t x t x ))(),(()(21=的信息是未知的，但它的导数满足
)),(),,((),(2122112.
1.
x x f x x f x x =的信息是已知的，因为21,f f 是已知函数.
姑且把任意解)(t x 代入)(x V 得到))((:)(t x V t V =.
粗略的说，平凡解的稳定性（包括渐近稳定性、稳定、不稳定）是由解)(t x “走近”原点，“不远离”原点，“远离”原点来决定的，而这些信息分别等价于
))((t x V 是t 的下降、不增、上升函数。

由于],[)(121+∈R R C x V ，后者又分别等价于
0))
((,0))((,0))((>≤<dt
t x dV dt t x dV dt t x dV
而
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
<>==><⋅=∂∂=∂∂=∑∑==2,02,02
,0),()(212121πθπθπθf gradV x x f x V dt dx x V dt t dV i i i i i i
其中θ为向量为f gradV 与的夹角，而最后的表达式已不依赖于方程的解)(t x 的信息，仅依赖于所构造的V 和给定的向量场f ，以上就是 Lyapunov 第二方法（直接法）的原始思想。

考虑一般的n 维非自治微分方程组
),(x t f dt
dx
= （1） ],[),,,(),,,,(2121n H n n R G C f f f col f x x x col x ∈== ，H G 保证（1）式解的唯一性，且0)0,(≡t f .其中}{),,[},{:0H x x t I I G H H H ≤=Ω+∞=Ω⨯=.
李雅普诺夫第二方法的基本理论：
Lyapunov 稳定性定理：
若在某区域H G 上存在正定函数),(x t V ，使
0),(1)
1(≤∂∂+∂∂=∑=x t f x V t V dt dV
i n i i
则（1）式的平凡解0=x 是稳定的.
Lyapunov 渐进稳定性定理：
若在某H G 上存在具有无穷小上界的正定函数],[),(1
+∈R G C x t V H ,使得
)
1(dt
dV
负
定，则（1）的平凡解渐进稳定.
（皮尔西德斯基（Persidskii ）改进了此定理，结论是平凡解一致渐进稳定）
Lyapunov 不稳定性定理：
定理1、若存在定义在H x t t ≤≥,0上的连续可微函数0)0,(),,(=t V x t V ，使得 ①原点的任何领域内有点0x ，使0),(>x t V ； ②V 具有无穷小上界；
③
)1(dt
dV
正定 则（1）式平凡解不稳定.
定理2、若存在定义在H x t t ≤≥,0内的可微函数),(x t V ，使得 ①在原点的任何领域内有0),(>x t V 的区域； ②V 在H x t t ≤≥,0内有界；
③
.0)1(,0),(,0),,(t t x t W x t W V dt
dV
≥≥>+=λλ其中 则（1）式平凡解不稳定.
(切塔耶夫推广并改进了Lyapunov 不稳定性定理）
二、针对某一类问题或某个模型， 运用Lyapunov 第二方法进行稳定性分析
所选文献《An improved robust stability result for uncertain
neural networks with multiple time delays 》 作者：Sabri Arik
本文提出了一个新的选择性充分条件，是关于神经网络参数的平衡点的渐近稳定性，该充分条件就是指稳定性的存在性、独特性和全局性。

同态映射定理已经证明了平衡点的存在性和唯一性。

运用Lyapunov 第二方法证明平衡点的渐进稳定性，获得的鲁棒稳定性条件建立一个关于网络系统参数间的新的关系。

关于具有时滞的神经网络的方程组：
n i u t x f b t x f a t x c dt t dx i ij j j n
j ij j j n j ij i i i ,,2,1))(())(()()
(,1
1 =+-++-=∑∑==τ (1)
严格的说，一个系统的系数是绝对的常数只不过是理想的假设，实际上系统总是多少有些随时间而变化的。

考虑时变系统更有实际意义，但强有力的Lyapunov 第二方法和函数法，特别是线性矩阵不等式的工具受到了限制，不得不加强条件，或者是限定系数是缓变的或是限定系数满足更强的假设。

方程组（1）满足以下情形：
y x R y x n i y x l y f x f j i ≠∈∀=-≤-,,,,,2,1,)()(
}
,,2,1,,:)({],[},,2,1,,:)({],[}
,,2,1,0:)({],[n j i b b b b B B B B n j i a a a a A A A A n i c c c c diag C C C C ij ij ij
n n ij I ij ij ij
n n ij I i i i
i I =≤≤====≤≤====≤≤<===-
-⨯--
-
-⨯--
-
--
-
神经网络系统模型（1）的唯一平衡点T n x x x x ),,,(*2*1** =关于所有I I I B B A A C C ∈∈∈,,是渐进稳定的。

在分析此模型时，第一步先利用了一些引理，以及同态映射定理证明了平衡点的存在性和唯一性。

第二步再证明全局渐近稳定性，首先系统满足))(())(()()(1
1
ij j j n
j ij j j n
j ij i i i t z g b t z g a t z c t z τ-++-=∑∑==⋅
，其中
n i x f x z f z g i i i i i i i ,,2,1),())(())(( =-+⋅=⋅**，当0)(→t z 时，有*→x t x )(。

为此 定义一个Lyapunov 函数ξξα
γτd z b l t z t z V t
t j ij j n
i n
j n
i i ij
)()1
()())((211
1
2⎰
∑∑∑-∧
===++=，最后结
合Lyapunov 直接法系统的全局渐进稳定。

三、综述分数阶微积分的三种定义方式及其性质和联系
1、Grunwald-Letnikow 分数阶微积分：
定义：
① 任意阶积分定义：令P<0,若)(x f 是m+1阶连续可导，
⎰∑
∑++-=+=-=→--++Γ+
++Γ-=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=t
a
m m p m
k k
p k n
r a
t nh h a d f t k p k p a t a f
rh t f r p x f D τττ)()()1(1)
1())(()(h lim )()
1(0)
(00p
p t
② 任意阶微分定义：设p>0,若在[a,t]上，)()(t f k ,(k=1,2,…，m+1)是连续的，且m>p-1，对于m 来说，p 的最小值取决于m<p<m+1，
⎰∑
++-=+--=→-++-Γ+
++-Γ-==t
a
m m p m
k k
p k p h a
t nh h a
d f t k p k p a t a f
t f x f D τττ)()()1(1
)
1())(()
(lim )()1(0
)
(0
p t
性质：
① 整数阶微分：
性质1：对)(x f 先求p 阶分数阶导数，再求n 阶整数阶导数，
)())((n
p t p t x f D x f D dt
d a a n n +=. 性质2：对)(x f 先求n 阶整数阶导数，再求p 阶分数阶导数，
∑-=+--++--Γ--=1
0p
t p t
1))(())(())((m k k n p k a n n n
n a k n p a t a f x f D dt d dt t f d D ）（ 当且仅当0)(=a f k ,(k=0,1…，n-1)时，
)())(())((q p t
q t p t p t q t t f D t f D D t f D D a a a a a +==.
② 分数阶微分：
性质1：当p<0,对于任意的实数q,
)())((q
p t
p t q t t f D t f D D a a a += 性质2：当1+m p m 0<<≤，当且仅当0)(=a f k ,(k=0,1…，m-1)成立时，
)())((q p t p t q t t f D t f D D a a a
+=
性质3： 当0≤m<p<m+1, 0≤n<q<n+1,且满足0)(=a f k ,(k=0,1…，r-1)时，其中r=max （n ，m ），那么分数阶微分算子q t D a 和p t D a 有如下关系：
)())(())((q p t q t p t p t q t t f D t f D D t f D D a a a a a
+==
2、Riemann-Liouville 分数阶微积分： 定义：
① 任意阶积分的定义：设p 是实数且p>0, 当t>a 时，)(-p t t f D a 存在，)t (f 可积且可导m+1次，
⎰--Γ=
t a
p a d f t p t f D τττ)()()(1)(1
p
-t ,且有
)()(0t t f t f D a
=.
② 任意阶微分的定义: 设k 为整数，p 为实数，
⎰----Γ=
t
a
p k k
k
a d f t dt d p k t f D τττ)()()(1)(1
p t
，(k p 1-k <≤). 即()))(()(t p t
t f D dt
d t f D p k a k k
a --=，(k p 1-k <≤).
性质：
① 整数阶微分：
求n 阶整数阶导数时，其性质和Grunwald-Letnikow 定义的分数阶微分的性质相同 ② 分数阶微分：
性质1：对同阶p 来说，分数阶微分算子是其积分算子的一个左逆算子，即
)())((-p t p t t f t f D D a a
=.
一般地，若)(q -p t t f D a 存在，)(x f 连续，p q 0≤≤，
)())((q -p t -q t p t t f D t f D D a a a
=.
性质2：若)(p t t f D a 可积，且k p 1-k <≤，
[
]
)1()()()())((1
j
-p t
p
t
p -t +-Γ--=-==∑
j p a t t f D
t f t f D D j
p a
t k
j a a
a
一般地，
[]
)
1()()
()())((1
j -q t
p -q t
q
t p -t +-Γ--=-==∑j p a t t f D t f D
t f D D j
p a
t k
j a a a a
，(k q 10<≤-≤k ).
性质3：当n q 10<≤-≤n ,m p 10<≤-≤m , []
)1()()
()())((1
j -q t
p q t
q t
p t +--Γ--=--==+∑j p a t t f D t f D
t f D D j
p a t n
j a a a
a ，
[]
)
1()()
()())((1
j -p t
p q t
p t q t +--Γ--=--==+∑j q a t t f D t f D
t f D D j
q a
t m
j a a a a
当0)(=a f j ,(j=0,1…，r-1)时，r =max （n ，m ）那么分数阶微分算子q t D a 和p t D a 有如下关系：
)())(())((q p t q t p t p t q t t f D t f D D t f D D a a a a a
+==.
3、C aputo’s 分数阶微积分：
定义：任意阶微积分：n 是整数，α为任意一个实数，那么有
⎰-+--Γ=
t a n
n C a
t d f n t f D 1)(t )()()(1)(αα
ττ
τα,(n n <<-α1). 性质:
对)(x f 先求m 阶整数阶导数，再求α阶分数阶导数，
)())(())((m
t
t m t m t t t f D t f D D t f D D C a C a C a C a C a
+==ααα, 0)0()(=s f ,m n n s ，，
⋯+=1,(m=0,1,…;n -1<α<n) 这条性质与R-L 定义下的性质恰好相反。

三者之间的联系：
分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一
的，是整数阶微积分的推广。

基础数学研究和工程应用研究中最常用的有以下三种分数阶微积分的定义： Grunwald-Letnikov 分数阶微积分、Riemann-Liouville 分数阶微积分和Caputo 型分数阶导数，实际研究中，还有一种定义也很常用，就是Riesz 分数阶微积分。

Grunwald-Letnikov 定义是差分格式定义，与Riemann-Liouville 等定义比较，该定义较少地被用于数学理论分析，它在微积分方程理论和数值计算方面使用较多； Riemann-Liouville 定义采用微分—积分形式，避免了极限求解，在数学理论研究中起着重要作用；为了方便实际问题的建模，在黏弹性材料的研究中引入了另一种分手阶微积分的定义，即Caputo 微分。

Caputo 定义在建模应用及积分变换中满足的初始条件以整数阶微积分的形式给出，现在实际问题建模过程中广泛应用Caputo 定义。

由于给出初始条件上的差异，实际应用中C —定义的初始条件可以找到确切的意义，而R-L —定义的初始条件是很难有实际意义的；在整数阶上，它们的性质很相似，在分数阶上，有较大的差异，各有各的优势，比如Caputo ’s 分数阶微积分德性质与R-L 定义下的性质恰好相反。

四、谈谈你对分数阶微分方程研究的认识和看法
分数阶微积分是一个古老而新颖的概念。

早在整数阶微积分创立的初期，
就有一些数学家，如L ‘hospital 、Leibniz 等开始考虑它的含义。

由于缺乏应用背景支撑等多方面的原因，长期以来并没有得到较多的关注和研究。

随着自然科学和社会科学的发展、复杂工程应用需求的增加，尤其是20世纪七八十年代以来对分形和各种复杂系统的深入研究，分数阶微积分理论及其应用开始受到广泛关注。

进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若干非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一个热点。

1、研究背景
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。

但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题：
（1）需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；
（2）因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型；
（3）这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐
基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。

分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。

2、研究现状
在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用。

然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。

分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。

随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。

然而由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。

在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。

对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。

在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为：
（1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等；
（2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元法；
（3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要
发展新数值算法，特别是在保证计算可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题，发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题。

分数阶微积分的非局域性质，导致分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数值方法对分数阶方程也完全失效。

目前大多数的分数阶微积分方
程模型还是唯象模型，其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待进一步的深入研究。

3、未来的研究和发展：
由于对分数阶微分方程的研究还不够成熟，因此对其所做出的理论分析还处于探索阶段。

已有成果多半是对经典微积分方程理论的简单推广，且只能覆盖部分特殊形式的分数阶微分方程。

现有的很多工作都是试图寻找新的理论方法，以打破现有的限制条件，力求构建一套完善的分数阶微分方程理论。

（1）、分数阶微积分定义的修正与完善。

现在分数阶微积分的定义有十几种，而这些定义之间又存在密切的联系。

但是，由于定义的使用范围、涉及的初值条件等不相同，所以在应用方面存在一些不确定性，因此分数阶微积分定义的分类与统一是一项非常有意义的开创性工作；
（2）、分数阶微积分的数值求解、分数阶微积分定义的扩展与延伸(如分形导数的一些性质与分析；正定分数阶微积分的性质与应用)；
（3）、分数阶微积分不同于整数阶微积分的性质研究，分数阶微积分的积分变换，如傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换等。

虽然分数阶微积分的定义已被提出，但是分数阶微积分的理论体系还有待进一步的扩充与完善，如时间分数阶微积分定义的统一问题。

空间分数阶导数的定义问题更为严重，在现阶段，空间分数阶微积分的定义在数值计算中较为使用的是Grunwald-Letnikov定义与Riesz-Feller定义，其次是Riemann-Liouville 定义。

多维空间分数阶定义方面，比较成功的是分数阶拉普拉斯定义，但是该定义也比较繁琐，现阶段还未见应用到微分方程的求解中。

只有在分数阶微积分的定义比较完善的情况下，分数阶微积分才能更广泛地应用于自然学科的各个领域。

还有需要指出的就是分数阶微积分的性质还没有完全被揭示出来，如傅里叶变换、拉普拉斯变换、分数阶微积分与整数阶微积分的联系与区别等。