第9章-模型设定与数据问题

9.2 无 关 变 量 假设真实模型为
yi xi11 i
(9.8)
其中， Cov( xi1 , i ) 0 。而实际估计的模型为
yi xi11 xi2 2 ( i xi2 2 )
0
(9.9)
பைடு நூலகம்
由于真实参数 2 0 ，故可将模型写为 yi xi11 xi2 2 i 。 由于 x2 与 y 无关， 故 x2 也与 y 的扰动项 无关， 即 Cov( xi 2 , i ) 0 。 ˆ ，plim ˆ 0。 但引入无关变量后， 故 OLS 一致， 即 plim 1 1 2 2
(9.14)
各变量的边际效应为： E( y ) E( y ) E( y ) 1 2 x1 , 2 x3 , 3 x2 (9.15) x1 x2 x3
x1 的边际效应依赖于 x1 ； x2 的边际效应依赖于 x3 ；而 x3 的边际效 应依赖于 x2 。如果怀疑边际效应并非常数，应考虑在回归方程中 引入非线性项。
“Ramsey’s RESET 检验”(Regression Equation Specification Error Test)的基本思想是，如果怀疑遗漏非线性项，就把非线性项引入 方程，并检验其系数是否显著。
ˆ xb 。 ˆ是x 回归拟合值 y 既然 y 假设线性回归模型为 y x ， ˆ 2 包含了解释变量二次项(含平方项与交叉项)的信 的线性组合， y ˆ 3 包含了解释变量三次项的信息，等等。考虑回归方程： 息， y ˆ3 4 y ˆ4 ˆ 2 3 y y x 2 y
在实践中，较常用 AIC 与 BIC，不常用 HQIC。虽然在大样本 中 BIC 一致而 AIC 不一致，但现实样本有限，而 BIC 准则可能 导致模型过小，故 AIC 准则依然常用。
9.5 对函数形式的检验 如果回归方程中存在非线性项，则边际效应不再是常数。例：
y 0 1 x1 2 x2 3 x3 x12 x2 x3
condition 2 assumption
(9.6)
Cov( z , v ) Cov( z , v) Cov( z , ) 0 0 0
assumption condition 1
(9.7)
因此，将代理变量引入回归方程后使用 OLS，可得到一致估计量。
q 0 1 z v, Cov( z , v) 0
(9.4)
根据第一个条件(多余性)，代理变量 z 只通过 q 对 y 发生作用， 故在回归方程已经包含 q 的情况下，z 与 y 的扰动项 不相关，即
Cov( z , ) 0 。
根据第二个条件，q 的扰动项 v 与所有解释变量均不相关，即 Cov( xk , v) 0, k 。将 q 的表达式代入原模型(9.3)可得
(3) “贝叶斯信息准则” (Bayesian Information Criterion， 简记 BIC) 或“施瓦茨信息准则”(Schwarz Information Criterion，简记 SIC 或 SBIC)：选择解释变量的个数 K，使得以下目标函数最小化： ln n min BIC ln(e e / n) K (9.11) K n ln n 2 ， 故 BIC 准则对于解释变量过多的惩罚比 AIC 一般来说， 严厉。BIC 准则更强调模型的简洁性。 (4)“汉南-昆信息准则”(Hannan-Quinn Information Criterion， 简记 HQIC)：选择解释变量的个数 K，使得以下目标函数最小化： ln ln(n) K (9.12) min HQIC ln(ee / n) K n 在时间序列模型中，常用信息准则来确定滞后阶数。比如，考 虑以下 p 阶自回归模型(详见第 20 章)，
9.4 解释变量个数的选择 加入过多的解释变量可提高模型的解释力，但会牺牲模型的简 洁性(parsimony)。可供选择的权衡标准如下。 (1) 校正可决系数 R 2 ：选择解释变量的个数 K 以最大化 R 2 。 (2) “赤池信息准则”(Akaike Information Criterion，简记 AIC)： 选择解释变量的个数 K，使得以下目标函数最小化： 2 min AIC ln(e e / n) K (9.10) K n 右边第一项为对模型拟合度的奖励(减少残差平方和)， 第二项为 对解释变量过多的惩罚(解释变量个数 K 的增函数)。当 K 上升时， 第一项下降而第二项上升。
例 李宏彬等(2012)通过就业调查数据，研究“官二代”大学毕 业生的起薪是否高于非官二代。 由于可能存在遗漏变量，该文包括了尽可能多的控制变量，比 如年龄、性别、城镇户口、父母收入、父母学历、高考成绩、大 学成绩、文理科、党员、学生会干部、兼职实习经历、拥有技术 等级证书等。 李宏彬等(2012, p. 1012)认为， “尽管我们无法利用自然实验来解 决线性回归中存在的遗漏变量问题，但是我们可以通过控制大量 可能影响工资的变量来降低可能存在的估计偏差。其中，最为重 要的是，我们将高考成绩作为学生能力或智商的代理变量” 。
yt 0 1 yt 1 p yt p t , t 1,, T
(9.13)
ˆ 是真实 其中，滞后阶数 p 待确定。根据 BIC 或 HQIC 计算的 p ˆ p) 0 ， 参数 p 的一致估计量，即当样本容量 T 时， Pr( p ˆ p ) 1， Pr( p ˆ p) 0 。 Pr( p ˆ 却不是一致估计，即使在大样本中也可能高 根据 AIC 计算的 p ˆ p ) 0 ，但 Pr( p ˆ p ) c 0 。证明参见附录。 估 p ，虽然 Pr( p
ˆ 2 error ˆ 2 y y 0 1 y
(9.17)
ˆ 2 不应对 y 有 然后检验“ H 0 : 2 0 ” 。如果模型设定正确，则 y 解释力。如果拒绝 H 0 : 2 0 ，则认为模型设定有误，可考虑加入 非线性项或改变回归的函数形式(比如，取对数)。
证明：假设真实模型为
y 0 1 x1 K xK q
(9.3)
其中，q 为不可观测的遗漏变量。假定 Cov( xk , ) 0, k ，但遗 漏变量 q 与某解释变量 xm 相关(1 m K )，即 Cov( xm , q) 0 ，故 OLS 不一致。 假设找到代理变量 z，满足
ˆ 的方差一般会增大。 估计量 1
n n
9.3 建模策略： “由小到大”还是“由大到小” “由小到大”(specific to general)的建模方式首先从最简单的小模 型开始，逐渐增加解释变量。但小模型很可能存在遗漏变量，导 致估计量不一致，t 检验、F 检验都将失效，因此很难确定该如何 取舍变量。 与此相反， “由大到小”(general to specific)的建模方式从一个尽 可能大的模型开始，收集所有可能的解释变量，逐步剔除不显著 的解释变量。虽然冒着包含无关变量的危险，但危害性没有遗漏 变量严重。但在实际操作上，常常很难找到足够多的解释变量。 实践中，常采用这两种策略的折衷方案。
存在遗漏变量本身并不要紧；问题的关键是，被遗漏的变量不 能与包括在方程内的解释变量相关。 解决遗漏变量偏差的方法主要有： (i) 加入尽可能多的控制变量(control variable)； (ii) 使用“代理变量”(proxy variable)； (iii) 工具变量法(第 10 章)； (iv) 使用面板数据(第 15-17 章)； (v) 随机实验与自然实验(第 18 章)。 第(i)种方法：列出所有可能对被解释变量有影响的变量，尽可 能去收集数据。如果有些变量无法获得，则需从理论上说明，遗 漏变量不会与解释变量相关，或相关性很弱。
yi xi11 xi2 2 i
型(estimated model)为
yi xi11 ui (9.2) 遗漏变量(omitted variables) xi2 2 被归入新扰动项 ui xi2 2 i 中。
考虑以下两种情形： (1) 遗漏变量 xi 2 与解释变量 xi1 不相关，即 Cov( xi1 , xi 2 ) 0 。扰动 项 ui 与解释变量 xi1 不相关，OLS 依然可一致地估计 1 。由于遗漏 变量 xi2 2 被归入扰动项 ui 中，可能增大扰动项的方差，影响 OLS 估计的精确度。 (2) 遗漏变量 xi 2 与解释变量 xi1相关，即 Cov( xi1 , xi 2 ) 0 ，OLS 不 再一致，称其偏差为“遗漏变量偏差”(omitted variable bias)。
在实践中，代理变量是否满足以上两个条件，通常只能做定性 讨论，无法严格检验。 如果使用不满足这两个条件的“不完美代理变量” (imperfect proxy variable)，仍会导致不一致的估计。 解决遗漏变量偏差的第(iii)-(v)种方法将在以后各章介绍。 任何实证研究中几乎总是存在遗漏变量。 一篇专业水准的实证论文几乎总需要说明，它如何在存在遗漏 变量的情况下避免遗漏变量偏差。
(9.16)
对 H 0 : 2 3 4 0 作 F 检验。如果拒绝 H 0 ，说明模型中应有 高次项；如果接受 H 0 ，则可使用线性模型。RESET 检验的缺点是 在拒绝 H 0 时，不知道具体遗漏哪些高次项。
另一模型设定检验为“连接检验”(link test)，由 Tukey (1949) 与 Pregibon (1979, 1980)提出。此处的“连接”指的是，将解释变 量与被解释变量连接在一起的函数形式是否正确。 进行以下回归：
当控制变量不可得时，可考虑第(ii)种方法，即代理变量法。比 如， 在教育投资回归中， 可用智商(IQ)来作为个人能力的代理变量。 一个理想的代理变量应满足以下两个条件： (1) 多余性(redundancy)：即代理变量仅通过影响遗漏变量而作 用于被解释变量。比如， “智商”仅通过对“能力”的作用来影响 工资收入。假如有“能力”的数据，那么再引入“智商”作为解 释变量就是多余的。 (2) 剩余独立性： 遗漏变量中不受代理变量影响的剩余部分与所 有解释变量均不相关。 命题 如果上述两个条件满足，则使用代理变量就能获得一致 的估计量。
y ( 0 0 ) 1 x1 K xK 1 z ( v ) (9.5)
容易证明，新扰动项 ( v ) 与所有解释变量均不相关，
Cov( xk , v ) Cov( xk , v) Cov( xk , ) 0 0 0 ( k )
© 陈强,《高级计量经济学及 Stata 应用》 ，第二版，2013 年，高等教育出版社，即将出版。请勿上传或散发。
第 9 章 模型设定与数据问题
9
如果模型设定(model specification)不当，如解释变量选择不当、 测量误差、函数形式不妥等，则会出现“设定误差”(specification error)。数据本身也可能存在问题，如多重共线性、对回归结果影 响很大的极端数据等。 9.1 遗 漏 变 量 假设真实的模型为 (9.1) 其中，x1 , x2 可以是向量，且与扰动项 不相关。而实际估计的模