主成分分析实例
主成分分析-实例
§8 实例 实例1计算得1x =71.25，2x =67.5分析1：基于协差阵∑ 求主成分。
369.6117.9117.9214.3S ⎛⎫= ⎪⎝⎭特征根与特征向量（Ｓ无偏，用SPSS ）Factor 1 Factor 2 11x x - 0.880 -0.47422x x -0.474 0.880 特征值 433.12 150.81 贡献率0.7417 0.2583注：样本协差阵为无偏估计11(11)1n n n S X I X n n''=--， 所以，第一、二主成分的表达式为1122120.88(71.25)0.47(67.5)0.47(71.25)0.88(67.5)y x x y x x =-+-⎧⎨=--+-⎩ 第一主成分是英语与数学的加权和（反映了综合成绩），且英语的权数要大于数学的权数。
1y 越大，综合成绩越好。
（综合成分）第二主成分的两个系数异号（反映了两科成绩的均衡性）。
不妨将英语称为文科，数学称为理科。
2y 越大，说明偏科（文、理成绩不均衡），2y 越小，越接近于零，说明不偏科（文、理成绩均衡）。
（结构成分）问题：英语的权数为何大？如何解释？ 分析2：基于相关阵R 求主成分。
因为1x =71.25，2x =67.5所以相关阵11R ⎛=⎪⎪⎭解得R 的特征根为：1λ=1.419，2λ=0.581，对应的单位特征向量分别为：Factor 1 Factor 2 111x x s - 0.707 0.707 222x x s - 0.707 -0.707 特征根 1.419 0.581 贡献率0.7090.291所以，第一、二主成分的表达式为12112271.2567.50.7070.70717.9813.6971.2567.50.7070.70717.9813.69x x y x x y --⎧=+=+⎪⎪⎨--⎪=-=-⎪⎩1122120.039(71.25)0.052(67.5)0.039(71.25)0.052(67.5)y x x y x x =-+-⎧⎨=---⎩ 1122120.0390.052 6.2730.0390.0520.671y x x y x x =+-⎧⎨=-+⎩ *2*11707.0707.0x x y += *2*12707.0707.0x x y -=基于相关阵的更说明了：第一主成分是英语与数学的加权总分。
主成分分析之PCA
95
M
90
85
80
75
70
65
60 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84
❖ 先假定数据只有二维，即只有两个 变量，它们由横坐标和纵坐标所代表； 因此每个观测值都有相应于这两个坐 标轴的两个坐标值；
❖ 如果这些数据形成一个椭圆形状的 点阵（这在变量的二维正态的假定下 是可能的）.
F简化了系统结构，抓住了主要矛盾。
整理课件
35
稍事休息
§3.4 PCA的性质
一、两个线性代数的结论
1、若A是p阶实对称阵，则一定可以找到正交阵U，使
1 0 0
U1AU
0
2
0
0
0
p
pp
其中 i,i1.2. p是A的特征根。
2、若上述矩阵的特征根所对应的单位特征向量 为 u1,,up
例 设 x1,x2,x3的协方差矩阵为
1 2 0
2 5 0 0 0 2
解得特征根为
，，
15.8，32 2.00，30.17
0.383
U1
0 .924
0.000
0
U
2
0
1
0 .924
U
3
0
.383
0 .000
第 一 个 主 成 分 的 贡 献 率 为 5.83/ （ 5.83+2.00+0.17 ） =72.875%，尽管第一个主成分的贡献率并不小，但应该取 两个主成分。97.88%
❖ 注意，和二维情况类似，高维椭球的 主轴也是互相垂直的。这些互相正交 的新变量是原先变量的线性组合，叫 做主成分(principal component)。
主成分分析法实例
主成分分析法实例PCA的基本思想是将原始数据在坐标系下进行变换，使得各个坐标轴之间的相关性最小化。
在变换后的坐标系中，第一个主成分表示数据中方差最大的方向，第二个主成分表示与第一个主成分正交且方差次大的方向，以此类推。
因此，保留前k个主成分就可以达到降维的目的。
下面我们通过一个实例来详细介绍PCA的应用过程。
假设我们有一个二维数据集，其中包含了500个样本点，每个样本点具有两个特征。
我们首先需要对数据进行标准化处理，即对每个特征进行零均值化和单位方差化，这可以通过下面的公式实现：\[x_j' = \frac{x_j - \overline{x_j}}{\sigma_j}\]其中，\(x_j\)表示第j个特征的原始值，\(\overline{x_j}\)表示第j个特征的均值，\(\sigma_j\)表示第j个特征的标准差。
通过标准化处理后，我们可以得到一个均值为0，方差为1的数据集。
接下来，我们计算数据集的协方差矩阵。
协方差矩阵可以帮助我们衡量变量之间的相关性，它的第i行第j列的元素表示第i个特征与第j个特征的协方差。
\[Cov(X) = \frac{1}{n-1}(X - \overline{X})^T(X -\overline{X})\]其中，X是一个n行m列的矩阵，表示数据集，\(\overline{X}\)是一个n行m列的矩阵，表示X的每一列的均值。
协方差矩阵可以通过求解数据集的散布矩阵来得到，散布矩阵的定义如下：\[Scatter(X) = (X - \overline{X})^T(X - \overline{X})\]我们将协方差矩阵的特征值和特征向量求解出来，特征值表示每个特征方向上的方差，特征向量表示每个特征方向上的权重。
我们将特征值按照从大到小的顺序排序，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。
最后，我们将数据集投影到选取的主成分上，得到降维后的数据集。
投影的过程可以通过下面的公式实现：\[y=XW\]其中，X是一个n行m列的矩阵，表示数据集，W是一个m行k列的矩阵，表示主成分。
R语言主成分分析实例和代码
R语言进行主成分分析实例1、基于princomp函数进行实例说明：（中学生身体四项指标的主成分分析）在某中学随机抽取某年级30名学生，测量其身高(X1)、体重(X2)、胸围(X3)和坐高(X4)，数据如下。
试对这30名中学生身体四项指标数据做主成分分析将上面这些数据保存在students_data.csv中data <- read.csv('D:/students_data.csv', header = T)注：header = T表示将students_data.csv中的第一行数据设置为列名，这种情况下，students_data.csv中的第二行到最后一行数据作为data中的有效数据。
header = F表示不将students_data.csv中的第一行数据设置为列名，这种情况下，students_data.csv 中的第一行到最后一行数据作为data中的有效数据。
第二步：进行主成分分析student.pr <- princomp(data, cor = T)注：cor = T的意思是用相关系数进行主成分分析。
Screeplot(student.pr,type=”line”,main=”碎石图”,lwd=2)第三步：观察主成分分析的详细情况summary(student.pr, loadings = T)执行完这一步的具体结果如下：说明：结果中的Comp.1、Comp.2、Comp.3和Comp.4是计算出来的主成分，Standard deviation代表每个主成分的标准差，Proportion of Variance代表每个主成分的贡献率，Cumulative Proportion代表各个主成分的累积贡献率。
每个主成分都不属于X1、X2、X 3和X4中的任何一个。
第一主成分、第二主成分、第三主成分和第四主成分都是X1、X2、X3和X4的线性组合，也就是说最原始数据的成分经过线性变换得到了各个主成分。
主成分分析 实例
§8 实例 实例1计算得1x =71.25，2x =67.5分析1：基于协差阵∑ 求主成分。
369.6117.9117.9214.3S ⎛⎫= ⎪⎝⎭特征根与特征向量（Ｓ无偏，用SPSS ）Factor 1 Factor 2 11x x - 0.880 -0.47422x x -0.474 0.880 特征值 433.12 150.81 贡献率0.7417 0.2583注：样本协差阵为无偏估计11(11)1n n n S X I X n n''=--， 所以，第一、二主成分的表达式为1122120.88(71.25)0.47(67.5)0.47(71.25)0.88(67.5)y x x y x x =-+-⎧⎨=--+-⎩ 第一主成分是英语与数学的加权和（反映了综合成绩），且英语的权数要大于数学的权数。
1y 越大，综合成绩越好。
（综合成分）第二主成分的两个系数异号（反映了两科成绩的均衡性）。
不妨将英语称为文科，数学称为理科。
2y 越大，说明偏科（文、理成绩不均衡），2y 越小，越接近于零，说明不偏科（文、理成绩均衡）。
（结构成分）问题：英语的权数为何大？如何解释？ 分析2：基于相关阵R 求主成分。
因为1x =71.25，2x =67.5所以相关阵11R ⎛=⎪⎪⎭解得R 的特征根为：1λ=1.419，2λ=0.581，对应的单位特征向量分别为：Factor 1 Factor 2 111x x s - 0.707 0.707 222x x s - 0.707 -0.707 特征根 1.419 0.581 贡献率0.7090.291所以，第一、二主成分的表达式为12112271.2567.50.7070.70717.9813.6971.2567.50.7070.70717.9813.69x x y x x y --⎧=+=+⎪⎪⎨--⎪=-=-⎪⎩1122120.039(71.25)0.052(67.5)0.039(71.25)0.052(67.5)y x x y x x =-+-⎧⎨=---⎩ 1122120.0390.052 6.2730.0390.0520.671y x x y x x =+-⎧⎨=-+⎩ *2*11707.0707.0x x y += *2*12707.0707.0x x y -=基于相关阵的更说明了：第一主成分是英语与数学的加权总分。
主成分分析法实例
1、主成分法：用主成分法寻找公共因子的方法如下：假定从相关阵出发求解主成分，设有p 个变量，则可找出p 个主成分。
将所得的p 个主成分按由大到小的顺序排列，记为1Y ，2Y ，…，P Y ， 则主成分与原始变量之间存在如下关系：11111221221122221122....................p p p p pp p pp p Y X X X Y X X X Y X X Xγγγγγγγγγ=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 式中，ij γ为随机向量X 的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，因为特征向量之间彼此正交，从X 到Y 得转换关系是可逆的，很容易得出由Y 到X 得转换关系为：11112121212122221122....................p p p p pp p pp p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Yγγγγγγγγγ=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 对上面每一等式只保留钱m 个主成分而把后面的部分用i ε代替，则上式变为：1111212112121222221122....................m m m m p p p mp m p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Y γγγεγγγεγγγε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩上式在形式上已经与因子模型相一致，且i Y （i=1,2，…，m ）之间相互独立，且i Y 与i ε之间相互独立，为了把i Y 转化成合适的公因子，现在要做的工作只是把主成分i Y 变为方差为1的变量。
为完成此变换，必须将i Y 除以其标准差，由主成分分析的知识知其标准差即为特征根的平方根/i i F Y =，12m ，则式子变为：1111122112211222221122....................m m m m p p p pm m p X a F a F a F X a F a F a F X a F a F a F εεε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩这与因子模型完全一致，这样，就得到了载荷A 矩阵和 初始公因子(未旋转)。
Matlab主成分分析：详解+实例
主成分分析
总结:
主 原始变量 目标
成
X1, , Xm
主成分
Z1, ,Zp
分
线性组合
分
Z1, , Zp 互不相关
析 的
信息不重合 按‘重要性’排序
求解主 成分
思
Z1, , Zp
想 Var(Z1) Var(Z2 ) Var(Zp )
r
i r 2(z j , xi )，
j1
这里r(z j , xi )表示zj 与 xi 的相关系数。
主成分分析
1 2 0
例1 设 x [ x1, x2 , x3 ]T 且 R 2 5 0
0 0 0
则可算得1 5.8284，2 0.1716，如果我们仅取第
一个主成分，由于其累积贡献率已经达到97.14%， 似乎很理想了，但如果进一步计算主成分对原变量的
c1 x1+ c2 x2+… +cp xp
我们希望选择适当的权重能更好地区分学生的 成绩. 每个学生都对应一个这样的综合成绩, 记 为s1, s2,…, sn , n为学生人数. 如果这些值很分散, 表明区分好, 即是说, 需要寻找这样的加权, 能使 s1, s2,…, sn 尽可能的分散, 下面来看的统计定义.
x5:交通和通讯,
x6:娱乐教育文化服务,
x7:居住,
x8:杂项商品和服务.
对居民消费数据做主成分分析.
聚类分析
聚类分析
聚类分析
计算的Matlab程序如下:
clc,clear load czjm1999.txt
%把原始数据保存在纯文本文件czjm1999.txt中
主成分分析实例
在统计学中，主成分分析（principal components analysis, PCA）是一种简化数据集的技术。
它是一个线性变换。
这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。
主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。
这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。
这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。
在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。
这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。
因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。
在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。
主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。
主成分分析的主要作用体现在五个方面，第一，主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。
第二，可通过因子负荷的结论，弄清X变量间的某些关系。
第三，可用于多为数据的一种图形表现方法。
第四，可由主成分分析构造回归模型，即把各个主成分作为新自变量代替原来自变量做回归分析。
第五，用主成分分析筛选回归变量。
案例分析：下表是关于全国31个省市的8项经济指标，以此为例，进行主成分分析。
主成分分析实例和含义讲解
主成分分析实例和含义讲解1.数据标准化：对原始数据进行标准化处理，使得每个变量的均值为0，方差为1、这一步是为了将不同量级的变量进行比较。
2.计算协方差矩阵：根据标准化后的数据，计算协方差矩阵。
协方差矩阵反映了各个变量之间的线性关系。
3.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
特征值表示了各个特征向量的重要程度。
4.选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个特征向量作为主成分，k通常是根据主成分所解释的方差比例进行确定。
5.数据投影：将原始数据投影到选取的主成分上，得到降维后的数据。
主成分分析的含义可以从两个方面来解释。
一方面，主成分分析表示了原始数据在新坐标系下的投影，可以帮助我们理解数据的结构和变化。
通过选择前几个主成分，我们可以找到最能够代表原始数据的几个因素，从而实现数据的降维。
例如，在一个包含多个变量的数据集中，如果我们选择了前两个主成分，那么我们可以通过绘制数据在这两个主成分上的投影，来理解数据的分布和变化规律。
同时，主成分的累计方差贡献率可以帮助我们评估所选择的主成分对原始数据方差的解释程度，从而确定降维的精度。
另一方面，主成分分析还可以用于数据的预处理和异常值检测。
通过计算每个变量在主成分上的权重，我们可以判断每个变量对主成分的贡献大小。
如果一些变量的权重很小，那么可以考虑将其从数据集中剔除，从而减少数据的维度和复杂度。
此外，主成分分析还可以检测数据集中的异常值。
在降维的过程中，异常值对主成分的计算结果会产生较大的影响，因此可以通过比较各个主成分的方差贡献率，来识别可能存在的异常值。
总之，主成分分析是一种常用的数据降维方法，它能够帮助我们理解数据集的结构，并鉴别对数据变化影响最大的因素。
通过选择适当的主成分，我们可以实现数据的降维和可视化，并对异常值进行检测。
在实际应用中，主成分分析常常与其他数据挖掘和机器学习方法结合使用，从而发现数据的隐藏模式和关联规则，提高数据分析的效果和准确性。
主成份分析和因子分析实例
• 定义：因子分析是一种降维分析方法，通过研究多个变量之间的相关性，将多个变量归结为少数几个公 共因子
• 原理：基于变量的相关性，通过旋转因子矩阵，使得每个变量仅与一个公共因子高度相关，从而实现对 数据的简化分析 以下是用户提供的信息和标题： 我正在写一份主题为“主成份分析和因子分析实例” 的PPT,现在准备介绍“因子分析的步骤”,请帮我生成“步骤”为标题的内容 步骤
数据来源：某高校学生成 绩数据
数据清洗：去除异常值、缺失值和重复值
数据转换：将非数值型数据转换为数值型数据 数据标准化：将数据进行标准化处理，使每个变量的平均值为0，标准差为 1 数据降维：将高维数据降维到低维空间，保留主要特征
定义：计算变量之间的相关系数矩阵
目的：了解变量之间的相关性
计算方法：使用统计学软件或编程语言计算相关系数矩阵 结果解释：通过相关系数矩阵，可以了解变量之间的线性关系强度 和方向
因子分析缺点：对数据的要求较高，需要数据量足够大且各变量间相关性较强；在确定因子数量 时，需要主观判断。
拓展应用领域：从金融、经济领域拓展到更多领域，如社会学、心理学等 优化算法和模型：提高主成份分析和因子分析的准确性和效率，减少误差 结合其他技术：与数据挖掘、机器学习等技术结合，提高数据分析的深度和广度 强化实际应用：在更多实际问题中应用主成份分析和因子分析，为决策提供支持
根据累积方差贡 献率确定主成份 个数
根据碎石图确定 主成份个数
根据主成份得分 矩阵确定主成份 个数
根据因子载荷矩 阵确定主成份个 数
计算每个观测值 在每个主成份上 的得分
将每个观测值在 每个主成份上的 得分进行加权求 和
得到每个观测值 的主成份得分
将每个观测值的 主成份得分进行 排序，得到主成 份得分排名
主成分分析法实例
【转】主成分分析法概述、案例实例分析主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。
在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。
这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。
因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。
在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。
主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。
主成分分析法是一种数学变换的方法, 它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。
在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关，称为第二主成分。
依次类推，I 个变量就有I个主成分。
这种方法避免了在综合评分等方法中权重确定的主观性和随意性，评价结果比较符合实际情况；同时，主成份分量表现为原变量的线性组合，如果最后综合指标包括所有分量，则可以得到精确的结果，百分之百地保留原变量提供的变差信息，即使舍弃若干分量，也可以保证将85％以上的变差信息体现在综合评分中，使评价结果真实可靠。
是在实际中应用得比较广的一种方法。
由于其第一主成份（因子）在所有的主成分中包含信息量最大，很多学者在研究综合评价问题时常采用第一主成分来比较不同实体间的差别。
综上所述，该方法的优点主要体现在两个方面：1.权重确定的客观性；2.评价结果真实可靠。
1．主成分分析的基本原理主成分分析：把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，是一种降维处理技术。
）记原来的变量指标为x1，x2，…，xP，它们的综合指标——新变量指标为z1，z2，…，zm（m≤p），则z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m 主成分，在实际问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分。
实例说明利用Excel进行主成分分析
方法:1 利用Excel2000进行主成分分析第一步，录入数据，并对进行标准化。
【例】一组古生物腕足动物贝壳标本的两个变量：长度和宽度。
图1 原始数据和标准化数据及其均值、方差 （取自张超、杨秉庚《计量地理学基础》）计算的详细过程如下：⑴ 将原始数据绘成散点图（图2）。
主持分分析原则上要求数据具有线性相关趋势——如果数据之间不相关（即正交），则没有必要进行主成分分析，因为主成分分析的目的就是用正交的变量代替原来非正交的变量；如果原始数据之间为非线性关系，则有必要对数据进行线性转换，否则效果不佳。
从图2 可见，原始数据具有线性相关趋势，且测定系数R 2=，相应地，相关系数R=。
⑵ 对数据进行标准化。
标准化的数学公式为jjij ijx x x σ-=*这里假定按列标准化，式中∑==ni ij ij x n x 11，)(Var )(12ij ni j ijij x x x=-=∑=σ分别为第j 列数据的均值和标准差，ij x 为第i 行（即第i 个样本）、第j 列（即第j 个变量）的数据，*ij x 为相应于ij x 的标准化数据，25=n 为样本数目。
图2 原始数据的散点图图3 标准化数据的散点图对数据标准化的具体步骤如下：① 求出各列数据的均值，命令为average ，语法为：average(起始单元格:终止单元格)。
如图1所示，在单元格B27中输入“=AVERAGE(B1:B26)”，确定或回车，即得第一列数据的均值88.101=x ；然后抓住单元格B27的右下角（光标的十字变细）右拖至C27，便可自动生成第二列数据的均值68.102=x 。
②求各列数据的方差。
命令为varp ，语法同均值。
如图1所示，在单元格B28中输入“=VARP(B2:B26)”，确定或回车，可得第一列数据的方差4656.19)(V ar 1=x ，右拖至C28生成第二列数据的方差0976.23)(V ar 2=x 。
③ 求各列数据的标准差。
主成份分析和因子分析实例
主成份分析和因子分析实例主成分分析和因子分析是常用的降维技术，用于对数据进行降维和探索性因子分析。
在本文中，我将为您介绍两种方法，并提供一个数据集的实例来说明它们的应用。
一、主成分分析（PCA）主成分分析是一种广泛应用的数据降维技术，它可以将高维数据转换为低维数据，同时尽可能以保留最大方差的方式来解释数据。
主成分分析的目标是找到一个新的低维度空间，使得投影到该空间的数据具有最大的方差。
下面是一个用于说明主成分分析的实例：假设我们有一组包含5个变量的数据，分别是身高、体重、BMI指数、血压和血糖。
我们希望使用主成分分析将这些变量降维到2维并通过可视化来分析数据。
首先，我们需要对原始数据进行标准化，以消除变量之间的单位差异。
然后，我们计算协方差矩阵，并通过对协方差矩阵进行特征值分解来找到数据的主成分。
在这个例子中，我们得到了两个主成分，分别称为PC1和PC2、PC1是与身高、体重和BMI指数等相关的主成分，而PC2是与血压和血糖相关的主成分。
这两个主成分解释了数据总方差的大部分。
接下来，我们可以使用这两个主成分来可视化数据，并分析数据的聚集和分布情况。
例如，我们可以使用散点图可视化数据的主成分得分，并根据不同类别对数据进行颜色编码，以便观察数据的聚集情况。
通过主成分分析，我们可以将原始高维数据转换为低维数据，并通过可视化来分析数据的分布和聚集情况，进而进行更深入的研究和分析。
二、因子分析（FA）因子分析是一种用于探索性数据分析的统计技术，其目的是揭示变量之间的潜在因子结构。
因子分析假设观测数据由一组潜在因子引起，并尝试将这些因子解释为一组不可观测的变量。
下面是一个用于说明因子分析的实例：假设我们有一组包含10个观测变量的数据，我们希望了解这些变量之间的潜在因子结构。
我们可以使用因子分析来识别可能存在的潜在因子，并了解它们对观测变量的影响。
在进行因子分析之前，我们首先需要检验数据的合适性。
我们可以使用Kaiser-Meyer-Olkin (KMO)测度和巴特利特球形检验来评估数据的适合度。
Matlab中的主成分分析方法与实例分析
Matlab中的主成分分析方法与实例分析引言主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的多变量分析方法，广泛应用于数据降维、特征提取和可视化等领域。
在Matlab中，通过调用PCA函数，可以方便地实现主成分分析。
本文将介绍Matlab中的主成分分析方法，并通过实例分析展示其应用。
一、主成分分析方法概述主成分分析通过线性变换将原始数据转换为新的坐标系，使得转换后的变量彼此之间不相关。
在新的坐标系中，第一个主成分具有最大的方差，第二个主成分具有次大的方差，并且与第一个主成分无关，以此类推。
主成分分析的基本思想是将高维数据投影到低维空间上，保留数据中所包含的主要信息，尽可能地减少信息损失。
二、Matlab中的主成分分析函数在Matlab中，通过调用pca函数可以进行主成分分析。
该函数的基本用法如下：\[coeff, score, latent, tsquared, explained, mu] = pca(X)\]其中，X代表待分析的数据矩阵，coeff是主成分系数矩阵，score是数据在主成分上的投影，latent是各主成分的方差，tsquared是数据的Hotelling T平方统计量，explained是各主成分的方差贡献率，mu是数据的均值。
三、主成分分析的实例分析为了进一步说明主成分分析的应用，我们将通过一个实例来展示其具体步骤。
假设我们有一个数据集，包含了100个样本和5个特征。
首先，我们将数据加载到Matlab中，并进行标准化处理，即将每一列的均值变为0，方差变为1。
这样做可以消除不同特征之间的量纲差异。
接下来，我们调用pca函数对标准化后的数据进行主成分分析。
根据explained 中各主成分的方差贡献率，我们可以选择保留的主成分个数。
通常，我们会选择方差贡献率大于一定阈值（如80%）的主成分。
在实际应用中，保留的主成分个数需要根据具体问题进行调整。
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在统计学中，主成分分析（principal components analysis, PCA）是一种简化数据集的技术。
它是一个线性变换。
这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。
主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。
这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。
这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。
在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。
这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。
因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。
在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。
主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。
主成分分析的主要作用体现在五个方面，第一，主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。
第二，可通过因子负荷的结论，弄清X变量间的某些关系。
第三，可用于多为数据的一种图形表现方法。
第四，可由主成分分析构造回归模型，即把各个主成分作为新自变量代替原来自变量做回归分析。
第五，用主成分分析筛选回归变量。
案例分析：下表是关于全国31个省市的8项经济指标，以此为例，进行主成分分析。
省份国内生产1居民消费2固定资产3职工工资4货物周转5消费价格6商品零售7工业产值8北京11394.892505519.018144373.9117.3112.6843.43天津2920.112720345.466501342.8115.2110.6582.51河北32849.521258704.8748392033.3115.2115.81234.85山西41092.481250290.94721717.3116.9115.6697.25内蒙5832.881387250.234134781.7117.5116.8419.39辽宁62793.372397387.9949111371.7116.11141840.55吉林71129.21872320.454430497.4115.2114.2762.47黑龙江82014.532334435.734145824.8116.1114.31240.37上海92462.575343996.489279207.4118.71131642.95江苏105155.2519261434.9559431025.5115.8114.32026.64浙江113524.7922491006.396619754.4116.6113.5916.59安徽122003.5812544744609908.3114.8112.7824.14福建132160.522320553.975857609.3115.2114.4433.67江西141205.111182282.844211411.7116.9115.9571.84山东155002.3415271229.5551451196.6117.6114.22207.69河南163002.741034670.3543441574.4116.5114.91367.92湖北172391.421527571.684685849120116.61220.72湖南182195.71408422.6147971011.8119115.5843.83广东195381.7226991639.838250656.5114111.61396.35广西201606.151314382.595105556118.4116.4554.97海南21364.171814198.355340232.1113.5111.364.33四川2235341261822.544645902.3118.51171431.81贵州23630.07942150.844475301.1121.4117.2324.72云南241206.68126.4121.3118.1716.65西藏2555.98111017.877382 4.2117.3114.9 5.57陕西261000.031208300.274396500.9119117600.98甘肃27553.351007114.815493507119.8116.5468.79青海28165.31144547.76575361.6118116.3105.8宁夏29169.75135561.985079121.8117.1115.3114.4新疆30834.571469376.965348339119.7116.7428.76将数据输入SPSS软件，选择“Analyze”—“Data Reduction”—“因子分析”，在出现的对话框中进行以下步骤：第一步，将八个经济指标都转入到变量中去第二步：进行各选项的设置，如图第三步：按“确定”键，分析结果如下：GET DATA /TYPE=XLSX/FILE='C:\Users\11\Desktop\数据.xlsx'/SHEET=name 'Sheet1'/CELLRANGE=full/READNAMES=on/ASSUMEDSTRWIDTH=32767.DATASET NAME 数据集3 WINDOW=FRONT.FACTOR/VARIABLES 国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值/MISSING LISTWISE/ANALYSIS 国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值/PRINT UNIVARIATE INITIAL CORRELATION DET EXTRACTION/CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25)/EXTRACTION PC/ROTATION NOROTATE/METHOD=CORRELATION.因子分析附注创建的输出11-二月-2012 16时31分44秒注释输入活动的数据集数据集3过滤器<none>权重<none>拆分文件<none>工作数据文件中的N 行30 缺失值处理对缺失的定义MISSING=EXCLUDE：用户定义的缺失值作为缺失对待。
使用的案例LISTWISE：统计量基于对所使用任何变量都不含缺失值的案例。
语法FACTOR/VARIABLES 国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值/MISSING LISTWISE/ANALYSIS 国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值/PRINT UNIVARIATE INITIALCORRELATION DET EXTRACTION/CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25)/EXTRACTION PC/ROTATION NOROTATE/METHOD=CORRELATION.资源处理器时间00:00:00.078 已用时间00:00:01.410所需的最大内存9080 (8.867K) 字节[数据集3]描述统计量均值标准差分析N 国内生产1921.092667 1.4748060E3 30 居民消费1745.93 861.642 30 固定资产511.508667 402.8853614 30 职工工资5457.63 1310.218 30 货物周转666.140000 459.9669850 30 消费价格117.287 2.0253 30 商品零售114.907 1.8981 30 工业产值862.998000 584.5872585 30相关矩阵a商品零售工业产值相关国内生产-.264 .874居民消费-.593 .363固定资产-.359 .792职工工资-.539 .104货物周转.022 .659消费价格.763 -.125商品零售 1.000 -.192工业产值-.192 1.000a. 行列式= .000公因子方差初始提取国内生产 1.000 .945居民消费 1.000 .800固定资产 1.000 .902职工工资 1.000 .875货物周转 1.000 .857消费价格 1.000 .957商品零售 1.000 .929工业产值 1.000 .903提取方法：主成份分析。
从“解释的总方差”一表中可以得出相关系数矩阵的特征值为λ1=3.755，λ2=2.197，λ3=1.215，λ4=0.402，5=0.213，λ6=0.318，λ7=0.065，λ8=0.015前三个成分的特征值都大于1，并且累计贡献值达到了89.584%，所以选取了前三个因素作为主成分。
将“成分矩阵”表中没一列值分别除以特征值的开方，就得出了每一个特征值对应的特征向量，由此可以得出第一，第二，第三主成分表达式（令各因素为X1，X2……X8）F1=0.4567*X1+0.4095*X2+0.8274*X3+0.735*X4+1.053*X5-1.37*X6-2.4318 *X7+6.72*X8F2=0.1982*X2-0.4034*X2+0.1501*X3-1.1387*X4+2.0468*X5+0.6784*X6+2. 33*X7+3.4864*X8F3=0.0624*X1+0.1828*X2+0.1923*X3+0.5804*X4-0.5959*X5+2.1455*X6+1. 718*X7+1.7228*X8根据三个主成分表达式，通过SPSS的转换功能，就可以得出成分结果：省份F1F2F3北京13705.16-5881.957046.91天津10446.78-5197.365630.69河北15956.233467.834713.74山西9721-1372.144315.87内蒙7390.3-1650.263462.48辽宁19564.533621.656335.88吉林10015.51-1507.114506黑龙江14049.71160.945132.78上海21778.77-5587.419863.21江苏22960.753202.467724.23浙江14746.51-2511.376240.97安徽11271.67-213.014438.96福建9819.83-3990.124892.59江西8197.8-1804.893979.48山东23365.655193.377352.74河南15953.513670.484892.37湖北14283.24955.725312.38湖南11746.87-168.984564.4广东20630.81-2620.938383.58广西9209.94-2542.964455.72海南5248.71-5674.83899.05四川16350.022217.645689.45贵州6135.28-3224.343679.63云南9817.7-2591.244871.34西藏5522.4-8464.574950.51陕西8549.38-1775.924085.61甘肃8034.14-3509.364391.51青海5266.56-6247.954221.22宁夏4872.95-5290.883791.89新疆8015.83-3918.564491.04综合上述可知，各省份的8个经济指标中国内资产，居民消费，固定工资可以作为衡量经济的主要成分。