二阶线性常系数微分方程

解
r1 r2 实根 r1r2 2p
r1,2i
yC 1er1xC 2er2x y(C 1C 2x)er1x
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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推广:
y (n ) a 1 y (n 1 ) a n 1 y a n y 0(a k均为 ) 特征方程: r n a 1 r n 1 a n 1 r a n 0
解: 特征方程 r22r10有重根 r1r21,
因此原方程的通解为 s (C 1 C 2t)e t
利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为 s(42t)et
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例3. 解方 y(4 ) 2 y 程 y 0. 解: 特征方程: r42r210
即(r21)20 特征根为 r1,2i, r3,4i
P10 目录 上页 下页 返回 结束
于是得 积分得:
v1W 1y2f, v2 W 1y1f
v 1 C 1 g 1 ( x )v 2 , C 2 g 2 ( x )
代入③ 即得非齐次方程的通解:
y C 1 y 1 C 2 y 2 y 1 g 1 ( x ) y 2 g 2 ( x )
第五节
第八章
二阶常系数线性微分方程
y p y q y f( x )( p ,q 是常数）
一、二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程
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一、二阶线性常系数齐次微分方程
ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
求特征方程(代数方程)之根
由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:
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y y 1 v 1y 2 v 2y1v1 y2v2
为y使 中不 v1 ,v2 ,含 令
y1v1 y2v2 0
⑤
于是 y y 1 v 1 y 2 v 2 y 1 v 1 y 2 v 2
将以上结果代入方程 ③ :
方程有两个线性无关的特解: y1 er1x, y2 er2x, 因此方程的通解为 yC 1er1xC 2er2x
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2. 当 p24q0时, 特征方程有两个相等实根 r1 r2
p 2
, 则微分方程有一个特解
y1 er1x.
设另一特解 y2y1u(x)er1xu(x) ( u (x) 待定)
(以上Ci, Di均为任意常 ) 数
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例1. 求y 方 2 y 程 3 y 0 的通解.
解: 特征方程 r22r30,特征根: r1 1,r23,
因此原方程的通解为 yC 1exC 2e3x
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
t 0 2
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3. 当 p24q0时, 特征方程有一对共轭复根
r 1 i,r 2 i
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o is six n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
( C 1 C 2 x C k x k 1 ) e r x
若特征方程含 k 重复根 ri,则其通解中必含
对应项
e x [ ( C 1 C 2 x C k x k 1 ) co x s
(D 1 D 2 x D k x k 1 )six n ]
则方程通解 :
y (C 1 C 3x)co x (s C 2 C 4x)sixn
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二、
第八章
二阶线性常系数非齐次微分方程
y P ( x ) y Q ( x ) y f( x )
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1、常数变易法
复习: y p (x )yf(x )
y1(x)ep(x)dx
对应齐次方程的通解: yCy1(x)
常数变易法: 设非齐次方程的解为 yy1(x)u(x)
代入原方程确定 u(x).
对二阶非齐次方程
y P ( x ) y Q ( x ) y f( x )
③
情形1. 已知对应齐次方程通解: y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )
设③的解为 y y 1 ( x )v1(x) y 2 ( x )v2(x) ④ (v1(x)v,2(x)待)定
代入方程得:
e源自文库1 x [ (u2r1ur12u)p(ur1u)qu0
u ( 2 r 1 p ) u ( r 1 2 p r 1 q ) u 0
注意r1 是特征方程的重根 u0
取特y u征 = p 方x y ,程则 得q ry2y y2 (C p0 1 rx e(C qrp 12 x ,x ,q 0) 因为 er 此1x原方常 )程的通数 解为
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二阶常系数齐次线性微分方程: ypyqy0(p ,q 为常 ) ①数
因r为 为常,数 函时 数 erx和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y erx ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r2p rq)erx0 r2prq0 ②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根. 1. 当 p24q0时, ②有两个相异实根 r1, r2, 则微分
y1, y2 是对应
齐次方程的解
y1 v1 y2 v2 (y 1 P y 1 Q y 1 ) v 1
( y 2 P y 2 Q y 2 ) v 2 f ( x )
得
y 1 v 1 y 2 v 2 f(x )
⑥
因y1,y2线性无, 故关⑤, ⑥的系数行列式
W
y1 y1
y2 y2
0
因此特y 原征 方p 方程y y 程的 e 通q r 2y 解x ( C 为p0 1 rc (qp o ,x q 0为 C s 2 s常 )ix ) n 数
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
特征方程: r2prq0, 特征:r根 1,r2
特征根
通