2020年高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)

2020年高考数学（理）总复习：解三角形

题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】

关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．

【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B

2，

(1)求cos B ；

(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .

【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B

2，故sin B ＝4(1－cos B )．

上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝15

17.

(2)由cos B ＝1517得sin B ＝8

17，

故S △ABC ＝12ac sin B ＝4

17ac .

又S △ABC ＝2，则ac ＝17

2

.

由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B

＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+17151 ＝4.所以b ＝2.

题组训练一 利用正、余弦定理解三角形

1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223

，a ＝2，S △ABC

＝2，则b 的值为( )

A.3

B.322 C ．2 2

D ．23

【解析】 △在锐角△ABC 中，sin A ＝22

3，S △ABC ＝2，

△cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·22

3＝2，

△bc ＝3△，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，

△(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+

311＝12， △b ＋c ＝23△.由△△得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A

2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则a

b

＝________.

【解析】 △sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，△sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，

△c ＝2b －a ，△C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，△

a b ＝3

5

. 【答案】 3

5

3．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .

(1)求角C ；

(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．

【解析】 (1)根据

a sin A ＝c sin C

，可得c sin A ＝a sin C ， 又△c sin A ＝3a cos C ，△a sin C ＝3a cos C ， △sin C ＝3cos C ，△tan C ＝sin C

cos C ＝3，

△C △(0，π)，△C ＝π

3

.

(2)△sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， △sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， △2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . △△ABC 为斜三角形， △cos A ≠0，△sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，△ △c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，

△21＝a 2＋b 2－2ab ×1

2＝a 2＋b 2－ab ，△

由△△解得a ＝1，b ＝5，

△S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝53

4.

题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】

应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：

(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；

(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；

(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．△BCD ＝△CDE ＝2π3，△BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝9

10

km.

(1)求道路BE 的长度；

(2)求生活区△ABE 面积的最大值．

【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos△BCD ＝27100，

△BD ＝33

10km.△BC ＝CD ，

△△CDB ＝△CBD ＝π－

2π32＝π

6，

又△CDE ＝2π3，△△BDE ＝π

2.

△在Rt△BDE 中，

BE ＝BD 2＋DE 2＝

33

5

(km)． 故道路BE 的长度为33

5

km.

(2)设△ABE ＝α，△△BAE ＝π3，△△AEB ＝2π

3－α.

在△ABE 中，

易得AB sin△AEB ＝BE sin△BAE ＝335sin

π3＝6

5

，

△AB ＝65sin ⎪⎭

⎫

⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.