现代数学观

第2章现代数学观

数学教育，顾名思义是关于数学的教育，它与数学不可分离。研究数学教育就不可避免地要研究数学的特征，进而研究数学教育的特征，再深入到数学教育的各个领域内展开对各类问题的研究。

数学教育中的数学观，就是指从数学教育的基本任务出发来认识和理解数学的特点。这里既要注意凡是科学都具备的共同特点，如：观察、实验、想像、直觉、猜测、反驳、验证等。又要注意数学与其他科学共同点之间存在差异的方面，比如：凡是科学都有抽象性、严谨性、应用性特点，而数学在这一方面又有其特殊性。

§2.1 数学的抽象性特征

数学具有高度的抽象性，这是众所周知的。但这并不是说只有数学科学才是高度抽象的，而是指数学在抽象性方面，具有区别于其他科学的独有特点。那么，数学在抽象性方面有什么特点呢？

2.1.1数学对象的抽象性

数学与其他科学相比较，最主要也是最基本的特点，就是它所研究的对象是抽象的形式化的思想材料①。物理学、化学、生物学等数学以外的科学，它们研究的对象是客观世界的具体物化形式或具体运动形态。比如物理学中的量子，是物理量转变的最小单位，存在于客观世界的现实中，用一定的仪器设备可以观测得到。数学中的对象。诸如：数、式、方程、函数；点、线、面、体；群、环、域；欧氏空间、线性空问、拓扑空问……虽然可能找到它们形成的客观背景，但现实世界中毕竟没有这些对象物化形式的实际存在，它们是人类思想抽象的产物。

针对数学的这种特点，爱因斯坦曾经精辟地指出：“当数学定理涉及现实时，它们是不确切的；当它们是确切的时候，它们就不涉及现实。”数学的对象不仅是抽象的思想材料，而且还是形式化的思想材料。所谓形式化就是这些抽象的思想材料是用数学的特殊符号语言组织起来，当人们面对一系列数学材料时，看到的仅仅是材料的形式，其所包含的真正内容却是抽象的思想隐藏在形式之中。

例如“sin x”，直观上它仅仅是一个符号、一种形式，它在初中教材中的一个真实含义是“直角三角形的一个锐角x所对直角边与斜边的比值”，然而单从符号的形式表面是看不到它的真实含义的，它的真实含义体现为思想材料，“sin x”只不过是它的表现形式而已。

2.1.2 数学理论的抽象性

①张奠宙等：《数学教育学》，江西教育出版社，1991

人在思维中把事物的某一方面特性与其他特性区分开来加以单独考虑，进而舍弃其他的特性，保留下来的特性就是抽象出来的事物的本质。许多不同科学领域的不同问题，表面看起来是完全不相同的，可它们由数学语言表述出来的时候，可以用同一个数学模型来刻划，因为这个数学模型反映了它们的共同性质，即它们的本质。

例如，“dy

ky

dx

”是最简单的一阶微分方程。这个微分方程可以用来描述放

射性同位素的衰变过程(化学)；可以用来描述某种细菌的繁殖过程(生物)；可以用来描述某个条件下的热传导过程(物理)；也可以用来描述某个地区人口的变化过程(社会学)等等。同一个数学概念能够用来解释物质世界和人类社会的各种问题，原因在于这一简单的数学概念和理论反映了多种问题的共同本质属性。

正是数学反映了各种不同领域的许多深刻的联系，从而使数学起到统一和综合各种科学知识的作用。数学这种通过揭示本质属性实现的统一和综合，使人类获得深刻的洞察力，促进人类对客观世界的理解。

2.1.3 数学方法的抽象性

数学思想活动除了对数学对象进行创造以外，还创造解决数学问题的数学方法。所谓“数学方法”就是数学处理自身问题的办法。

1．数学的主要研究方式是思辨

由于数学的对象是抽象的形式化的思想材料，这就决定了数学研究必然是以思辨的方式进行的，也就是数学活动是人类抽象的思想活动。数学的思想活动实际是一种思想实验①，与其他实验性科学相比，数学思想实验不是在普通实验室里进行，而是以人的大脑为实验室，数学实验在人的大脑里进行。人利用各种思维方式，在大脑这个思想实验室里，对抽象的形式化的思想材料进行加工，创造出数学成果的过程。数学的思想实验表现为内部思维动作的操作过程，其他科学则表现为外部行为动作的操作过程。

尽管计算机为今天的数学研究提供了史无前例的技术力量，但是数学科学的研究工作在很大程度上仍然依靠个人的灵感和创造力，也就是依赖于个人的思维活动。

2．数学中的弱抽象方法

在数学的思想活动中，有一类方法是在同类的事物中抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属性，舍弃其他的特征，从而形成新的数学概念。这种舍弃一部分属性保留共同属性的抽象过程称之为“弱抽象”。

①张奠宙等：《数学教育学》，江西教育出版社，1991

例如自然数“3”的概念就是弱抽象产物。在3只鸡、3个苹果、3个球等这类事物中，“个数3”是它们的共同本质属性，于是“3”被抽象出来，而鸡、苹果、球都是非本质属性而被舍弃。又如“基数”概念，也是在偶数、整数、有理数、实数这些数的集合中，按一一对应原则，抽象出无穷数集的基数的概念。

数学中的很多重要概念都是由弱抽象的方法得到的，弱抽象方法是数学思想活动的主要方法之一。弱抽象的特点是，用弱抽象得到的数学对象，一般是概念外延的扩大，而内涵的减少。弱抽象的本质在于舍弃。通过弱抽象方法得到的属性，本来就存在于原来的一类事物之中，抽象的过程只是把它分离出来，而且被抽象出来的属性决定了这类事物与其他类事物的本质差异，因而是本质属性。一般地说，只有内容结构较为丰富的对象，才能成为弱抽象的原型。

3．数学中的强抽象方法

数学思想活动中，有一类方法是把新的特征或属性添加到已有的数学结构中，从而形成新的数学概念，而不是从同类事物的众多属性中将共同的本质属性抽取出来。这种通过在原有数学结构中增添新的性质来获得新数学概念的抽象过程，称之为“强抽象”。

例如，由一般三角形概念，引入“两条边相等”或“一个角是直角”的特性，就分别得到比较特殊的三角形概念：等腰三角形和直角三角形；在函数概念中，引入“连续性”就形成了“连续函数”的概念，进而有“可微函数”的概念；点、线、面这些几何元素同各种变换相结合，即在点、线、面这些几何元素中分别引进不同的变换关系，就产生了合同、相似、仿射、射影、同胚等几何概念。

这些例子表明，强抽象方法通过引入新的特征强化原型来完成抽象，是一种概念强化式的抽象，这样获得的新概念或理论，实际上是原型的特例。强抽象的特点是，强抽象方法获得的数学对象，一般在概念的外延上缩小了，但内涵或结构更加丰富和具体了。强抽象方法的本质在于“添加”，强抽象是将不同数学概念或结构有机地结合起来。

强抽象和弱抽象是方向相反的两种思维方法。从思维活动的方向看，弱抽象是“特殊到一般”的过程，强抽象则是“一般到特殊”的过程。由于强抽象是“一般到特殊”的过程，因而实际是演绎推理的过程，这个过程比较直接，但不易理解。用这种办法建构新的数学概念，对思维水平要求要高一些。弱抽象是“特殊到一般”的过程，因而实际是归纳推理过程，这个过程比较直观，是通过直接经验来建构新的数学概念。更贴近学生的思维水平，更容易理解。

2.1.4 数学抽象的理想化特点

数学中的很多概念是理想化抽象的产物。像平面几何中点、直线、平断以及解析几何的笛卡儿坐标系，是最典型的理想化抽象。点——只有位置而没有大小；