第三章 线性疲劳累积损伤理论
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应力范围在结构整个寿命期间的分布称为应力范围的 长期分布。但是，在进行疲劳评估时，其疲劳寿命事先并 不知道，因此，通常将应力范围在一个适当的确定时间长 度内有代表性的分布看作是应力范围的长期分布。这一时 间长度称为疲劳载荷谱的回复期。 在船舶与海洋工程结构疲劳分析中，经常用两参数的 Weibull分布表示应力范围S的长期分布，其概率密度和分 布函数分别为
−4 ω
4
另外，为得到给定时间内的应力循环次数，要 用到交变应力过程的跨零率 f 0 ，即单位时间内以 正斜率跨越零均值的平均次数，其表达式为
1 f0 = 2π m2 m0
当交变应力过程为窄带时，应力每跨越零均值 一次就出现一个峰值，可以假设应力范围S和应力 峰值y之间有以下关系： S = 2y 或 y = S /2
Si(Mpa) 150 120 90 60 Ni(106) 循环数ni(106) 0.01 1.111 1.736 0.05 3.086 0.1 6.944 0.35 0.121 D= _____ Di=ni/Ni
0.009 0.029 0.033 0.05
答案 ： T=1/D=1/0.121=8.27年
N L是所考虑的整个时间期间内应力范围的总循环次
数；
dn = N L f S (S )dS是在落在区间[S, S+dS]内的应力范
围循环次数；
∫ 表示是对所考虑的整个时间期间积分。
L
应力范围长期分布为Weibull分布的疲劳累积损伤 应力范围长期分布为 分布的疲劳累积损伤 计算 Weibull 分布
当疲劳载荷谱不是用若干级应力范围水平的组合表 示，而是用相应于一定时间期间的连续概率密度 函数表示时，疲劳累积损伤度的计算可表示为，
dn D=∫ = N L
+∞
N L f S ( S )dS = NL ∫ N 0
+∞
∫
0
f S (S ) dS N
其中，S表示应力范围， f S (S ) 是应力范围分布的概率密度函数； N是应力范围为S的单一循环载荷作用下达到 破坏所需的循环次数；
第三章 线性疲劳累积损伤理论
若构件在某恒幅交变应力范围S作用下，循环破 坏的寿命为N，则可以定义其在经受n次循环时的 损伤为D＝n/N n=0则D＝0，n=N则D＝1时，破坏。 构件在应力范围Si作用下经受ni次循环的损伤为 Di=ni/Ni.则在K个应力范围Si作用下，各经受
ni次循环则可定义其总损伤为
+∞ 0
∫ G XX (ω )dω
= m0
由随机过程理论，前述两个平稳随机过程的 功率谱密度之间有下列关系：
G XX (ω ) = H (ω ) Gηη (ω )
2
式中，H (ω ) 称为线性动力系统的传递函数或 2 频率响应函数， H (ω ) 则称为响应幅值算子 (RAO)。
传递函数的物理意义是，它是在线性动力 系统做圆频率为 ω 的简单谐振时，响应过 程的振幅与输入过程的振幅之比。当输入 过程为波浪，响应过程为交变应力时，传 递函数就是结构在圆频率为 ω 的规则余弦 波作用下，应力幅值与波幅之比。
f S (S ) =
ξ S α α
ξ −1
S ξ exp − α
0 ≤ S < +∞
S ξ F S ( S ) = 1 − exp − α
0 ≤ S < +∞
式中， 称为尺度参数，ξ 称为形状参数。 α
式中， Γ( ) 为伽玛函数。
关于Weibull分布的两个参数 分布的两个参数 关于
在S-N曲线的两个疲劳实验参数A、m给定的情况下， 结构在一定回复期内的疲劳损伤取决于应力范围Weibull 分布的形状参数 ξ 和尺度参数α 。 形状参数 ξ 一般是根据结构所处的海洋环境、结构类型 及响应特性以及构件在整个结构中的位置等因素来确定。 到目前的研究结果表明，形状参数的数值一般是在0.7到 1.3之间。通常是用某一海况资料对一批船舶进行疲劳载 荷的长期分析，然后用Weibull分布对结果进行拟合，从 而得到的 ξ 值。
• 3）记下雨滴经过的最大峰谷值，作为一个 循环。 • 4）从载荷历程中删 除雨滴流过的部分， 对各剩余历程段，重 复上述雨流计数。直 至再无剩余历程为止。
Dij = Tij f 0ij A
+∞ 0
S m f Sij ( S )dS ∫
式中， f 0ij 为该应力交变过程的跨零率；Tij f 0ij 为 该航行状态期间内应力范围循环次数；f Sij (S )为该 期间的短期应力范围分布。
将相应的短期应力范围分布 f Sij (S ) 的表达式带入 上式，可得
ni D = ∑ Di = ∑ i =1 i =1 Ni
k k
破坏准则为D=∑ni/Ni=1 若设计寿命为时间Td，时间Td内的损 伤为D，则疲劳寿命为Tf＝Td/D
曲线为S 例1：构件的 ：构件的S-N曲线为 2N=2.5*1010,设计寿命期间内的载 曲线为 设计寿命期间内的载 荷谱如表中前二栏所列。试求累积损伤。 荷谱如表中前二栏所列。试求累积损伤。假定对于 100%P时的应力为 时的应力为150Mpa. 时的应力为
设计载荷Pi P 0.8p 0.6p 0.4p
循环ni(106) 0.05 0.1 0.5 5
Si(Mpa) 150
120 90 60
Ni(106)
1.111 1.736 3.086 6.944
Di=ni/Ni
0.045 0.058 0.162 0.72
答案： 答案： D=0.985
例2：构件的S-N曲线为S2N=2.5*1010,若其一年所 构件的S 曲线为S 承受的典型应力谱如表中前二栏所列。 承受的典型应力谱如表中前二栏所列。试估计 其寿命。 其寿命。
再根据超越概率的定义，可得到尺度参数和形 状参数的关系如下：
SL α= 1/ ξ (ln N L )
应力范围为分段连续型分布的疲劳累积wk.baidu.com伤 计算
分段连续分布模型 在船舶与海洋工程中，海洋波浪的长期状态通 常看成是由许多短期海况的序列所组成。每一海 况由表征波浪特性的参数以及该海况出现的频率 来描述。对每一短期海况，通常是把波浪作为一 个平稳正态随机过程来研究。相应地，船舶结构 因波浪引起的交变应力过程也可以看成是由许多 短期海况的序列所组成。对于航行在海洋中的船
对于船舶结构疲劳评估的谱分析方法，波 浪的功率谱密度可采用两参数的PiersonMoskowitz谱(简称P-M谱)，也就是国际船 舶结构会议(ISSC)推荐使用的波浪谱。表 达式为：
H Gηη (ω ) = 4π
2 s
2π T z
4
1 2π ω −5 exp − π Tz
疲劳累积损伤计算
以回复期作为考虑的时间期间，将应力范围长 期分布的表达式代入，得到相应的疲劳损伤计算 式
NL D= A
+∞
ξ S ∫ S α α 0
m
ξ −1
S ξ exp− dS α
NL m m = α Γ (1 + ) A ξ
• 简化雨流计数法，适用于以典型载荷谱段 为基础的重复历程。既然载荷是某典型段 的重复，则取最大峰或谷处的起至段作为 典型段。
• 简化雨流计数方法如下： • 1)有随机载荷谱中选取适合雨流计数的、最 大峰或谷起止的典型段，作为计数典型段。 如图中1-1’或2-2’段。 • 2）将谱历程曲线旋转90度放置。将载荷历 程看做多层屋顶，假想有雨滴沿最大峰或 谷处开始往下流。若无屋顶阻挡，则雨滴 反向，继续流至端点。
Dij = Tij f 0ij A
(2
2σ Xij
)
m
m Γ(1 + ) 2
=
Tij f 0 ij A
(2
2 m 0 ij
) Γ (1 + m ) 2
m
式中， Xij 和 m0ij 分别为该应力交变过程的标 σ 准差和功率谱密度的零次矩；
Γ( ) 为伽玛函数。
设所考虑的长期时间期间为 T ，相应的应力范 围长期分布由 nS 个海况组成，各海况出现的概率 为 pi ，划分的航向数为 nH 个，各航向出现的概 率为 p j ，则 Tij = T ⋅ pi ⋅ p j 。该期间内总的疲劳 累积损伤度 DT 应为
设上述应力交变过程的功率谱密度 为 GXX (ω) , 这一功率谱密度通常是用谱分析 m 方法得到。记 m0， 2 分别为功率谱密度的0 次矩和2次矩，则有
mn =
+∞ 0
ω n G XX (ω ) d ω （n= 0, 2） ∫
交变应力过程的标准差可由功率谱密度 得到，根据随机过程理论表示为
σX =
舶而言，还应按航向进一步划分航行工况。对每 一海况和给定航向和航速，交变应力过程是一个 均值为零的平稳正态过程，其相应的应力范围分 布称为短期分布。根据平稳正态交变应力过程的 统计特征，应力范围的短期分布可用连续的理论 概率密度函数来描述。实际分析时，航速一般取 为一个定值。综合所有海况和航向的应力范围短 期分布以及各海况和航向出现的频率，就得到了 应力范围的长期分布，其形式是分段连续的。
实际应用中，一般是将某一海况中在给定航向 下的交变应力过程作为均值为零的窄带平稳随机 过程，则根据随机过程理论可知，其应力峰值服 从Rayleigh分布，概率密度函数为
y2 fY ( y ) = 2 exp − 2 2σ σX X y
0 ≤ y < +∞
式中，y表示应力峰值； σ X 为交变应力过程的 标准差。
进而，利用概率论中随机变量函数的概率密度 的计算方法，可得应力范围的概率密度函数为
f S (S ) = S 4σ
2 X
S2 exp − 8σ 2 X
0 ≤ S < +∞
疲劳累积损伤计算
设所考虑的船舶在第i海况和第j航向中航行时 间为 Tij ，并用 D ij 表示在 Tij 期间的累积损伤度， 则有
在 ξ 值已知的情况下，尺度参数 α可用回复期 内疲劳载荷长期分析得到的对应某一超越概率的 应力范围表示。通常是用超越概率为
P(S > S L ) = 1 / N L
的应力范围 S L来表示。其含义是，在该回复期内 的全部 N L 次应力范围循环中，大于 S L 的应力范围 仅可能出现一次。可得
S L ξ P ( S > S L ) = 1 − P ( S ≤ S L ) = 1 − F ( S L ) = exp − α
DT =
∑ ∑ D ij =
i =1 j =1
nS nH
T m nS nH Γ(1+ )∑∑ pi p j f0ij 2 2m0ij A 2 i=1 j=1
(
)
m
随机谱与循环计数法
• 恒幅载荷作用下的疲劳寿命估算，可直接 利用S-N曲线。变幅载荷谱下的寿命预测可 用Miner理论加以解决。 现在进一步研究随 机载荷的处理。 • 将不规则的、随机的载荷—时间历程转化 为一系列循环的方法，称为“循环计数 法”。计数法有很多种，本课只讨论简单、 实用且与变幅循环载荷下的应力—应变响 应一致的简化雨流计数法。
−4 ω
4
另外，为得到给定时间内的应力循环次数，要 用到交变应力过程的跨零率 f 0 ，即单位时间内以 正斜率跨越零均值的平均次数，其表达式为
1 f0 = 2π m2 m0
当交变应力过程为窄带时，应力每跨越零均值 一次就出现一个峰值，可以假设应力范围S和应力 峰值y之间有以下关系： S = 2y 或 y = S /2
Si(Mpa) 150 120 90 60 Ni(106) 循环数ni(106) 0.01 1.111 1.736 0.05 3.086 0.1 6.944 0.35 0.121 D= _____ Di=ni/Ni
0.009 0.029 0.033 0.05
答案 ： T=1/D=1/0.121=8.27年
N L是所考虑的整个时间期间内应力范围的总循环次
数；
dn = N L f S (S )dS是在落在区间[S, S+dS]内的应力范
围循环次数；
∫ 表示是对所考虑的整个时间期间积分。
L
应力范围长期分布为Weibull分布的疲劳累积损伤 应力范围长期分布为 分布的疲劳累积损伤 计算 Weibull 分布
当疲劳载荷谱不是用若干级应力范围水平的组合表 示，而是用相应于一定时间期间的连续概率密度 函数表示时，疲劳累积损伤度的计算可表示为，
dn D=∫ = N L
+∞
N L f S ( S )dS = NL ∫ N 0
+∞
∫
0
f S (S ) dS N
其中，S表示应力范围， f S (S ) 是应力范围分布的概率密度函数； N是应力范围为S的单一循环载荷作用下达到 破坏所需的循环次数；
第三章 线性疲劳累积损伤理论
若构件在某恒幅交变应力范围S作用下，循环破 坏的寿命为N，则可以定义其在经受n次循环时的 损伤为D＝n/N n=0则D＝0，n=N则D＝1时，破坏。 构件在应力范围Si作用下经受ni次循环的损伤为 Di=ni/Ni.则在K个应力范围Si作用下，各经受
ni次循环则可定义其总损伤为
+∞ 0
∫ G XX (ω )dω
= m0
由随机过程理论，前述两个平稳随机过程的 功率谱密度之间有下列关系：
G XX (ω ) = H (ω ) Gηη (ω )
2
式中，H (ω ) 称为线性动力系统的传递函数或 2 频率响应函数， H (ω ) 则称为响应幅值算子 (RAO)。
传递函数的物理意义是，它是在线性动力 系统做圆频率为 ω 的简单谐振时，响应过 程的振幅与输入过程的振幅之比。当输入 过程为波浪，响应过程为交变应力时，传 递函数就是结构在圆频率为 ω 的规则余弦 波作用下，应力幅值与波幅之比。
f S (S ) =
ξ S α α
ξ −1
S ξ exp − α
0 ≤ S < +∞
S ξ F S ( S ) = 1 − exp − α
0 ≤ S < +∞
式中， 称为尺度参数，ξ 称为形状参数。 α
式中， Γ( ) 为伽玛函数。
关于Weibull分布的两个参数 分布的两个参数 关于
在S-N曲线的两个疲劳实验参数A、m给定的情况下， 结构在一定回复期内的疲劳损伤取决于应力范围Weibull 分布的形状参数 ξ 和尺度参数α 。 形状参数 ξ 一般是根据结构所处的海洋环境、结构类型 及响应特性以及构件在整个结构中的位置等因素来确定。 到目前的研究结果表明，形状参数的数值一般是在0.7到 1.3之间。通常是用某一海况资料对一批船舶进行疲劳载 荷的长期分析，然后用Weibull分布对结果进行拟合，从 而得到的 ξ 值。
• 3）记下雨滴经过的最大峰谷值，作为一个 循环。 • 4）从载荷历程中删 除雨滴流过的部分， 对各剩余历程段，重 复上述雨流计数。直 至再无剩余历程为止。
Dij = Tij f 0ij A
+∞ 0
S m f Sij ( S )dS ∫
式中， f 0ij 为该应力交变过程的跨零率；Tij f 0ij 为 该航行状态期间内应力范围循环次数；f Sij (S )为该 期间的短期应力范围分布。
将相应的短期应力范围分布 f Sij (S ) 的表达式带入 上式，可得
ni D = ∑ Di = ∑ i =1 i =1 Ni
k k
破坏准则为D=∑ni/Ni=1 若设计寿命为时间Td，时间Td内的损 伤为D，则疲劳寿命为Tf＝Td/D
曲线为S 例1：构件的 ：构件的S-N曲线为 2N=2.5*1010,设计寿命期间内的载 曲线为 设计寿命期间内的载 荷谱如表中前二栏所列。试求累积损伤。 荷谱如表中前二栏所列。试求累积损伤。假定对于 100%P时的应力为 时的应力为150Mpa. 时的应力为
设计载荷Pi P 0.8p 0.6p 0.4p
循环ni(106) 0.05 0.1 0.5 5
Si(Mpa) 150
120 90 60
Ni(106)
1.111 1.736 3.086 6.944
Di=ni/Ni
0.045 0.058 0.162 0.72
答案： 答案： D=0.985
例2：构件的S-N曲线为S2N=2.5*1010,若其一年所 构件的S 曲线为S 承受的典型应力谱如表中前二栏所列。 承受的典型应力谱如表中前二栏所列。试估计 其寿命。 其寿命。
再根据超越概率的定义，可得到尺度参数和形 状参数的关系如下：
SL α= 1/ ξ (ln N L )
应力范围为分段连续型分布的疲劳累积wk.baidu.com伤 计算
分段连续分布模型 在船舶与海洋工程中，海洋波浪的长期状态通 常看成是由许多短期海况的序列所组成。每一海 况由表征波浪特性的参数以及该海况出现的频率 来描述。对每一短期海况，通常是把波浪作为一 个平稳正态随机过程来研究。相应地，船舶结构 因波浪引起的交变应力过程也可以看成是由许多 短期海况的序列所组成。对于航行在海洋中的船
对于船舶结构疲劳评估的谱分析方法，波 浪的功率谱密度可采用两参数的PiersonMoskowitz谱(简称P-M谱)，也就是国际船 舶结构会议(ISSC)推荐使用的波浪谱。表 达式为：
H Gηη (ω ) = 4π
2 s
2π T z
4
1 2π ω −5 exp − π Tz
疲劳累积损伤计算
以回复期作为考虑的时间期间，将应力范围长 期分布的表达式代入，得到相应的疲劳损伤计算 式
NL D= A
+∞
ξ S ∫ S α α 0
m
ξ −1
S ξ exp− dS α
NL m m = α Γ (1 + ) A ξ
• 简化雨流计数法，适用于以典型载荷谱段 为基础的重复历程。既然载荷是某典型段 的重复，则取最大峰或谷处的起至段作为 典型段。
• 简化雨流计数方法如下： • 1)有随机载荷谱中选取适合雨流计数的、最 大峰或谷起止的典型段，作为计数典型段。 如图中1-1’或2-2’段。 • 2）将谱历程曲线旋转90度放置。将载荷历 程看做多层屋顶，假想有雨滴沿最大峰或 谷处开始往下流。若无屋顶阻挡，则雨滴 反向，继续流至端点。
Dij = Tij f 0ij A
(2
2σ Xij
)
m
m Γ(1 + ) 2
=
Tij f 0 ij A
(2
2 m 0 ij
) Γ (1 + m ) 2
m
式中， Xij 和 m0ij 分别为该应力交变过程的标 σ 准差和功率谱密度的零次矩；
Γ( ) 为伽玛函数。
设所考虑的长期时间期间为 T ，相应的应力范 围长期分布由 nS 个海况组成，各海况出现的概率 为 pi ，划分的航向数为 nH 个，各航向出现的概 率为 p j ，则 Tij = T ⋅ pi ⋅ p j 。该期间内总的疲劳 累积损伤度 DT 应为
设上述应力交变过程的功率谱密度 为 GXX (ω) , 这一功率谱密度通常是用谱分析 m 方法得到。记 m0， 2 分别为功率谱密度的0 次矩和2次矩，则有
mn =
+∞ 0
ω n G XX (ω ) d ω （n= 0, 2） ∫
交变应力过程的标准差可由功率谱密度 得到，根据随机过程理论表示为
σX =
舶而言，还应按航向进一步划分航行工况。对每 一海况和给定航向和航速，交变应力过程是一个 均值为零的平稳正态过程，其相应的应力范围分 布称为短期分布。根据平稳正态交变应力过程的 统计特征，应力范围的短期分布可用连续的理论 概率密度函数来描述。实际分析时，航速一般取 为一个定值。综合所有海况和航向的应力范围短 期分布以及各海况和航向出现的频率，就得到了 应力范围的长期分布，其形式是分段连续的。
实际应用中，一般是将某一海况中在给定航向 下的交变应力过程作为均值为零的窄带平稳随机 过程，则根据随机过程理论可知，其应力峰值服 从Rayleigh分布，概率密度函数为
y2 fY ( y ) = 2 exp − 2 2σ σX X y
0 ≤ y < +∞
式中，y表示应力峰值； σ X 为交变应力过程的 标准差。
进而，利用概率论中随机变量函数的概率密度 的计算方法，可得应力范围的概率密度函数为
f S (S ) = S 4σ
2 X
S2 exp − 8σ 2 X
0 ≤ S < +∞
疲劳累积损伤计算
设所考虑的船舶在第i海况和第j航向中航行时 间为 Tij ，并用 D ij 表示在 Tij 期间的累积损伤度， 则有
在 ξ 值已知的情况下，尺度参数 α可用回复期 内疲劳载荷长期分析得到的对应某一超越概率的 应力范围表示。通常是用超越概率为
P(S > S L ) = 1 / N L
的应力范围 S L来表示。其含义是，在该回复期内 的全部 N L 次应力范围循环中，大于 S L 的应力范围 仅可能出现一次。可得
S L ξ P ( S > S L ) = 1 − P ( S ≤ S L ) = 1 − F ( S L ) = exp − α
DT =
∑ ∑ D ij =
i =1 j =1
nS nH
T m nS nH Γ(1+ )∑∑ pi p j f0ij 2 2m0ij A 2 i=1 j=1
(
)
m
随机谱与循环计数法
• 恒幅载荷作用下的疲劳寿命估算，可直接 利用S-N曲线。变幅载荷谱下的寿命预测可 用Miner理论加以解决。 现在进一步研究随 机载荷的处理。 • 将不规则的、随机的载荷—时间历程转化 为一系列循环的方法，称为“循环计数 法”。计数法有很多种，本课只讨论简单、 实用且与变幅循环载荷下的应力—应变响 应一致的简化雨流计数法。