p-Laplacian方程组大解的存在性

在 光滑 有界 区域 ｎ Ｒ 和整 个 Ｑ ＝ Ｒ 空 间正 的
边 界爆 破 弱解 的存 在 性 。关 于有界 区域 上单个 方程
形 如
究 ，常用 的方 法有 不 动点 法 ，变 分 法 ，上 下 解 法 ， 运用 山路 引理 等 。各类 方 法 各 有 其 特 殊 性 和 优 势 ， 同时也 有 其 局 限 性 。关 于 椭 圆 型 Ｐ Ｌ ｐａｉ —ａ ｌ ａ ｃ ｎ方 程 的大解 ，国内外许 多学 者 已经 运用不 同的方 法进 行
引理 ２９ （ 个方 程 的上下解 原 理 ） ｌ 单 椭 圆型方程 非线 性
』Ｖ “ Ｍ＝ （ｕ ∈ Ｎ ｆ（ ｌ ） ｍ ） ｄ１ ｉ 一 “ Ｒ
ｄ（ ｉ Ｉ ｖ ）＝ｎ “ （ ）
（） １
ｄ（ ｉ １ ｖ
ｌ Ｍ ， ）＝０ ∈Ｒ （ ） 一 ）＋ Ｍ ， ４
讨论 Ｒ 上一类椭圆型方程组大解 的存在性及需 要满足的条件 。关键在于通过一组不等式 的可解性 ，寻求 可解 的 条件 ，从而得到方程组 大解存 在需要满足 的条件 ，即 （ Ｐ＋１ （ —ｑ ） ＜ ｃ ａ— ） ｅ ＋１ ｂ。
关键 词 ：非线性椭圆型ｐＬｐ ｃ ｎ －ａｌ ｉ 方程组；比较原理；上下解；大解 ａａ
ｅｒ ｌｐｉ Ｐ Ｌ ｐａｉｎｓｓ ｍ ｉ ｏ ｔ ｉｅ ， ｈｃ ａ－ ａ ｌ ｔ －ａ ｌｃ ｙｔ ｂａ ｎ ｄ ｗ ｉ ｉ ｅｉ ｃ ａ ｅ ｓ ｎ ｈ ｓ（ ｐ＋１ （ ｑ＋１ ｂ ． ） ｅ— ）＜ ｃ
Ｋｅ ｒ ： ｑ ａ ｉ ｎ ａ ｌｉ ｔ Ｌａ ｌ ｃａ ｓ ｓｅ ；ｗｅ ｋ ｃ ｍｐａｉｏ ｒｎ ｉ ｌ ｙ ｗｏ ｄｓ ｕ ｓｌ ｅ ｒ ｅｌｐ ｉ Ｐ— ｐ ａ ｉ ｎ ｙ ｔｍ ｉ ｃ ａ ｏ ｒｓ ｎ ｐ ｉ ｃ ｐ ｅ；ｓ ｂ—ｕ ｅ ｏｕ ｉ ｎ ； ｕ ｓ ｐ ｒ ｓ ｌ ｔｏ ｓ
∈ ｃＲ
２ 上 的有 界 区 域 ，边 界 Ｑ 光 滑 ，并 且 ０是 （ ， ） ０ ∞ ）一 （ ， ） 的 连 续 不 减 函 数 ，设 ｕ ， Ｅ ０∞ 。ｕ
Ｉ（ ． Ｑ），且对 任意 的非 负 函数 ∈ （ 满 足 Ｑ）
在 有界 区域边 界大解 的存 在性 问题 。 在 上述文 献 中 ，虽然 研究 到非线 性方 程组解 的 问题 ，但 涉及 方程 组大解 问题 的研究 非常 少 。本 文
ｐＬｐａｉ 方 程 组 大 解 的存 在 性 －ａｌ ａ ｃｎ
印 凡 成 ，王滕 滕 ，黄健 元
（ ． 河 海大 学理 学院 ，江 苏 南京 ２ ０ ９ ； １ １０ ８ ２ ．河 海大 学公共 管理 学院 ，江 苏 南京 ２ ０ ９ ） １０ ８
摘 要 ：为了研究强耦合项的非线性椭圆型ｐＬｐ ｃ ｎ － ｌ ｉ 方程组大解的存在性问题 ，文章运用上下解方法，主要 ａ ａａ
ｉｖ ｌＶ） ｍ ）； ∈ ｆ （ 一 ｕ＝ （Ｍ １ ｄ Ｖ ｉ Ｑ
ｌ ：∞ 加
其 中 Ｐ ＞ １Ｑ ｃ Ｒ ， 的 问题 ，很 多学 者 都 有 研 究 ，
了研 究 。文献 ［ ］ 运用 上下 解 方法得 到 方程 １
并 有所 收获 。尤其 在 文献 ［ ］ 中 ，作 者 分 别证 明 ３
ｌｒ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ａ ｇ ｏｕ ｉ ｎ
对椭 圆 型 ｐＬ ｐａｉ －ａｌｃａ ｎ方 程 解 的 研 究 一 直 是 学 者们感 兴 趣 的 问题 ， 已经 得 到 了大 量 深 刻 的 结果 。
有关 ｐ Ｌ ｐａｉｎ方程 在全 空 间 Ｒ －ａ ｌｃ ａ 上 解 的存 在 性 研
有 界 区域 时 ，大解 的存 在性 。当 Ｐ ＝２时 ，相 关 的 结 论 已在文 献 ［ ５］ 中得 到 。在 文 献 ［ ］ 中 ， ４— ４ 作 者着 重研究 了非 线性 方程 大解 存在 性 问题
ｆｉ １ Ｖ“ ｄｖ Ｊ （ Ｖｕ ）＝ｍ ｕ （） ）
Ｉ
Ｉ： ∞
ｌ
【
Ｍ ， ≥０ｉＲ ｎ
“ ） （ －｝ ，ｓ ｌ 。 （ ， ）— ∞ ａ —｝ 。 ｌ
设 － ， ）是 定 义在 Ｒ ，关 于 是 Ｈｉ ｅ 连 续 ， 厂 “ （ ｔ ｒ ｌ ｄ
进一步假设存在函数 ， ∈Ｃ；（ 满足 ｌ Ｒ） ｏ
ｒ
大解 的存在 性 问题 。其 中 １＜Ｐ ＜Ｎ， １＜ｑ＜Ⅳ， ， ０ ６ｃ ｅ＞０ ｍ（ ， （ 是 Ｒ ，， ， ） ｎ ） 上 的非 负 为 整体 大 解 ，也称 整 体 爆 破
解。
引理 １８ （ 比较 原 理 ） 设 ｎ 是 Ｒ Ⅳ ≥ ¨ 弱 （
ｆｉ（１ Ｍｌ ｕ ： Ｈｌ ， ｄｖ 一 ） ， ｐ ｍ
｝２ ） ／ ｑ Ｉ ＝２ ， ，
∈ｎ ｃＲ
进行 了研究 。在 文献 ［ ］ 中 ，作 者 考虑 了下 面 不 ５
含梯度 项 的方程 组
｛ 【 ｄ ｉ（ ｖ１
定义 ２ 方 程 （ ） 的解 （ １ ）如果 满 足当 —
『ｉ（１ ／ Ｍ ＋ ， ， ｄｖ ／ 一 ） ¨ ）＝０ Ｊ ｌ ，
ｌ ） （ ， Ｖｖ ＋ｇ ， ）＝０ ｑ 一 ，
了方程 在 ＞Ｐ一１， ＝Ｒ Ｑ 或 是 Ｒ 上 的有界 区域 ，以及 在 ＜Ｐ一１， ＝Ｒ ｎ 或 Ｑ 是 上 的
ｄ （ Ｖ“ 一ＶＭ ，）＝０ ｉ １ ｌ ）＋ ｖ ，
性 椭 圆型 方程
ＥＲ
的整体 解 。文献 ［ ］ 也 运用 上 下 解方 法 研 究 非 线 ２
第５ 卷 １
２１ ０ ２年
第 ４期
７月
中山大学学报 （自然科学版 ）
Ａ Ｔ Ｓ ＩＮ Ｉ Ｒ Ｍ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＵ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ ＴＳ Ｓ Ｎ Ａ Ｓ Ｎ ＣＡ ＣＥ ＴＡ Ｕ Ａ Ｕ Ａ ＩＭ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＡ Ｉ Ｕ Ｙ Ｔ Ｅ Ｉ
Ｖ０＿ １ Ｎｏ ４ ｌ５ ．
Ｊ１ ２ ２ ｕ． ０１
如 果在 边界 Ｑ 有 不等 式 。 “ 立 ，则 在 有 界 ≤ 成
解 不等 式组 的方式 ，结合 具体情 况 ，考虑 上下解 存 在时需 要满 足的条 件 ，研 究如 下无 界 区域 上强耦 合
项 的非 线性椭 圆 型 ｐ Ｌ ｐａｉ －ａ ｌ ａ ｅ ｎ方程 组
区域 Ｑ 上不 等式 Ｍ ≤ 也成 立 。 。
Ｊ ｕ “ ｎ － ｌ
＋ｎ（） Ｊ “沙 － ≤
将依 据 比较原 理 ，借 鉴 文献 ［ ］ 中单 个 方 程在 无 ７
界 区域 上大解 存在性 问题 的上 下解方 法 ，通过 联立
Ｊ ｕ Ｉ ０ ＋ ｚ ｎ ｚ １ ｄ Ｊ（ ） ＂ ｎ Ｖ Ｉ Ｉ ２
组 以及 Ｐ （ ）一ａ ］ ｉ Ｌ ｐ ｃ ｎ方程 组 问题 也 有很 多 学 者 ａａ
ｎ ） Ｒ （ 是 上 的 非 负 函数 ，指 数 ０ Ｅ （ １ ０，），在 Ｒ 上 Ｈ ｌｅ 连 续 ，函 数 对 （ ） ∈ Ｃ （ ￣ｄ ｒ ， Ｒ ）×
Ｃｌ （ Ｉ Ｒ ）
中 山 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第５ １卷
ｄｖ １ ｕ 一 “ ｉ（ １ ）＋Ａ １ Ｉ ｌ ｕ ｌ ＝ （ ） （ ） 一
（ Ｍ ） ， ∈Ｑ ＝Ｒ ， （ ）
ｕ≥ ０
ｄｖ Ｉ ｉ（
ｌ
ｖｌ Ｚ ｑ ｖ
－
）≤ ｍ（ ） ｘ ㈩
中图分 类号 ：Ｏ ７．９ 文 献标 志码 ：Ａ １ ２ ５
文章编 号 ： ５９ ６７ ２ １）０ — ０５ ０ ０２ — ５９（０２ ４ ０ — ５ ４
Ｅ ｉ ｅ ｃ ｆ ａｇ ｏｕｉｎ ｆ ｈ ｕ ｓｉｅ ｌｐｉ Ｐ Ｌ ｐａｉ ｙｔｍ ｘｓ ｎ ｅｏ ｒ ｅＳ ｌｔ ｓｏ ｅＱ ａｉｎ ａ Ｅｌ ｔ ・ ａ ｌｃａ Ｓ ｓ ｔ Ｌ ｏ ｔ ｌ ｒ ｉ ｃ ｎ ｅ
２ ｃｏｌ ｆ ｕ ｌ ｄ ｎｓ ａ ｏ ，Ｈ ｈｉ ｎｖｒｉ ， ａｊ ｇ２ ９ ， ｈｎ ） ．Ｓ ｈ ｏ ｏ ｂｉ Ａ ｍｉｉｒｔ ｎ ｏ ａ ｕ ｉｅｓｙ Ｎ ｎｉ １０ ８ Ｃ ｉ Ｐ ｃ ｔ ｉ ｔ ｎ ０ ａ
Ａｂｓｒ ｃ ｔ ａ ｔ： Ｔｈ ｕ — ｕ ｅ ｏ ｕ ｉｎ ｍｅｈ ｄ ｉ ｓ ｄ ｔ ｅ ｅ ｒ ｈ ｔ ｘ ｓｅ ｃ ｆｌｒ ｅ ｓ ｌ ｉｎ ｆｔ ｅ ｑ ａ ｉ ｅ ｓ ｂ ｓ ｐ ｒｓ ｌ ｔ ｔ ｏ ｓ ｕ ｅ ｏ ｒ ｓ ａ ｃ ｈｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅｏ ａ ｇ ｏｕｔ ｓｏ ｈ ｕ ｓ— ｏ ｏ ｌ ａ ｌｉ ｔｃＰ— ｐ ａ ｉ ｎ ｓ ｓｅ ｗｈ ｃ ｓ ｅ ｐ ｎｅ ｔ￣． Ｔｈ ｘ ｓｅ ｃ ｎ ｓ ｆ ｃｅ ｔｃ ｎ ｉｉｎｓ ｏ ａ ｇ ｉ ｒｅｌｐ ｉ Ｌａ ｌ ｃａ ｙ ｔ ｍ ｉ ｈ ｉ ｘ ｏ ｎ ｉ ｎｅ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ａ ｄ ｕ ｉ ｎ ｏ ｄ ｔｏ ｆ ｌｒ ｅ ｉ ｓ ｌ ｔｏ ｓｏ ｈ ｕ ｓｌｎ ａ ｌ ｐ ｉ Ｌａ ｌｃａ ｙ ｔｍ ｒ ｉｃ ｓ ｄ．Ｔｈ ｅ ｏｎ ｓｔ ｓａ ｌｓ ｅ ｆ ｏｕ ｉ ｎ ｆｔ ｅ ｑ ａ ｉ ｅ ｒｅｌ ｔｃＰ— ｐａ ｉｎ ｓ ｓｅ ａ ｅ ｄ ｓ ｕｓｅ ｉ ｉ ｅ ｋ ｙ ｐ ｉ ｔｉ ｏ ｅ ｔｂ ｉｈ ａ ｓ ｔｏ ｉ ｅ ｕａｉｉｓ ｗｈｉｈ ｈ ｖ ｏｕｔ ｎ ｏ ｇ ｔｔ ｅ ｓ ｆ ｃｅ ｔｃ ｎｄ ｔ ｎ ． Ｔｈ ｕ ｃ ｅ ｔｃ ｎ ｉｉｎ ｏ ｕ ｓｌｎ ｎ ｑ ｌｔｅ ｃ ａ ｅ ｓ ｌ ｉ ｓ ｔ ｅ ｈ ｕ ｉ ｎ ｏ ｉｉ ｓ ｏ ｉ ｏ ｅ ｓ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｆｔ ｑ ａ ｉ — ｉ ｏ ｈｅ ｉ
∈Ｒ
∈Ｒ
ｎ 时 ，有 “ ∞ ， 一 则称 （ ）为方 程 （ ） 的大解 ， １ 也称 爆破解 。如果 Ｑ ＝ Ｒ — ａ 也 就是 ｌ ｌ ， Ｑ 一
的正 的整 体解 的存在 性 。文 献 ［ ］ 中 ，作 者 研 究 ６
了下 列非 线性 椭 圆型方程 组
｛ 【 ｄｖ ｉ（１
０． Ｍ ， ≥ ， ∈ Ｒ
ａ ／ ｌｒ ／ ） ＝＋∞ ｌ Ｊ ｉ （
∞
（ ，（ ） ）— ∞ ，ｓ ｌ ∞ ａ — ｌ 一
这里 １＜Ｐ ＜Ⅳ， １＜ｑ＜ Ｎ ， ， ，， ０ ｂ ｃｅ＞０， ） ｍ（ ，
其 中 ｍ ＞ ｌＡ：０ ∞ ） ［ ，０ ， ［ ， 一 ０ ０ ）是 连 续 函数 ， ： Ｒ × ［ ，。 ０ ｏ ）一 ［ ， ０ ∞）也是 连 续 函 数 。 同样方 程
Ｙ Ｎ ｎ ｈ ｎ Ｉ Ｆａ ｃ ｅ ｇ ，ＷＡ ｅ ｇｅ ｇ ， Ａ ＮＧ Ｔ ｎ ｔｎ ＨＵ ＮＧ Ｊａ ｙ ａ ｉｎ ｕ ｎ
（ ．Ｓｈ ｏ ｏ ｃ ｎｅ Ｈ ｈ ｉ ｎｖ ｒ ｔ， ａｊ ｇ ０ ８ ｈｎ ； １ ｃｏ ｌ ｆ ｉ ｃ ， ｏ ａ ｕ ｉ ｓｙ Ｎ ｎｉ １ ９ ，Ｃ ｉａ Ｓｅ ｅｉ ｎ ２ ０
收 稿 日期 ：２ １ ０ —２ ０ １— ９ ４
基金项 目 ：中央高校基本科研 业务费重点资助项 目 （ ０ ０ ２ ５ ４ ２ １Ｂ ８ １ ）
作者简介 ：印凡成 （９ ８年生 ） １５ ，男 ，副教 授 ；通讯作者 ：王滕滕 ；Ｅｍａ ：ｗ ｎｔ ｇ ｎｗ ６． ｏ — ｉ ａｇ ｎｔ ｇ ＠１３ ｃｍ ｌ ｅ ｅ