随机过程(3.2)

P( (uk Tk uk hk ) N (t ) n)
k 1 n
P( (uk Tk uk hk ), N (t ) n)
k 1
n
P( N (t ) n)
P( N (h1 ) 1, N (h2 ) 1,, N (hn ) 1, N (t h1 h2 hn ) 0) P( N (t ) n )
q0 (t )=e
-t
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下面考虑函数qk(t+h), 其中k=1,2,· · ·
)k q = h t( + P N ) (h t k
k
c
=P(N c (t +h)-N c (t )=0,N c (t )=k )+P(N c (t +h)-N c (t )=1,N c (t )=k -1) + P(N c (t +h)-N c (t )=j,N c (t )=k -j )
§2. 泊松过程的0-1律
本节主要研究在充分小的时间区间内发生跳的次 数等于或大于2的概率趋于0 定理4.2.2 对于参数为λ>0的泊松过程N(t)，它 满足如下的性质：对任意的时间指标t>0和充分 小的h>0, (1) P( N (t h) N (t ) 0) 1 h (h) (2) P( N (t h) N (t ) 1) h (h) 其中 (h) 表示h的高阶无穷小.
例2：设某电话总机在t分钟接到的电话呼叫数N(t) 是具有速率为λ的泊松过程，试求(1)3分钟接到5次 呼叫的概率；(2)已知3分钟内接受到5次呼叫，且 第5次呼叫在第3分钟 内到来的概率.
解：A= “第3分钟内第5次呼叫到来”， B= “第1分钟内有i次呼叫到来”，i =0,1,2,3,4, C= “第2分钟内有j次呼叫到来”，j =0,1,2,3,4, D= “第3分钟内有k次呼叫到来”，i=1,2,3,4,5,
则A B4C0 D1 B3C1 D1 B3C0 D2 B2C2 D1 B2C1D2 B2C0 D3 B1C3 D1 B1C2 D2 B1C1 D3 B1C0 D4 B0C4 D1 B0C3 D2 B0C2 D3 B0C1 D4 B0C0 D5
解(1)两辆红色汽车到达的时间间隔TG的概率密度函 数为 t
fTG (t ) 0,
G e
G
,t 0
t0
(2)由于独立的泊松过程之和仍是泊松过程，且其 强度为λC=λR+λG+λB,设TC为两辆汽车到达的时间 间隔，则其概率密度函数为
C e C t , t 0 fTC (t ) t0 0,
n k 0
P( L(t ) L(s) k ) P(M (t ) M (s) n k )
k 0
n

k 0
n
k (t s)k nk (t s)nk
k! (n k )!
e( )(t s )
[( )(t s)]n ( )( ts ) e n!
n! n ， 0 u1 u2 un t f (u1 , u2 ,, un ) t 其它 0，
对n个到达时间T1 T2 Tn取充分小的h1 , h2 , , hn , 使得uk Tk uk hk , 且各小区间[uk , uk hk ](k 1, 2, n) 互不相交，则当0 u1 u2 un t时，有
稳独立增量性且满足定理4.2.2中的性质(1)(2)，那么 这个计算过程一定是个泊松过程 证明：我们只需要证明
k ( t ) c - t P(N (t )=k )= e k!
令
qk (t )=P(N c (t )=k )
先考虑函数 q0 (t +h) ，其中h>0充分小.
q0 (t +h)=P(N c (t +h)=0)=P(N c (t +h)-N c (t )=0,N c (t )=0)
(3)设TR， TG ，TB ，分别为两辆红色、绿色、蓝 色汽车到达的时间间隔.有(2)知， TX的概率密度 函数为(TX是为红色和非红色汽车到达的时间间隔）
(B G )e ( B G )t , t 0 fTX (t ) t 0 0,
由于TX 与TR相互独立，故下一辆是红色汽车的概率为
例5：有红绿蓝三种颜色的汽车，分别以强度为 λR,λG,λB, 的泊松流到达某个路口，设它们相互独立. 把汽车合并成单个输出过程（假设汽车没有长度，没 有延时）. (1)求两辆绿色汽车到达的时间间隔的概率密度函数. (2)求两辆汽车之间的时间间隔的概率密度函数. (3)求在t0观察到一辆红色汽车，下一辆将是红色、蓝 色、非红的概率. (4)求在t0观察到一辆红色汽车，下三辆汽车是红色， 然后又是一辆非红色汽车将到达的概率.
=P(N c (t +h)-N c (t )=0)P(N c (t )=0) =(1- h+ (h))q0 (t )
于是
q0 (t +h)-q0 (t ) (h) =- q0 (t )+ h h
令上式两边h→0,得
q0 (t )=- q0 (t ),其中q0 (0)=1
解上边的常微分方程得
证明
Ntge E[ ge ] E{exp[( N (t ) N ( s)) ln( 1) (t s)]} Ns
E{exp[( N (t ) N (s))ln( 1)}e (t s )
e
( t s )
( 1)
n 0

n
(t s)
P(下一辆是红色汽车)=P(TR TX ) R e
0 R t R
dt R X e X t X dt X
tR

R R R X R G B
令TY 是从t0算起的非蓝色汽车的到达时刻，则同理可得
B P(下一辆是蓝色汽车)=P(TB TY ) R G B
P N ( s) k , N (t ) n 解：P N ( s) k | N (t ) n P N (t ) n P N ( s) k , N (t ) N ( s ) n k P N (t ) n P N ( s) k P N (t ) N ( s ) n k P N (t ) n
j =2
=qk (t )q0 (h1 )+-1 qk (t )q -(h)+ qk j (t )q j (h)
j =2
k
=qk (t )(1-h+ (h))+qk -1 (t )(h+ (h))+ (h)
整理上式得
qk (t +h)-qk (t ) (h) =- qk (t )+ qk -1 (t )+ h h
P(T1 s, N (t ) 1) P(T1 s N (t ) 1) P( N (t ) 1)
P( N (s) 1, N (t ) N ( s) 0) se s e (t s ) s t P( N (t ) 1) te t
更一般有以下问题
令上式两边h→0,得迭代常微分方程
qk (t )+ qk (t )= qk -1 (t ),其中q1 (0)=0,q0 (t )=e- t
解上边的常微分方程得
(t )k -t qk (t )= e ,其中k =1,2, k!
例子1
对于参数为λ>0的泊松过程N={N(t)：t≥0},求在 {N(t)=1}的条件下，泊松过程N的第一个达到时间间 隔T1服从的概率分布
例4（几何泊松过程）设N={N(t),t≥0}是参数λ>0 的泊松过程，假设常数σ>-1，定义随机过程：
Ntge exp[ N (t )ln( 1) t ] ( 1) N (t ) e t
ge N 其中t>0和 0 1. 那么对任意的0≤s<t<∞有
Ntge E[ ge ] 1 Ns
设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程,如果 在[0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时间
T1 T2 Tn 服从怎样的概率分布??
例2 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程,如 果在[0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时 间 T1 T2 Tn 的联合密度函数为
n
n
n!
e ( t s )
n
e e
( 1)( t s )
[ ( 1)(t s)] n! n 0

( 1)( t s )
e
( 1)( t s )
1
例5：设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0 s t , 对于0 k n, 求P{N ( s) k N (t ) n}.
G B R P(下一辆是非红色汽车)=1 R G B R G B
(4)利用各辆汽车到达的独立性及(3)直接得到来到 的是三辆红色汽车，然后是一辆非红色汽车同时 发生的概率为
B +G B 3 （ ） R G B R G B
c c N { N 定理4.2.3 如果一个计数过程 t : t 0} 具有平
P N ( s) k , N (t ) n 解：P N ( s) k | N (t ) n P N (t ) n P N ( s) k , N (t ) N ( s ) n k P N (t ) n P N ( s) k P N (t ) N ( s ) n k P N (t ) n
(1) P( N (t h) N (t ) 0) e-h =1 h (h) (2) P( N (t h) N (t ) 1) he-h = h (h)
例1：假定某天文台观察到的流星流是一泊松过程， 据以往的资料统计为每小时平均观察到3颗流星.试求 (1)在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星 的概率；(2)下午(下午12点以后)该天文台观察到第 一颗流星的时间的分布函数.
P( A) 211 5 3 e 120
例3.同一概率空间下的独立泊松过程的叠 加也是泊松过程
分析：要证明随机过程是泊松过程，只能用定义 证明，零初值性和独立增量性比较容易，只需要 证明平稳增量性即可.
P( N (t ) N (s) n) P( L(t ) L( s) k , M (t ) M (s) n k )

h1e
h1
h2e
h2
hn e e (t ) n e t / n!
hn
( t h1 hn )
n! n h1h2 hn t
例3：设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0 s t , 对于0 k n, 求P{N ( s) k N (t ) n}.
e s
( s) k (t s ) [ (t s)]n k e k! (n k )! n ( t ) e t n!
n
s C t
k n
s 1 t
nk
例6：设在时间区间[0,t]内来到某商店的顾客 数N(t)是强度为λ 的泊松过程，每个来到商店 的顾客购买某货物的概率为p，不买东西离去 的概率是1-p,且每个顾客是否购买货物是相互 独立的，令Y(t)为[0,t]内购买货物的顾客数。 试证{Y(t),t≥0}是强度为λp的泊松过程.