量子力学课程论文

题目分波法与粒子散射

学号姓名

（物理学专业2013级）

物理科学与技术学院

课程性质：实践选修类

课程名称：粒子物理

学分数：2学分

指导教师：

开设学院：物理科学与技术学院

开设时间：XXX—XXX

分波法与粒子散射

（）

（物理科学与技术学院 2013级）

摘 要：在了解分波法的情况下，推导证明了分波法主要思想，并在此基础上运用分波法 求解了低能粒子在中心力场中的散射问题。

关键词：分波法、中心力场、低能散射

一、 引言

在中心力场作用下，粒子的散射截面存在一个普遍的计算方法—分波法，从原则上讲，分波法是一个严格的处理方法，但在实际应用中，并不能将所有的波都考虑在内，而是根据实际情况，只考虑一些重要的分波，实际上也是一种近似处理。特别是对于低能散射，分波法是一个极为方便的近似处理方法[1]

。

二、 分波法

在散射问题中把入射波按守恒量的本征态进行展开（分波）是一个十分重要的概念，由于轨道角动量的平方是守恒量，在散射过程中各l 分波可以分开进行处理，使得问题简化[2]

。

中心立场下波函数可以表示为

ψ=∑R i ∞

i=0

(kr)Y i 0(θ)

这里展式得每一项称为一个分波 带入薛定谔方程

0)]([22=-+∇ψψr U k

得到径向方程

0)(])1()([))((12

22

2=+--+r R r

l l r U k dr r dR r dr

d

r l l 令R l (r )=u l (r)r ⁄则可得到解

)sin()(l l l kr A r u δ'+'=

(1)

(2)

(3)

(4)

其中δl 是入射波经过散射后第l 个分波的相位移动（简称相移） 由此

kr

l kr A kr r

A r R l l l l r l )21

sin()sin()(δπδ+-

='+'

−−−−→−∞

→

)(cos )21

sin(),(0

θδπθψl

l l l r P kr

l kr A r +-

−−−−→−∑∞

=∞

→

∑∑∞

=-∞

=-=++

)

2

1

(0

2

)(cos )(cos )12()(2l l l i l l

l l i

l P e

A P e i l kif l θθθπδπ

∑∑∞

=--∞

==+0

)

2

1

(0

2

)(cos )(cos )12(l l l i l l

l l i l

P e

A P e i l l θθπδπ

上述(7)(8)两式联立可求得

∑∑∞

=∞

=+=

-+=

2

sin 2)(cos )12()

1)((cos )12()(2l l

i l l

i l l

l

ie

P l e P l kif δθθθδδ

因此散射波幅

∑∞

=+=

sin )(cos )12(1

)(l

l i l l

e P l k

f δθθδ

其中)(cos θl P 是Legendre 多项式，θ是弹性散射角 利用球谐函数的正交归一性，求得总结截面

∑⎰∞

=+=

Ω=0

2

2

2

sin )12(44|)(|l

l l

l k d f δπ

θσ

其中2

k 代表入射粒子的能量

由上式可以得出计算截面就是计算计算各个分波的相移 δl

三、 低能散射

1、球形方势阱

当入射粒子能量很小时，低能粒子受球对称方势阱的散射，它的德布罗意波长就会比势场的作用范围大得多。以a 表示方形势阱的范围，于是粒子的势能 可写为

(5)

(6)

(7)

(8)

(10)

(11)

(12)

⎩⎨

⎧>≤-=a

r a r V r V ,0,)(0

总相移

ka a k tg k

k

arctg -''=)]([

0δ 总散射面积

])(

[sin 4sin 422

022

0ka a k tg k k

arctg k

k

Q Q -''

=

=

≈π

δπ

在粒子能量很低k →0的情况下

]1)

([000-≈a

k a k tg ka δ<<1

其中k V k '≈=

2

00|

|2

μ 对应的总散射面积为

2002202

022

)1(44sin 4-=≈

≈

a k a tgk a k

k

Q πδπ

δπ

由上式可以看出,在粒子能量很低的情况下,调整势阱参数U 0和a,使tg(k ′a)≈k ′a 时,可以使入射粒子能量为1ev 时散射截面出现一个极小值,即出现共振透射现象。

当粒子能量增大,高l 分波的贡献便是不可忽略的，此时需要解 l ≠0的方程(6),求解较为困难。对于高能散射问题,ka ≫1时,可以用玻恩近似法来计算散射截面。

入射粒子在原子势场中的散射可以分两种情况分析。对于低能粒子,我们可以运用分波法分析,调节调整势阱参数U 0和a,粒子会发生共振透射现象,出现总散射截面最小。对于高能粒子,可以运用波恩近似法计算总散射截面,且得到散射截面与粒子能量E 成反比的结论。

2、低能电子弹性散射

解非相对论薛定谔微分方程得到散射截面方程

dσ(θ)dΩ=1

k

2|∑(2l +1)sinδl e (iδl )P l (cosθ)∞

l=0|2 总的散射截面是

σT =4π

k

2∑(2l +1)sin 2δl ∞

l=0

(13)

(14)

(15)

(16)

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(19)