_数学史选讲_刘徽与割圆术_的教学探究

系统正常工作的概率为
2
2
Rc=1-{1-［p（1-（1-p ）（1-p））］}（1-p ）
23
456
=2p +ห้องสมุดไป่ตู้ -2p -p +p
④在图 （4）中 所 示 的 电 路 图 中 ，系 统 正 常 工 作 的 概 率 可
分两种情况进行讨论，即部件5正常工作与部件5不能正常工
作 ，设 部 件 5正 常 工 作 为 事 件 A5，系 统 正 常 工 作 为 事 件 R，则 由
周刊 2012年第37期 ○ 数学教学与研究
之为“徽率”）。 （设计意图：这部分内容对学生来说可能需要教师先对课
文的内容作一些分析。 ） 2.学 生 通 过 刚 才 的 讲 解 发 现 割 圆 术 的 特 点 ：不 断 地 利 用
勾股定理，来计算正N边形的边长。 （设计意图： 让学生自己去正确体会其中蕴涵的数学数
○ 数学教学与研究 2012年第37期
周刊
“数学史选讲：刘徽与割圆术”的教学探究
潘建伟
（温岭市之江高级中学，浙江 温岭 317500）
摘 要: 数学史作为数学文化的一种载体，其在教学中越 来越受到重视，高中数学课程中设立了“数学史选讲”。 本文作 者 对 人 教 A版 数 学 选 修 3-1数 学 史 选 讲 中 的 “刘 徽 与 割 圆 术 ”进 行教学探究来实践新课程。
图1 刘徽 （二）学生讲刘徽的故事。 让学生根据自己收集到的资料介绍刘徽的一些生平事迹 等（主要是学生自己收集到的课外的相关知识）。 （设计意图：让学生更好地参与学习，感受刘徽作为一个 数学家的独特魅力。 ） （三）呈现刘徽的割圆术。 1.教 师 讲 解 刘 徽 割 圆 术 的 基 本 过 程 ：刘 徽 “割 圆 术 ”仅 用 圆内接正多边形逼近圆的方法就确定了圆周率， 比阿基米德 用内接同时又用外切正多边形简捷得多。 另外，有人认为在割 圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法， 以至于他将割到 192边 形 的 几 个 粗 糙 的 近 似 值 通 过 简 单 的 加 权 平 均 ， 竟 然 获 得 具 有4位 有 效 数 字 的 圆 周 率π＝3927/1250＝3.1416（我 们 通 常 称
一、教学内容与内容解析 （一）内容。 刘徽与割圆术，能正确体会刘徽的割圆术蕴涵的思想，以 及它对后世数学的发展起到的重要作用。
活中可以将该性质用于生产中的系统可靠性分析， 从而可以
大大简化运算，如下例所示.
例3.2系统正 常 工 作 的 概 率 称 作 该 系 统 的 可 靠 性 ，假 定 系
统 的 各 部 件 是 否 正 常 工 作 相 互 独 立 ，第i（i=1，2，… ，n）个 部 件
（二）目标解析。 知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观是三个不同 维度的教学目标，每个目标都对应着一定的要求，其中知识与 技能、过程与方法需要我们在课堂教学中凸现出来，而情感态 度与价值观基本要义是以学生的发展为本， 培养学生正确的 学习态度、高尚的道德情操，形成正确的价值观和积极的人生 态度。 它的实现更多地需要教师的教学艺术。 三、教学支持条件 学生在此之前已经完成 必 修1-5的 学 习 ， 以 及 相 应 的 文 科或理科选修课程的学习，特别是学生学习了如何求圆的周 长、面积公式，以及球的表面积、体积公式等，理科的学生还 学习了微积分。 这些是本课教学中渗透的数学思想方法的重 要基础。 本课时的教学主要是通过对刘徽的割圆术的展示让学生 感受其中蕴涵的数学文化知识，结合本课时的特点，本课时的 教学以讲故事、师生及生生的讨论交流为主。 四、教学过程设计 （一）创设情境，引出课题。 1.播 放 古 代 马 车 的 视 频 ，让 学 生 观 察 车 轮 的 形 状 。 （设计意图：自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源 于生活”，营造和谐积极的学习气氛。 ） 2.古 代 人 在 制 造 车 轮 时 又 是 如 何 计 算 它 的 用 料 的 呢 ？ （设计意图：将问题转到对圆周率的讨论上来。 ） 3.提问我国古代 计 算 圆 周 率 的 数 学 家 有 哪 些 ？ （刘 徽 、祖 冲之等） （设计意图：一是吸引学生的注意；二是引出本节的课 题— ——刘徽用他的割圆术求圆周率。 ）
62
（二）内容解析。 本节课是普通高中新课程标准实验教科书 《数学》（选修 3-1数 学 史 选 讲 ）中 第 三 章 《中 国 古 代 数 学 瑰 宝 》第 四 节 《中 国 古代数学家》的第一课时。 《标准》 指出:“数学课程应当适当地反映数学的历史、应 用和发展趋势， 数学对推动社会发展的作用， 数学的社会需 求，社会发展对数学的推动作用，数学的思想体系，数学的美 学价值，数学家的创新精神。 数学课程应帮助学生了解数学在 人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。 ”本课的教 学展现刘徽的割圆术的历史背景， 以丰富的数学发展史激励 学生。 数学史是学习数学、认识数学的工具。 人们要弄清数学概 念、数学思想和方法的发展过程，建立数学的整体意识，就必 须以数学史作为补充和指导。 二、教学目标与目标解析 （一）教学目标。 1.知 识 与 技 能 ：通 过 生 动 、丰 富 的 事 例 ，了 解 刘 徽 的 割 圆
Bayes公 式 ，系 统 正 常 工 作 的 概 率R5=P（R|A5）P（A5）+P（R|A5）
P（A5）.
当 部 件 5正 常 工 作 时 ， 相 当 于 图 （2） 中 n=2 的 情 形 ， 易 得 ， 系
2
2
统正常工作的概率为P（R|A5）=p （2-p） .
当 部 件5不 能 正 常 工 作 时 ，相 当 于 图 （1）中n=2的 情 形 ，易
2
2
得，系统正常工作的概率为P（R|A5）=p （2-p ）.
综上，系统正常工作的概率
R5=P（R|A5）P（A5）+P（R|A5）P（A5）
2
2
2
2
=p·p （2-p） +（1-p）·p （2-p ）
2
3
4
5
=2p +3p -5p +2p
由此可见，随机事件的独立在实际概率计算中的广泛用途.
参考文献： ［1］盛 骤 ，谢 式 千 ，潘 承 毅.概 率 论 与 数 理 统 计 ［M］.北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ，2009:20-21. ［2］魏 宗 舒 等.概 率 论 与 数 理 统 计 教 程 ［M］.北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2011：42-48. ［3］张 福 利.随 机 事 件 独 立 性 的 教 学 探 讨 ［J］.产 业 与 科 技 论 坛 ，2010，9，（8）：212-213. ［4］吴 二 夏.关 于 随 机 事 件 独 立 性 问 题 ［J］.长 江 铁 道 学 院 学 报 ，2004，24，（6）.
n2
作的概率为Ra=1-（1-p ） .
②在 图 （2）中 并 联 部 件i与i*（i=1，2，3，… ，n）正 常 工 作 的
2
概 率 为1-（1-p） =p（2-p），将 这n个 并 联 电 路 再 串 联 得 系 统 正
n
n
常工作的概率为Rb=p （2-p） .
③在 图 （3） 中 由 部 件 2，3组 成 的 串 联 电 路 正 常 工 作 的 概 率
正 常 工 作 的 概 率 为 pi，由 上 述 性 质 6可 得 ，将 n个 部 件 串 联 组 成
的系统的可靠性可表示为R1=p1p2…pn，而将这n个部 件 并 联 的
系 统 可 靠 性 为R2=1-（1-p1）（1-p2）… （1-pn），下 面 介 绍 几 个 比
较复杂的系统：
（1）
（2）
（3）
（4）
以上四个图中， 已标号的部件正常工作的概率均为p，且
各个部件是否正常工作相互独立， 分别计算上述四个系统正
常 工 作 的 概 率 Ra，Rb，Rc，Rd.
n
解 ：①在 图 （1）中 串 联 部 件1至n正 常 工 作 的 概 率 为p ，同
n
理串联部件1*至n*正常工作的概 率 为p ，从 而 系 统 （1）正 常 工
关键词： 数学史 刘徽与割圆术 教学探究
在新课程高中数学中，设立了“数学史选讲”这个专题，使 得有关数学史的教学正式进入了高中数学课堂， 但是在当前 的课堂教学中， 我们可以发现数学虽然是高中教学的一门主 学科，但学习数学在一定程度上只是为了满足升学的需求，因 此在日常教学中教师往往只重视对“应试知识点”的落实而忽 视了对“数学史”教学的重视。 下面以笔者的一节课为例和大 家共同探究数学史的教学。
63
参考文献: ［1］中 华 人 民 共 和 国 教 育 部.普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 （实 验 ）［M］.北 京 :人 民 教 育 出 版 社 ，2003. ［2］张 维 忠.文 化 视 野 中 的 数 学 与 数 学 教 育 ［M］.北 京 :人 民 教 育 出 版 社 ，2005. ［3］张 奠 宙 等.数 学 学 科 德 育— ——新 视 角·新 案 例 ［M］.北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ，2007. ［4］张 红 .数 学 简 史 ［M］.北 京 :科 学 出 版 社 ，2007.
2
2
为p ，2，3与4组 成 的 并 联 电 路 正 常 工 作 的 概 率 为1-（1-p ）（1-
p），将 该 子 并 联 电 路 与 部 件1串 联 后 正 常 工 作 的 概 率 为 ［1-（1-
2
2
p ）（1-p）］p，而 部 件5与6串 联 电 路 正 常 工 作 的 概 率 为p ，从 而
学，如极限等。 ） 3.展示《九章算术》注 文 ：“割 之 弥 细 ，所 失 弥 少 ；割 之 又 割
以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。 ”这段注文充分说明 了刘徽割圆术中的极限理念。
图2 刘徽的割圆术
图3 《九章算术》刘徽注中的割圆术 （设计意图：学生感受中国古代数学史上那些著名的思想 方法带来的独特魅力。 ） （四）古希腊的穷竭发与割圆术的比较。 让学生根据自己收集到的资料对两者进行比较， 比如发 生的时间，当时的背景，对后来数学发展的影响等。 （设计意图：本课时的主要特点决定了教学内容需要开拓 学生的思路。 ） （五）作业设计。 在全校进行一次关于“刘徽与圆周率”的调查，可以涉及 大家对刘徽的了解程度等方面的调查。 （设计意图：培养学生主动参与学习的兴趣，通过调查可 以在全校对中国古代数学家、数学成就进行一次很好的宣传， 让数学史中的数学家的故事渗透每一位学生的学习。 ） 《标准》指出：“数学教育作为教育的组成部分，在发展和 完善人的教育活动中、 在形成人们认识世界的态度和思想方 面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。 ”数学 不仅仅是一门工具学科， 在数学教学中我们更要重视它的其 他功能，我想这正是新课程体系中引入“数学史”等专题的重 要原因。
术的基本数学思想。 2.过 程 与 方 法 ：通 过 自 主 搜 集 “刘 徽 及 其 割 圆 术 ”的 相 关
资料、交流体验，培养收集信息、整合信息，提高质疑、理解的 能力。 在阅读理解过程中， 初步了解刘徽对圆周率计算的过 程，感受它对后世数学的发展起到的重要作用。
3.情 感 态 度 与 价 值 观 ：体 会 中 国 古 代 数 学 对 数 学 发 展 的 重要贡献，体验数学文化的魅力，提高学习数学的兴趣，加深 对数学的理解，感受数学家研究问题的严谨态度。