利息理论第一章

本课程以北美精算师协会考试课程2中利息理 论部分的内容为主要线条，对其中基础部分进 行了压缩，介绍利息的基本计算概念和方法， 以及年金计算基本工具函数，这些内容是进入 金融定量分析领域的基础。随后是金融计算和 分析中的常用的两大类方法：投资收益率分析 和现金流的本金利息分解过程。

从实务的角度看，金融学可以分为投资和融资 两大部分，在金融市场中，大多数参与者及其 进行的活动都可以归在这两类中。而其中尤以 投资学中的计算问题为多。本课程在引进基本 的现金流计算方法之后，对主要的投资工具： 固定收益产品（债券为主）的计算问题进行了 详细的介绍。
利息理论及其应用
福州大学管理学院财金系 陈志军
课程简介


金融领域的许多计算问题具有共同的数学特征 和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金 流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。 例如：银行的资产负债分析、融资成本和投资 收益分析、金融市场产品的定价和保险精算分 析等。 本课程的基本目的：掌握基本的金融计算的概 念和原则，同时对一些基础性的金融工具的进 行现金流价值分析。


利息理论是北美精算师协会（Society of Actuaries, SoA）的准精算师（Associate-ship） 资格考试中的经济金融课程的主要部分 。 北京大学金融系从1997-1998学年第一学期 （1997年秋季）开始，将课程“利息理论与应 用”作为金融系本科生的第一门专业基础课。

最后，用两章的篇幅介绍学生深入进行金融数学 学习的准备知识：利率风险分析和随机模型。利 率风险分析和管理是金融领域很重要的一个主题， 已有一些现成的工具和算法；随机模型在金融风 险分析，特别是衍生工具定价和套期保值技术中 成为基本和必不可少的一部分，本课程只是介绍 了最基本的工具和方法，希望对进入这个领域有 一定的帮助。
第一章 利息基本计算



1.1 利息基本函数 利息是借贷关系中借款人(borrower)为取得资 金使用权而支付给贷款人(lender)的报酬 从投资的角度看 ：利息是一定量的资本经过 一段时间的投资后产生的价值增值 例 在银行开立储蓄帐户 把平时积累下来的多 余钱存入银行 可视为投资一定数量的钱款以 产生投资收益— — 利息

上的实利率= 内总量函数 A(t )的变 化量与期初货币量的比 值 记为
单利 simple interest

在实际金融活动中 通常用到的两种计息方式 分别为单利和复利

相应单利的累积函数为时间的线性函数 常数的单利率并不意味着常数的实利率?

思考 :为什么在每一个时期中所获的利息金额 相等可实利率却越来越小呢 ? 当计算实利率i 时 是把第n 期开始时的资本总 额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资 额 之比,随着资本总额的不断增加 常数的利息 必将导致单调递减的实利率


例：若单利的年利率是5%，试计算2000元本 金(1)9个月后的累积值；（2）2年零3个月后 的累积值
复利 compound interest

问题的提出 单利情形下 在前面的各个时期所获得的利息 并没 有在后面的时期用来再获取额外的利息 ， 如果所获利息可继续投资情形如何 ？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
贴现 discount
累积函数(accumulationfunction)

本金(principal) ：初始投资的资本金额 累积值(accumulated value) ： 过一定时期后 收到的总金额 利息(interest)： 累积值与本金之间的金额差 值



假设在初始时刻 投资了1 个单位的本金 则在 时刻 t的累积值记为 a(t)，称为累积函数
累积函数和贴现函数：都可以用 利率表示，也可以用贴现率表示。
如果用利率计算累积值和现值有：
累积函数： 贴现函数： 如果用贴现率计算累积值和现值有： 累积函数：
贴现函数：

例：2000元本金按照6%的年名利率投资， 每年结转4次利息，试计算2年零6个月后的 累积值。

例：一张尚需6个月到期的票据，其面值为 2000元，如果按照6%的名贴现率贴现，每个 季度预收1次贴现值，试计算该票据的现值为 多少？

设借款人在时间t1,t2,t3,……,tn分别需要偿还 金额x1,x2,x3,…..,xn,如果他希望一次性支付 x1+x2+….+xn,还清贷款，应该在何时偿还最 佳？

例：一笔贷款，按原来的还款计划，第一年末 偿还2000元，第二年末偿还3000元，第四年 末偿还3000即可偿清，贷款年利率为5%，如 果借款人希望一次性支付8000元还清贷款，他 应该在何时偿还这笔贷款？
利率的计算公式
若利率已知 则可反求利息


这里定义的利率被称为实利率 (effective rate of interest)，注意与后面定义的名义利率 (nominal rate of interest)相区别 。 通常计息期为标准时间单位 如 年 季 月 等， 若无特别说明 实利率一般指年实利率



总量函数的计算可以借助于累积函数的计算 注 :从总量函数可得累积函数为 :


a(t)= A(t) / A(0)
利息 interest

将从投资之日算起的第 个时期内所获得的利 息金额记为 则有:

更一般的，记总量函数在时间段 额为 ， 则有 ：
内所获得的利息金
利率 (interest rate)

累积函数a(t)是关于时间的函数，满足： 1) a(0) = 1


2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增

一般的 利息被认为是连续产生的
例 考虑以下3类特殊的累积函数



常数系列 a(t) = 1 线性系列
a(t) = 1 + 2.5% x t 指数系列 t a(t) = (1 + 2.5%)
注 检查上面定义的函数满足累积函数的要求
总量函数 amount function


当原始投资不是1个单位的本金 而是P个单位 金额的本金时，则把P个单位金额本金的原始 投资在时刻t的累积值记为A(t) ,称为总量函数 总量函数A(t)具有如下的性质 : 1) A(0) = P 2) A(t) = P a(t)
利息力

年实际利率度量了资本一个年度内获取利息的 能力，年名利率度量了资本在不足一年的时间 区间内（如半年、一个季度，一个月）获取利 息的能力。如果我们希望掌握资本在任意一个 时点上获取利息的能力，就必须定义利息力。
用累积函数的相对变化率表示
贴现力

实际利率、实际贴现率、贴现因子和利息力之 间可以相互换算，只要知道其中的任何一个值， 就可以计算出其他三个值。


思考:假设两个储户分别在银行存入了1万元和 1千元的一年期定期储蓄，如果到期后银行都 付给他们同样的利息金额 20元，你认为合理 吗？ 假设所有的在期初投资的1个单位的本金都具 有着同样的产生利息的能力，则上述现象不合 理



为了表示单位货币价值的相对变化幅度，度量 利息的常用方法是计算所谓的“利率” 定义为： 利率等于一定的货币量在一段时间（计息期 measurement period ）内的变化量（利息 ） 与期初货币量的比值 。

例：假设单利的年利率为5%（1）如果希望在 9个月末获得2000元；（2）如果希望在2年零 3个月后获得2000元，试分别计算期初的本金 应该是多少？

例：假设复利的年利率是5%(1)如果希望在9个 月后获得2000元（2）如果希望在2年零3个月 后获得2000元，试分别计算期初的本金应该是 多少？


某人有一张一年后到期的100元的票据，由于 急需现金到银行去贴现。如果银行只付给他90 元，即预先扣除了10元的贴现值，那么银行的 贴现率是？银行在期初支出的90元，在期末可 以累积到100元，所以这90元所产生的利息是 10元，利率是？ 对同一笔业务，利息与贴现值在量上是相等的， 只不过利息是期末收取的，贴现值是在期初收 取的；利率是利息与期初本金的比率，而贴现 率是贴现值与期末累积值的比率。利率说明了 资本在期末获取利息的能力，贴现率说明了资 本在期初获得利息的能力。