粗糙集理论的基本概念
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我们用IND(K)={IND(P)| ≠P S}表示知识库K=(U,S)中所有等价关系， 他对于集合的交运算是封闭的。任意有限个P-基本范畴的并，称为P-范畴；知识 库K=(U,S)中所有的范畴称为K-范畴。
a
6
定义2.4（两个知识库的关系）设K1=(U,S1)和K2=(U,S2)为两个知识库，如果 IND(S1)=IND(S2)，即U/IND(S1)=U/IND(S2)，则称知识库K1与K2是等价的，记 为K1 K2或者S1 S2。因此当两个知识库有同样的基本范畴集时，这两个知识 库中的知识都能使我们确切的表达关于论域的完全相同的事实。这就意味着可
以用不同的属性集对论域的对象进行描述，以表达关于论域完全相同的知识。
如果IND(S1)IND(S2)，我们称知识库K1（知识S1）比知识库K1（知识S2）更精 细，或者说K2（知识S2）比K1（知识S1）更粗糙。当S1比S2更精细时，我们也 称S1为S2的转化，或S2为S1的泛化。泛化意味着将某些范畴组合在一起，而特化 则是将范畴分割成更小的概念。如果上述两种情形都不满足，则称两个知识库
方 形
x
，
2
x
6
；
三
角
形
x
，
3
x
，
4
x
，
7
x
8
。
按 体 积 分 类 ： 大
x
，
2
x
，
7
x
8
；
小
x1，
x
，
3
x
，
4
x
，
5
x
6
。
换 言 之 ， 三 个 属 性 定 义 了 三 个 等 价 关 系 ： 颜 色 R1,
形
状
R
，
2
体
积
R
，
3
通
过
这
些
等
价
关
系
，
可
以
得ຫໍສະໝຸດ Baidu
到
下
面
用集合表示的论域的不同划分。
因此，论域上的等价关系就代表着划 分和知识。这样，知识库就表示了论域上 的由等价关系（这里指属性特征及其有限 个的交）导出的各种各样的知识，即划分 或分类模式，同时代表了对论域的分类能 力，并隐含着知识库中概念之间存在的各 种关系。
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定义2.3（不可分辨关系（不分明关系）） 给定一个论域U和U上的一簇等价关系S， 若P S,且P≠，则P(P中所有等价关系的 交集）仍然是论域U上的一个等价关系， 称为∩P上的不可分辨关系，记为IND(P)， 也常简记为P。而且，
第2章 粗糙集理论的基本概念 2.1知识与知识库
人的分类能力是对事物的认识能力， 是一种知识。从认知科学的观点来理解知 识，知识可以被理解为对事物的分类能力 及知识的分类能力可用知识系统的集合表 达形式来描述。知识在不同的范畴中有许 不同的含义。粗糙集理论认为，知识直接 与真实或抽象世界的不同分类模式联系在 一起。知识被看作是关于论域的划分，是 一种对对象进行分类的能力。
a
1
定义1.1（知识和概念（范畴或信息粒）） 设U是给定研究对象的非空有限集合，称为 一个论域。论域U的任何一个子集X U， 称为论域U的一个概念或范畴。论域U的一 个划分{X1, X2,…, Xn}（概念簇）称为关于 U的抽象知识，简称知识。为了规范化，我 们认为空集也是一个概念，称为空概念。
在粗糙集理论中，主要讨论的是那些能 够在论域U上形成划分或覆盖的知识。
x U ,[ x ] I N D ( P ) [ x ] P I[ x ] R ( 2 .1 ) R P
a
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这样，U/IND(P)= { [x]IND(P) | xU} 表示与等价关系IND(P)相关的知识， 称为知识库K=(U,S)中关于论域U的P-基本知识（P-基本集)。在不可能产生混淆 的情况下，即P,U和K都明确时，为了简便，我们可用P代替IND(P)。用U/P代替 U/IND(P)，IND(P)的等价类也称为知识P的基本概念或基本范畴。事实上，P基本 范畴拥有知识P的论域的基本特征，换句话说，他们是知识的基本模块。特别地， 如果QS,则称Q是关于论域U的Q-初等知识，Q的等价类为知识S的Q初等概念或 初等范畴。
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U / R1 { { x1 , x3 , x7 }，{ x2 , x4 }，{ x5 , x6 , x8 } }。 U / R2 { { x1 , x5 }，{ x2 , x6 }，{ x3 , x4 , x7 , x8} }。 U / R3 { { x2 , x7 , x8 }，{ x1 , x3 , x4 , x5 , x6 } }。 这 些 等 价 类 构 成 知 识 库 K (U ,{R1 , R2 , R3}) 中 的 初 等 概 念 (初 等 范 畴 )。
R产生的分类，称为关于U的一个知识。
通常情形下，我们在问题求解的过程中，
处理的不是论域U上的单一划分（知识或分
类），而是论域U上的一簇划分，这导致了
知识库的概念。
a
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定义1.2（知识库) U为给定的一个论域，S 是U上的一簇等价关系，称二元组K= （U,S）是关于论域U上的一个知识库或近 似空间。
a
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表2.1积木的信息表
U(积木)
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
R1 (颜色） R2（形状) R3（体积）
红
圆形
小
蓝
方形
大
红
三角形
小
蓝
三角形
小
黄
圆形
小
黄
方形
小
红
三角形
大
黄
三角形
大
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解 ： 按 颜 色 分 类 ： 红
x1，
x
，
3
x
7
;
蓝
x
，
2
x
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；
黄
x
，
5
x
，
6
x
8
。
按 形 状 分 类 ： 圆 形 x1， x5 ；
不能比较粗细。
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例2.1给定一玩具积木的论域,U x1, x2 ,..., x8
并 假 设 这 些 积 木 有 不 同 的 颜 色 (红 、 黄 、 蓝 ） ， 形状（方形、圆形、三角形），体积（小、大）， 见 表 2.1.因 此 ， 这 些 积 木 都 可 以 用 颜 色 、 形 状 、 体积这些知识来描述，例如一块积木可以是红色、 小而圆的，或黄色、大而方的等。如果我们根据 某一属性描述这些积木的情形，就可以按颜色、 形状或体积分来。
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2
我们知道U的划分{X1, X2,…, Xn}与U上
的等价关系R一一对应，即给定U的一个划
分{X1, X2,…, Xn}等同于给定U上的一个等
价关系R，从数学的角度讲，关系的表示和
处理比分类的表示和处理简单得多，因此，
我们通常用等价关系或关系来表示分类及知
识。因此知识也可以定义为，设R是U上的
一个等价关系，U/R ={X1, X2,…, Xn} 表示
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定义2.4（两个知识库的关系）设K1=(U,S1)和K2=(U,S2)为两个知识库，如果 IND(S1)=IND(S2)，即U/IND(S1)=U/IND(S2)，则称知识库K1与K2是等价的，记 为K1 K2或者S1 S2。因此当两个知识库有同样的基本范畴集时，这两个知识 库中的知识都能使我们确切的表达关于论域的完全相同的事实。这就意味着可
以用不同的属性集对论域的对象进行描述，以表达关于论域完全相同的知识。
如果IND(S1)IND(S2)，我们称知识库K1（知识S1）比知识库K1（知识S2）更精 细，或者说K2（知识S2）比K1（知识S1）更粗糙。当S1比S2更精细时，我们也 称S1为S2的转化，或S2为S1的泛化。泛化意味着将某些范畴组合在一起，而特化 则是将范畴分割成更小的概念。如果上述两种情形都不满足，则称两个知识库
方 形
x
，
2
x
6
；
三
角
形
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，
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按 体 积 分 类 ： 大
x
，
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小
x1，
x
，
3
x
，
4
x
，
5
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换 言 之 ， 三 个 属 性 定 义 了 三 个 等 价 关 系 ： 颜 色 R1,
形
状
R
，
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体
积
R
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通
过
这
些
等
价
关
系
，
可
以
得ຫໍສະໝຸດ Baidu
到
下
面
用集合表示的论域的不同划分。
因此，论域上的等价关系就代表着划 分和知识。这样，知识库就表示了论域上 的由等价关系（这里指属性特征及其有限 个的交）导出的各种各样的知识，即划分 或分类模式，同时代表了对论域的分类能 力，并隐含着知识库中概念之间存在的各 种关系。
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定义2.3（不可分辨关系（不分明关系）） 给定一个论域U和U上的一簇等价关系S， 若P S,且P≠，则P(P中所有等价关系的 交集）仍然是论域U上的一个等价关系， 称为∩P上的不可分辨关系，记为IND(P)， 也常简记为P。而且，
第2章 粗糙集理论的基本概念 2.1知识与知识库
人的分类能力是对事物的认识能力， 是一种知识。从认知科学的观点来理解知 识，知识可以被理解为对事物的分类能力 及知识的分类能力可用知识系统的集合表 达形式来描述。知识在不同的范畴中有许 不同的含义。粗糙集理论认为，知识直接 与真实或抽象世界的不同分类模式联系在 一起。知识被看作是关于论域的划分，是 一种对对象进行分类的能力。
a
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定义1.1（知识和概念（范畴或信息粒）） 设U是给定研究对象的非空有限集合，称为 一个论域。论域U的任何一个子集X U， 称为论域U的一个概念或范畴。论域U的一 个划分{X1, X2,…, Xn}（概念簇）称为关于 U的抽象知识，简称知识。为了规范化，我 们认为空集也是一个概念，称为空概念。
在粗糙集理论中，主要讨论的是那些能 够在论域U上形成划分或覆盖的知识。
x U ,[ x ] I N D ( P ) [ x ] P I[ x ] R ( 2 .1 ) R P
a
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这样，U/IND(P)= { [x]IND(P) | xU} 表示与等价关系IND(P)相关的知识， 称为知识库K=(U,S)中关于论域U的P-基本知识（P-基本集)。在不可能产生混淆 的情况下，即P,U和K都明确时，为了简便，我们可用P代替IND(P)。用U/P代替 U/IND(P)，IND(P)的等价类也称为知识P的基本概念或基本范畴。事实上，P基本 范畴拥有知识P的论域的基本特征，换句话说，他们是知识的基本模块。特别地， 如果QS,则称Q是关于论域U的Q-初等知识，Q的等价类为知识S的Q初等概念或 初等范畴。
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U / R1 { { x1 , x3 , x7 }，{ x2 , x4 }，{ x5 , x6 , x8 } }。 U / R2 { { x1 , x5 }，{ x2 , x6 }，{ x3 , x4 , x7 , x8} }。 U / R3 { { x2 , x7 , x8 }，{ x1 , x3 , x4 , x5 , x6 } }。 这 些 等 价 类 构 成 知 识 库 K (U ,{R1 , R2 , R3}) 中 的 初 等 概 念 (初 等 范 畴 )。
R产生的分类，称为关于U的一个知识。
通常情形下，我们在问题求解的过程中，
处理的不是论域U上的单一划分（知识或分
类），而是论域U上的一簇划分，这导致了
知识库的概念。
a
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定义1.2（知识库) U为给定的一个论域，S 是U上的一簇等价关系，称二元组K= （U,S）是关于论域U上的一个知识库或近 似空间。
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表2.1积木的信息表
U(积木)
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
R1 (颜色） R2（形状) R3（体积）
红
圆形
小
蓝
方形
大
红
三角形
小
蓝
三角形
小
黄
圆形
小
黄
方形
小
红
三角形
大
黄
三角形
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解 ： 按 颜 色 分 类 ： 红
x1，
x
，
3
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;
蓝
x
，
2
x
4
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黄
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，
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按 形 状 分 类 ： 圆 形 x1， x5 ；
不能比较粗细。
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例2.1给定一玩具积木的论域,U x1, x2 ,..., x8
并 假 设 这 些 积 木 有 不 同 的 颜 色 (红 、 黄 、 蓝 ） ， 形状（方形、圆形、三角形），体积（小、大）， 见 表 2.1.因 此 ， 这 些 积 木 都 可 以 用 颜 色 、 形 状 、 体积这些知识来描述，例如一块积木可以是红色、 小而圆的，或黄色、大而方的等。如果我们根据 某一属性描述这些积木的情形，就可以按颜色、 形状或体积分来。
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我们知道U的划分{X1, X2,…, Xn}与U上
的等价关系R一一对应，即给定U的一个划
分{X1, X2,…, Xn}等同于给定U上的一个等
价关系R，从数学的角度讲，关系的表示和
处理比分类的表示和处理简单得多，因此，
我们通常用等价关系或关系来表示分类及知
识。因此知识也可以定义为，设R是U上的
一个等价关系，U/R ={X1, X2,…, Xn} 表示