天津第二届-未来之星-初中数学邀请赛

天津第二届-未来之星-初中数学

一、选择题

1． 若自然数a 、b 、c 满足a>b ，且a+b=18，c-b=2，则b+c 的最大值为（ ）。

（A ）16 （B ）18 （C ）19 （D ）20

2．将下列四张正方形硬纸片分别剪去阴影部分后，再沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（ ）。

3．甲、乙两人骑自行车同时在早晨7点从A 地出发，沿同一路线匀速行进前往B 地，A 地与B 地相距24千米。甲每行进4千米停下来休息5分钟，乙以甲75%的速度每行进6千米停下来休息3分钟，结果两人同时到达B 地。此时应是上午（ ）。

（A ）8:04 （B ）8:13 （C ）8:24 （D ）8:34

4.在等腰Rt ABC 中，=90C ∠ ，E 为ABC 内一点，=1EA ，EB =2

EC 。则AEB ∠的大小为（ ）。

（A ）90 （B ）120 （C ）135 （D ）150

5．如图1，在ABC 中，AD 、BE 、CF 为三条中线，则图中三角形的个数为（ ）。

（A ）47 （B ）46 （C ）44 （D ）40

二、填空题

6.已知k 、b 均为常数，反比例函数y k x

=的图像与一次函数y x b =+的图像交于A 、B 两点，与直线OA （O 为原点）交于点C （C 异于点A ）。若点(1,2)A ，则ABC 的面积为 。

7.同时抛掷两枚质地均匀的色子，朝上的两个面的点数之和能被3整除的概率为 。

8.如图2，PA PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 交于点D ，且4PB =，3PD =。则AD DC 的值为 。

9.若关于x 的不等式3x a x +≥-的解集中包含了x a ≥，则实数a 的取值范围是 。

10.如图3，已知99⨯的正方形网格中有100个顶点，在该网格所在的平面上画n 条不过这些顶点的直线，将平面分成若干个区域。若每个区域中最多有一个顶点，则正整数n 的最小值为 。

三、解答题

11.已知二次函数2

y ax bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，其顶点为C 。

（1）若ABC 为直角三角形，求24b ac -的值。 （2）设二次函数22

-(2m+2)53y x x m m =+++的图像与x 轴交于E 、F 两点，与一次函数3-1y x =的图像交于两点，其中纵坐标较小的点记为点G 。

1）用含有m 的式子表示点G 的坐标；

2）若EFG 为直角三角形，求m 的值。

12.如图4，将矩形纸片ABCD 的四个角向内折叠，EF ，FG ，GH ，HE 为折痕，折叠后，点A 、D 落在EG 上点P 的位置，点B 、C 落在EG 上点Q 的位置。

（1）若3EH =，4EF =，求EG 的长；

（2）若12EH EF =,求AB BC

的值。

13.已知非等腰的锐角ABC 的垂心为H ，边BC 的中点为M ，AH 的延长线与ABC 的外接圆O 交于点D ，联结OM 。

（1）如图5，证明：1=

2

OM AH ； （2）联结AO 并延长，与HM 的延长线交于点E ，过点E 且垂直于BC 的直线上有一点F ，若D 、M 、F 三点共线，证明：=MH NF 。

14.若四个素数1p 、2p 、3p 、4p 满足123p p p p <<<，12233441882p p p p p p p p +++=， 求这四个素数的值。