正交矩阵及其性质培训课件
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正交矩阵及其性质
{AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此 cos AX , AY ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos X ,Y ,
| AX || AY | | X || Y |
•
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 7时42 分29秒0 7:42:29 20.12.1 3
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 7时42 分20.12. 1307:4 2December 13, 2020
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 307:42: 2907:4 2Dec-20 13-Dec-20
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 07:42:2 907:42: 2907:4 2Sunda y, December 13, 2020
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1307:4 2:2907: 42:29D ecembe r 13, 2020
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2020/12/13
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。07:4 2:2907: 42:2907 :4212/ 13/2020 7:42:29 AM
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此 cos AX , AY ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos X ,Y ,
| AX || AY | | X || Y |
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 7时42 分29秒0 7:42:29 20.12.1 3
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 7时42 分20.12. 1307:4 2December 13, 2020
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 307:42: 2907:4 2Dec-20 13-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 07:42:2 907:42: 2907:4 2Sunda y, December 13, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1307:4 2:2907: 42:29D ecembe r 13, 2020
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2020/12/13
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。07:4 2:2907: 42:2907 :4212/ 13/2020 7:42:29 AM
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
正交矩阵的性质
A必以－1为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与n的奇偶性
相同。
③ 若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。
第15页/共18页
6 问题
① 证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个
特征值。
② 证明第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值。
③ 设A是3 3正 交阵且
A 证明1 A的特征多项式为
A Rnn
则 A是正交变换
A为正交矩阵
第6页/共18页
4 n维欧氏空间
Vn的(正R)交变换的分类
① A为第一类的(旋转)，若
； A 1
② A为第二类的，若
A。 1
第7页/共18页
5 A为n维欧氏空间
V的n线(R性)变换，
1为,一2 ,组, n
标准正交基，且 A
(1, 2 ,, n ) (1, 2，,, n ) A A Rnn
三、正交矩阵的特征根
1 在不同的教材上曾出现下面的命题 ①正交变换的特征根为1或－1； ②正交矩阵的实特征根为1或－1； ③正交矩阵的特征根的模等于1。
第9页/共18页
③的证明： 设 为 x维非零n 复向量， 为复数， 且 Ax x, C, x( 0) C n
对（1）两边取共轭转置
Ax ' ( A x) x' A (x)' ' x'
ai0 j ? ji0 ? j i
④ 元素 a与ij 其余子式
，代M数ij余子式
Aij
的关系如何？
第3页/共18页
二、有限维欧氏空间里的正交矩阵
1 矩阵 A R，n则n
A为正交矩 阵
A的行（列）向量组是 n 维行（列）向量
正交矩阵及其性质
3 2018/1/4
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵. 证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也 是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基, (iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵. 4
a1Ta n T a2 an
T an an
因此ATA=I的充分必要条件是 a iTa i (a i ,a i ) 1, i 1,2, , n;
且 a iTa j (a i ,a j ) 0,
n
j i, i, j 1,2, , n.
即A的向量组 {a1 ,a 2 , ,a n } 为R 的一组标准正交基 . 此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
4.3 正交矩阵及其性质
1 2018/1/4
定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I, 就 称A为正交矩阵.(A-1=AT ) 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设
a11 a21 A an1
a12 a22
an 2
2018/1/4
定理
方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
推论1
A是正交矩阵
A A
T
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵. 证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也 是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基, (iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵. 4
a1Ta n T a2 an
T an an
因此ATA=I的充分必要条件是 a iTa i (a i ,a i ) 1, i 1,2, , n;
且 a iTa j (a i ,a j ) 0,
n
j i, i, j 1,2, , n.
即A的向量组 {a1 ,a 2 , ,a n } 为R 的一组标准正交基 . 此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
4.3 正交矩阵及其性质
1 2018/1/4
定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I, 就 称A为正交矩阵.(A-1=AT ) 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设
a11 a21 A an1
a12 a22
an 2
2018/1/4
定理
方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
推论1
A是正交矩阵
A A
T
4.3正交矩阵
其基础解系为
1 1 2 1 , 3 0 0 1
令
P 1 2
1 1 1 3 1 1 0 1 0 1
则
6 4 1 1 1 1 A PP P 3 P 1 4 1 1 1 4 3
2 i iT aii 1, i 1,2,, n,
即 aii 1,
i 1,2,, n,
2 实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的特征值全是实数
实对称矩阵不同特征值所对应的实特征向量
正交
对于 n 阶实对称矩阵 A , 存在正交矩阵 Q s.t.
Q AQ Q AQ
AT A1 A*
即 aij Aij
i, j 1,2,, n(n 3) A 是正交矩阵, 且 | A | 1 (| A | 1)
即
n ( n > 2) 阶矩阵 A 是 行列式为 1 ( - 1) 的 正交矩阵
A 是非零实矩阵, 且
aij Aij , (aij Aij ) i, j 1,2,, n(n 3)
对 1 2 3 3, (3E A) X 0 的基础解系 为 1 1 1 1 , 0 , 0 0 1 0 0 0 1
正交化单位化得
1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 2 0 6 2 2 3 1 0 0 3 对 4 5, (5E A) X 0 的基础解系经
T T T 1 1 1 2 1 n T T T 21 2 2 2 n
1 1 2 1 , 3 0 0 1
令
P 1 2
1 1 1 3 1 1 0 1 0 1
则
6 4 1 1 1 1 A PP P 3 P 1 4 1 1 1 4 3
2 i iT aii 1, i 1,2,, n,
即 aii 1,
i 1,2,, n,
2 实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的特征值全是实数
实对称矩阵不同特征值所对应的实特征向量
正交
对于 n 阶实对称矩阵 A , 存在正交矩阵 Q s.t.
Q AQ Q AQ
AT A1 A*
即 aij Aij
i, j 1,2,, n(n 3) A 是正交矩阵, 且 | A | 1 (| A | 1)
即
n ( n > 2) 阶矩阵 A 是 行列式为 1 ( - 1) 的 正交矩阵
A 是非零实矩阵, 且
aij Aij , (aij Aij ) i, j 1,2,, n(n 3)
对 1 2 3 3, (3E A) X 0 的基础解系 为 1 1 1 1 , 0 , 0 0 1 0 0 0 1
正交化单位化得
1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 2 0 6 2 2 3 1 0 0 3 对 4 5, (5E A) X 0 的基础解系经
T T T 1 1 1 2 1 n T T T 21 2 2 2 n
正交矩阵
a11 a21
an1
a12 a22 an2
a1n a2n
a11 a12
ann
a1n
a21 a22 a2n
an1 an2
ann
1 0
0
0 1 0
0 0
1
ai12 ai22 ain2 1(i 1,2, , n)
ai1a j1 ai2a j2 ain a jn 0 (i j)
…
2
1
2
2
2
n
……………
… n1
n
2
n
n
0 0
1 0
0
0 1
E
故A是正交矩阵
【例(补)】设A为n阶方阵，n为奇数，且A为 正交阵，A 1。证明：E-A不可逆
证明：因为A为正交阵，有 AA E
E A AA A (A E)A
(A E) A (A E)
(A E) A E (1)(E A) (1)n E A EA 2 E A 0 ,即E A 0 所以，E-A不可逆
问x为何值时,A为正交矩阵
解：要使A为正交矩阵，必须 A 1
2x 0
0
A 0
0
cos 123
sin 123
sin 123
cos 123
2xcos2 sin2 2x
123
123
x1 2
2x
A 0
0
0 cos
123 sin
123
0
sin
123
cos 123
即要证：
i , j
0
1
i j i j
由 1 2 n 1 2 n E
即 1 2 n 1 2 n
第六章正交矩阵
1 2 T T 1 , 2 ,, T n E n T T 1 T 1 12 1n T T T 2 1 2 2 2 n E T T T n 1 n2 nn 1, 当 i j; T i , j 1,2,, n i j ij 0, 当i j
解 （ 1）
考察矩阵的第一列和第二列， 由于
1 1 1 1 1 1 0, 3 2 2 2
所以它不是正交矩阵．
由于
1 9 2 8 9 4 9
8 9 1 9 4 9
8 9 1 9 4 9
四、正交矩阵与正交变换
1 T 若 n 阶方阵 A 满足 A E 即 A AT , 则 A 定义 称A为 正交矩阵 .
定理5
设A, B皆是n阶正交矩阵, 则
1 A 1或 1
2A1 AT
. 3AT 即A1 也是正交矩阵 . 4AB也是正交矩阵
定理6 A为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行)向量 都是单位向量且两两正交． 证明 A AT E a11 a12 a1n a11 a 21 a n1 a 21 a 22 a 2 n a12 a 22 a n 2 E a a a a a a n1 n 2 nn 1 n 2n nn
4 9 4 9 7 9
1 9 8 9 4 9
4 9 4 9 7 9
1 9 8 9 4 9
8 9 1 9 4 9
4 9 1 4 0 9 0 7 9
第四章2正交矩阵
1 1 n n
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
正交化及正交矩阵课件PPT教学
经过若干次后我们就可以得到v的一组标准正交基schmidt道德是人类社会的一种重要意识形态是人们在社会生活实践中形成的并由经济基础决定以善恶为评价形式依靠社会舆论传统习俗和内心信念1535它的基础解系为道德是人类社会的一种重要意识形态是人们在社会生活实践中形成的并由经济基础决定以善恶为评价形式依靠社会舆论传统习俗和内心信念把基础解系正交化即合所求
1. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。
2. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个列向量构成了Rn的一个标准 正交基.
3. 若A是一个正交矩阵，则|A|2 = 1
第18页/共21页
定义: 若A是一个正交矩阵，则称线性变换Y=AX为正交变换。
正交变换有如下性质：设Y1=AX1, Y2 = AX2 1. <Y1, Y2> = <X1, X2> 2. || Y1|| = || X1|| 3. Y1与Y2之间的夹角等于X1与X2之间的夹角
证明： 设是在向量空间V中的正交投影向量，则对于V中的任何一个向 量，只要 ，就有：
|| - ||2 = ||( - ) + ( - )||2
= || - ||2 + || - ||2
第17页/共21页
> || - ||2.
即：|| - || < || - ||
证毕
三. 正交方阵及其性质
定义：设A是一个n阶方阵，若ATA = En则称A为一个n阶正交矩阵。
2
2 2
1
1
2
2,1
1
3
取 3 3 [ 3 ,1 1 3 ,2 2 ] 2
Hale Waihona Puke 32 k 13,k k 2
1. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。
2. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个列向量构成了Rn的一个标准 正交基.
3. 若A是一个正交矩阵，则|A|2 = 1
第18页/共21页
定义: 若A是一个正交矩阵，则称线性变换Y=AX为正交变换。
正交变换有如下性质：设Y1=AX1, Y2 = AX2 1. <Y1, Y2> = <X1, X2> 2. || Y1|| = || X1|| 3. Y1与Y2之间的夹角等于X1与X2之间的夹角
证明： 设是在向量空间V中的正交投影向量，则对于V中的任何一个向 量，只要 ，就有：
|| - ||2 = ||( - ) + ( - )||2
= || - ||2 + || - ||2
第17页/共21页
> || - ||2.
即：|| - || < || - ||
证毕
三. 正交方阵及其性质
定义：设A是一个n阶方阵，若ATA = En则称A为一个n阶正交矩阵。
2
2 2
1
1
2
2,1
1
3
取 3 3 [ 3 ,1 1 3 ,2 2 ] 2
Hale Waihona Puke 32 k 13,k k 2
线性代数课件-正交矩阵
，b2，b3
且b 1
，b2，b3与a1
,
a2，a3等价.
令 3 3 k11 k22 , 为使
1, 3 2, 3 0 , 则 可推出
k1
3 , 1,
1 1
,
k2
3 , 2 ,
2 2
,
于是
3
3
3 , 1,
1 1
1
3 , 2 ,
2 2
2
,
1, 2 , 3 是与1, 2 , 3 等价的正交向量组 .
１ 正交的概念 当 ( x, y) 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 为正交矩阵 .
2. 性质 1 A1 AT,
2 A 1 ,
3 AT , A1, AB也是正交方阵
4 A 为正交矩阵 A的行列向量组
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0,
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
如：a1 1，0，0，a2 0，1，0，a3 0，0，1
b1 1，0，0，b2 1，1，0，b3 1，1，1
4_3正交矩阵
第3节 正交矩阵
内积的定义(复习 内积的定义 复习) 复习 定义1 设α=(a1, a2, , an )T与β=(b1, b2, , bn )T是两个n维向量, 定义 是两个 维向量, 维向量 则实数 n
∑ab = a b + a b
i =1 i i 1 1
2 2
+ ... + anbn ,
的内积,记为( 称为向量α和β的内积,记为 α , β ). 或αΤβ . . 例如, 例如,设α=(1, 1, 0, 2)T,β=(2, 0, 1, 3)T , 则α和β 的内积为 (α , β ) = (1)×2+1×0+0×(1)+2×3 =4 . × + × + × + × 内积的性质(复习 内积的性质 复习) 复习 维向量, 为常数 为常数. 设α,β,γ 都为 n维向量,k为常数 维向量 (1) ( α,β ) =(β,α ) ; (2) (kα,β ) = k ( α,β ) ; (3) (α+β,γ ) = ( α,γ ) + ( β, γ ) ; (4) ( α,α ) ≥0,当且仅当α=o时,有( α,α ) =0 . , 时
《线性代数》
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结束
正交向量组(复习 正交向量组 复习) 复习 定义4 都为n维为向量, 维为向量 )=0, 定义 设向量α,β都为 维为向量,若(α ,β )= ,则称向量
α与β互相正交 垂直). 互相正交(垂直 正交 垂直
定义5 如果m个非零向量组 , 两两正交, 定义 如果 个非零向量组 α1,α2,,αm 两两正交,即 (αi ,αj )=0(i≠j), 则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组 = ≠ 则称该向量组为正交向量组. 正交向量组
内积的定义(复习 内积的定义 复习) 复习 定义1 设α=(a1, a2, , an )T与β=(b1, b2, , bn )T是两个n维向量, 定义 是两个 维向量, 维向量 则实数 n
∑ab = a b + a b
i =1 i i 1 1
2 2
+ ... + anbn ,
的内积,记为( 称为向量α和β的内积,记为 α , β ). 或αΤβ . . 例如, 例如,设α=(1, 1, 0, 2)T,β=(2, 0, 1, 3)T , 则α和β 的内积为 (α , β ) = (1)×2+1×0+0×(1)+2×3 =4 . × + × + × + × 内积的性质(复习 内积的性质 复习) 复习 维向量, 为常数 为常数. 设α,β,γ 都为 n维向量,k为常数 维向量 (1) ( α,β ) =(β,α ) ; (2) (kα,β ) = k ( α,β ) ; (3) (α+β,γ ) = ( α,γ ) + ( β, γ ) ; (4) ( α,α ) ≥0,当且仅当α=o时,有( α,α ) =0 . , 时
《线性代数》
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结束
正交向量组(复习 正交向量组 复习) 复习 定义4 都为n维为向量, 维为向量 )=0, 定义 设向量α,β都为 维为向量,若(α ,β )= ,则称向量
α与β互相正交 垂直). 互相正交(垂直 正交 垂直
定义5 如果m个非零向量组 , 两两正交, 定义 如果 个非零向量组 α1,α2,,αm 两两正交,即 (αi ,αj )=0(i≠j), 则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组 = ≠ 则称该向量组为正交向量组. 正交向量组
线性代数——正交矩阵PPT课件
是 R3 的一组基，
1
0
1
将其化为标准正交基. 解答见书上187页例4。
第9页/共11页
例5 设 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 ,2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
2°特点: 设 1 ,2 , ,n 是 Rn 的一组标准正交基,
设 (12 n ), 则
Байду номын сангаас
T
1T 2T
1 2
nT
n
1T1 2T1
1T2 2T2
第1页/n共T111页 nT2
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 , ,n 与 1 ,2 , ,n 是 Rn 的两组标准
k
则 1, 2 , , s 是与1 ,2 ,
的向量组.
i 2, 3, , s
, s等价且两两正交
第8页/共11页
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0
例4
已知1
0
,
2
1
,
3
1
故
QTQ E.
第2页/共11页
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵. 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵 Q1 QT ;
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E, 则Q 为正交矩阵.
线性代数-正交矩阵
如果e1,e2, ,er两两正交，且都是单位向量，则称e1,e2, ,er是V
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
线性代数——正交矩阵
将其化为标准正交基.
解答见书上187页例4。
4 , , , R 1 2 3 4 例5 设 是 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 , 2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
小结：设 (1 2
n ) (1 2
n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交 矩阵. 2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基. 3°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基 .
例1 设 1 ,2 ,3 是 R 3 的一组标准正交基, 证明
三、正交矩阵及其性质
T 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 Q Q E , 则 称 Q 为正交矩阵. 1 T Q Q ; 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E , 则Q 为正交矩阵. (2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1 也是正交矩阵 ;
则
即 Q 为正交矩阵, 且 所以 1 , 2 , 3 是一组标准正交基 .
QQT E ,
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； 答：(4)不正确。 (4) A+B 为正交矩阵。
1 2 2 3 3 3 2 2 1 例3 设 P , 设三维向量的长度 3 3 3 1 2 2 3 3 3 || ||＝8, 则|| P ||＝？
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QT Q E .
11第4章2正交矩阵
得特征值
1 2 1, 3 10
14
（２）求特征向量 对于 1 2 1,
1 由 I A 2 2 得一个基础解系
解方程组 I A X 0
2 1 2 2 4 4 0 0 0 0 0 0 4 4 T T 1 2,1, 0 , 2 2, 0,1 2
对于
3 8
得到特征向量
3 （2， 1， 2）
1 1，
取 3
1 1 0.5 [2，1 ] 1 2 2 1 2 0 2 [ 1，1 ] 0 2 1 0.5
I A x 0
4 2 4 x1 0 2 1 2 x2 0 4 2 4 x 0 3
，2 （， 1 0， 1 ） （， 1 2， 0） 得到两个线性无关的特征向量 1
2 问A能否对角化？请说明理由。
解
因 是矩阵A的特征向量，故存在数，使得A ，
2 1 2 1 1 即 5 a 3 1 1 , 1 b 2 1 1 1 得 2 a , 1 b
0 0 1 0 0 1
定义4.6 如果一个方阵P满足 则称矩阵P为正交矩阵。
PT P I （或 PPT I ），
2
例1 证明
6 2 3 1 是正交矩阵。 验证矩阵 A 3 6 2 7 2 3 6 因为 6 2 3 6 3 2 1 1 T AA 3 6 2 2 6 3 7 7 2 3 6 3 2 6 49 0 0 1 0 49 0 I 49 0 0 49
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y1
a11x1 L LLL
a1n xn
ym am1x1 L amn xn
n
或 yi aij xj i 1,L , m. j 1
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
7 2020/3/17
也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩 阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积 与长度及向量间的夹角都保持不变, 即
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
(iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵.
4 2020/3/17
定理 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。
推论1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2020/3/17
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
3 2020/3/17
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵.
证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也
A是正交矩阵 AT A-1
AT 是正交矩阵
c
c
方阵A的列向量构成 标准正交组
方阵A的行向量构成 标准正交组
5 2020/3/17
例 现有标准正交组
a1
(1 3
,
2 3
,
2) 3
a2 (0,
1 ,2
1) 2
a 求三维向量 使得矩阵 (a1,a2 ,a ) 为正交矩阵
解 a (x, y, z)T a1,a2 ,a 是标准正交组
a
aT
n1
a nTa 2
L
anTan
因此ATA=I的充分必要条件是
aiTai (ai ,ai ) 1, i 1,2, , n; 且 aiTa j (ai ,a j ) 0, j i, i, j 1,2, , n.
即A的向量组{a1,a2, ,an}
为Rn的一组标准正交基.
a1a 0 a2a 0
a 1
1 3
(x
2
y
2
z)
0
1 (y - z) 0
2
x2 y2 z2 1
xm 4 yz 1
Hale Waihona Puke 1818a (- 4 , 1 , 1 )T
18 18 18
6 2020/3/17
定义 若A为正交矩阵，则线性变换 Y AX
4.3 正交矩阵及其性质
1 2020/3/17
定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I,
就
称A为正交矩阵.(A-1=AT )
定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A
的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.
证设
a11 a12 L a1n
A
a21 M
a22 M
L O
aM2n
(AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|,
{AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此
cos AX , AY ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos X ,Y , | AX || AY | | X || Y |
an1 an2 L ann
按列分块为[a1,a2,...,an],
2 2020/3/17
于是
AT
A
aa12TT
M
a1,a2 ,L
,an
aa12TTaa11
M
a1Ta 2 a 2Ta 2
M
L L O
a1Ta a2Ta
n n
M
a
T n