数学建模优化问题

木材储运经营计划
摘要
本文针对某一木材储运公司在冬、春、夏、秋四季内进货价、出货价、储存费用、库存空间及最大销售量等预计数据进行分析，制定一个各季节的进货量和出货量计划使该公司的经营利润达到最大，可以把该问题归于将其归为求解利润最大化问题进行建模。

由于利润只直接与中间差价和销售量有关，并根据题目已知的预测量，建立一个木材储运最大利润模型，并通过运行LINGO软件编程来求解冬、春、夏、秋四季总最大利润为：5160万元。

上述木材储运最大利润模型: 是指冬、春、夏、秋前面的季节储存木材量可以在后面的季节卖，由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完，反过来，后面季节的储存木材量元素不能放在前面的季节卖，因此可以把一个季节卖哪几个季节进的木材当成几个，建立一个横轴的元素和代表当前季节的木材销售量，竖轴的元素和该季节应该购进的木材量含十六个元素的二维数组，通过运用LINGO软件编程可以得到这个数组元素为：
通过简单的基本运算可以知道每个季节进货量和出货量既为该木材储运公司这年的大体经营计划。

关键词：LINGO 木材储运最大利润数组元素
一．问题重述
一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。

由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后。

已知该公司仓库的最大储存量为20万m3，储存费用为()
a+元/m3，式中7
bu
b=，u为储存时间（季
a=，10
度数）。

已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示：
表1.
根据上述条件建立一个模型制定一个该公司每个季节进木材量和销售木材量的大体经营计划，使这个公司获得最大的利润。

二．问题的简要分析
对于本文涉及到的问题，建立一个横方向的元素和代表当前季节的木材销售量，竖方向的元素和该季节应该购进的木材量含十六个元素的二维数组，由于冬、春、夏、秋前面的季节储存木材量可以在后面的季节卖，因此真正未知元素只有十个，而且这十个未知数的类型相同，更容易理解，如下：
表2.
由于假设的未知数都是销售量，因此在秋季末公司的仓库不存在储存的木材量，每个季度的进货量除了在本季度销售木材的量外，剩下的都是储存量，只要小于公司仓库的最大储存量，因此在约束条件考虑到即可。

然而市场上对该公司的需求是有限的，因此每个季度的销售量是有限，因此再在约束条件增加对每个季度的销售量的限制，然后通过数学软件编程求解即可。

三．模型的假设
1）假设公司预计销售量在各个季度几乎符合现实且预计销售量是是最大销售量；
2）假设各个季度木材的单位量的实际进价和销售价与预测价几乎符合；
3）假设每个月的库存量在该时期内的产品的单位量库存费用不变；
4）假设在该时期内储存费用大约不变；
5）假设人力财力等消耗的费用不在该问题中考虑；
6）假设公司在采购木材的过程中不出现供不应求现象； 7）假设木材在仓库储存的过程中是无意外的。

四．符号说明
ij Q 表示第i 个季度进的木材在j 个季度销售的木材量（i ，j=1,2,3,4；表示冬、春、夏、秋四个季节）；
i P 表示第i 个季度买进每立方米木材的价格； 'i P 表示第i 个季度销售每立方米木材的价格；
''n P 表示每立方米木材在仓库存储n 个季度的价格费用（n=0,1,2,3;表示储存的季度数；
五.模型的建立和求解
5.1模型的建立及求解
一个公司的经营是为了获得盈利，而在经营者面临相同的经营风险下，经营者将希望追求最大经济效应。

在题目已知条件下，要使这个木材公司达到最大的经济效益，应该在该公司满足该公司现有的经济条件（例如：仓库容纳）和市场上对该公司木材的需求量。

这样可以建立一个类似于动态线性规划的模型，来求解该公司到最大利润时的进货和销售量的经营计划。

这个问题只要目的是销售价和进货的差价利润减去基本的库存费用使净利润达到最大，因此，目标函数是销售和进货差价的总利润减去总库存费用的总和，既有：
目标函数： ()∑==4
1i i i P Q Max (1）
其中向量Q i 、P i 分别为
()()()n i i i i ii i Q Q Q Q ++=...,,1
()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=++''')(''1'1''0'...n i n i i i i i i P P P P p P P P P P 约束条件为：
1.在此题目中，由于提到的木材量数目比较，在此单位都为：万
2.由于此公司把经营计划以季度划分，因此一年为四个季度，则：
i=4 (2)
(n+i)=4 (3)
3.每个季度仓库储存的木材量应该小于该公司仓库的最大储存量，即：
4
124
23
3420..2020j j j j Q s t Q Q ==⎧<=⎪⎪⎪<=⎨⎪⎪<=⎪⎩
∑∑ （4） 4.因为木材存放时会产生一定的费用，如：管理、租金和搬运等费用，在此题目中条件把其归于线性函数(只和季度数有关：
()3,2,1107''=+=n n P n （5） 0''0=P （6） 5.由于此处设的是销售量，因此在每年秋末不存在木材的储存量，在模型求解中不需要考虑是否销售完。

6.市场对该公司的木材需求量是有限，因此该公司每个季度的最大销售量应该小于对其的预计销售量，即满足：
4
413
31
2
21
11
160200
..140100i i i i i i Q Q s t Q Q ===⎧<=⎪⎪⎪<=⎪⎨⎪⎪<=⎪⎪<=⎩∑∑∑ （7） 以上（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）、式就构成了目标函数（1）的约束条件。

其中价格数值分别用P 1、P 2、P 3、P 4表示：
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=82813151P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=218102P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2353P 54=P
利用LINGO1求解（详细程序和运行部分结果见—附录）可以得到最大利润Max =5160
万元。

在这种情况下进货量、销售量和仓库储存量如表下：
表3.
如按表2制定该公司的销售计划，在目前的市场环境下，可以获得理论上最大的经济效益。

六．模型评价
（一）模型的优点：
1.本文得出的结果的数据具有很好的参考性。

2.本文使用的方法简单，不管是市场上价格敏感，还是市场的销售市场变，都有很
好的通用性。

3.本文所使用的方法可以很好的解决一些具有产品库存问题，涉及到的变量少，且
本文的变量都为一类，更能容易理解。

（二）模型的缺点：
1.由于木材的进货和销售价格随市场有一定的波动，本文假设了木材的进货和销售
价格在这3个月内保持不变。

所以，最后求出的最大总利润可能不是很准确。

2.在木材的运输和储存过程，不能确保没有坏产品存在，本文没有存在一定的风险
系数来预防这个问题，而是建立一个理想的模型来解决问题。

3.在假设时是假设公司资金不存在流动问题，但是一个公司在一年中资金流动不能
确保。

七．模型推广
面对现在高速发展的市场经济，企业的各种经营方式已经成为现代经营主流，但随着物流的高速发展以及迅速变化的市场经济环境，对企业的考验越来越大。

如何在激烈的竞争和信息化社会中，获得长久的发展，直接跟企业如何制定销售生产计划有着不可分离的经营的一部分。

与此同时随着经济的增长，经营方法越来越多也越来越合理，合理的制定经营计划也是在这个浩瀚的市场中获得更大的利润。

因此本文就一个木材储运公司为例，使得该公司能够在获得更大的利润。

通过建立相关的线性优化模型求解出最终的结果。

并对求解到的数据，结合实际进行了详细的分析。

本文中的公司在市场上扮演的是一个转卖货品的一个角色，主要是进价越低销售价越高获得的利润就越大。

通过对市场分析，建立一个模型，通过模型求解最大的利润，然后根据求解的数据制定一个合理的经营计划，在何时进货进多少货品，什么时候出售，销售的量是多少。

由于本文的企业不存在资金链断裂的问题，也在任何时候不存在资金短缺，是一个单纯转卖销售。

但是建立的模型除了适应类似的企业，可以适应生产——销售两个过程同时进行的公司，只是在约束条件增减的问题。

本文使用的研究方法为线性优化，具有很强的通用性，同时在研究中考虑的因素比较全面，对于类似的企业生产研究不需要过多的修改就可以运用本文的模型进行求解生产最大利润。

并且对于不同类型的企业也只有对相应的约束条件进行适当的修改，同样也可以进行生产方案的制定及最大利润的求解，因此本文具有很强的借鉴意义。

八．参考文献
[1] 姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版）[M],高等教育出版2003.
[2] 徐全智、杨晋浩，数学建模[M]高等教育出版2003.
[3] 司守奎，数学建模算法与程序[M],2007(5).
[4] 肖华勇，实用数学建模与软件应用[M],西北工业大学出版社，2010.
附录
LINGO1
model:
max=15*Q11+13*Q21+28*Q31+8*Q41+10*Q22+18*Q32-2*Q42+5*Q33-27*Q43+5*Q44;
Q11<1000000;
Q21+Q22<1400000;
Q31+Q32+Q33<2000000;
Q41+Q42+Q43+Q44<1600000;
Q21+Q31+Q41<200000;
Q31+Q32+Q41+Q42<200000;
Q42+Q41+Q43<200000;
end
Variable Value Reduced Cost
Q11 1000000. 0.000000 Q21 0.000000 0.000000
Q31 200000.0 0.000000 Q41 0.000000 20.00000
Q22 1400000. 0.000000 Q32 0.000000 7.000000
Q42 0.000000 27.00000 Q33 1800000.
0.000000
Q43 0.000000 32.00000 Q44 1600000.
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.5160000E+08 1.000000
2 0.000000 15.00000
3 0.000000 10.00000
4 0.000000 5.000000
5 0.000000 5.000000
6 0.000000 3.000000
7 0.000000 20.00000
8 200000.0 0.000000。