不确定度理解
误差和不确定度的区别和联系
误差与不确定度的概念比较实验教学中关于误差和不确定度的区别和联系，是学生感到难以理解并准确掌握的概念之一，本文将对此比较总结如下。
1误差和不确定度的定义1.1 误差的概念 各被测量量在实验当时条件下均有不依人的意志为转移的真实大小，此值被称为被测量的真值。
即真值就是被测量量所具有的、客观的真实数值。
然而实际测量时，总是由具体的观测者，通过一定的测量方法，使用一定的测量仪器和在一定的测量环境中进行的。
由于受到观测者的操作和观察能力，测量方法的近似性，测量仪器的分辨力和准确性，测量环境的波动等因素的影响，其测量结果和客观的真值之间总有一定的差异。
测量结果与真值的差为测量值的误差，即测量值(x)-真值(a)=误差(ε)在实验中通常要处理的来源于测量值的误差有两类：偶然误差和系统误差。
对于偶然误差，有算术平均值作为被测量真值的最佳估计值，相应的误差有标准偏差s ，它的定义为 1)(12--=∑=n x x s n i i------------------------------(1)式中n 为测量值的个数。
对于算术平均值的标准偏差，用来表示算术平均值的偶然误差，表达式为 n s x s /)(=------------------------------------(2)二者的统计意义是，标准偏差小的测量值，其可靠性较高。
对于系统误差，不能用统计的方法评定不确定度，首先要对实验理论分析或对比分析之后，可以得知其系统误差的来源，并可采取一定的措施去削减系统误差。
例如由于天平左右臂长不完全相同导致的系统误差，可将物体放在天平左盘、右盘上各称一次取平均去消除，而对于单摆周期与振幅有关，缩小振幅可以减小此项系统误差，在测量要求更高时，可根据理论分析得出的修正公式去补正。
1.2 不确定度的概念 测量不确定度则是评定作为测量质量指标的此量值范围，即对测量结果残存误差的评估。
设测量值为x ，其测量不确定度为u ，则真值可能在量值范围(x-u ，x+u)之中，显然此量值范围越窄，即测量 不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。
不确定度的表示方法
不确定度数据表示方法一.不确定度概述：在科学实验、产品生产、商业贸易及日常生活的各个领域，我们都要进行测量工作。
测量的目的是确定被测量的值，测量不确定度表示测量结果的不确定或不肯定的程度，也就是不可信度。
定义：不确定度是与测量结果相关联的，用于合理表征被测量值分散性大小的参数。
分类及表示：标准不确定度：以标准差表示的不确定度，以μ表示。
扩展不确定度：以标准不确定度的倍数表示的不确定度，以U表示。
(扩展不确定度表明了具有较大置信概率的区间的半宽)合成标准不确定度：各标准不确定度分量的合成，以μc表示（测量结果标准差的估计值）1.1.合成标准不确定度被测量y由N个其他量xi的函数确定时，假设其函数关系为y=f（x1，x2，……，xN）上式称为不确定度传播率。
为灵敏系数，r （xi ，xj ）为相关系数。
1.1.1. 当被测量的函数形式为：y=A1x1+A2x2+……+ANxN ，且各输入量之间不相关时，合成标准不确定度为：若用灵敏系数表示：1.1.2. 当被测量的函数形式为：n P nP P x x x y ⋅⋅⋅⋅=2121合成标准不确定度为：1.1.3若所有输入量都相关，且相关系数为1时，合成标准不确定度为：uc(y)：合成标准不确定度ui(x) ：各输入量的标准不确定度i ： ui(x)的自由度eff 越大表明评定的合成标准不确定度uc(y)越可靠。
自由度的含义：自由度是方差之不确定度的度量，由于测量不确定度用标准偏差(方差的正平方根)表示，自由度也就是“测量不确定度的不确定度”。
自由度大表示测量不确定度的不确定度小，即测量结果之不确定度的可信度高，反之亦然。
用第一张ppt的例子来说明，当自由度很大时，表示“被测量的值落在 831。
9 ℃ ～839.1 ℃区间的置信水平约为 95 ﹪”的可信度高，对于自由度 v= 12，3.6 ℃的不可信度大约是 21 ﹪。
1.2扩展不确定度分为两种U和Up。
不确定度a类和b类定义
不确定度a类和b类定义
“A类不确定度”是使用统计分析法评定，其标准不确定度u等同于由系列观测值获得的标准差σ。
基本求法有贝瑟尔法、别杰尔斯法、极差法、最大误差法。
“B类不确定度”不用统计分析法，而是基于其他方法估计概率分布或者分布假设来评定标准差并得到标准不确定度。
B类评定法，需先根据实际情况分析，对测量值进行一定的分布假设，如在2a区间的反正弦分布的标准不确定度为u=a/2^(1/2)。
不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。
反过来，也表明该结果的可信赖程度。
它是测量结果质量的指标。
不确定度愈小，所述结果与被测量的真值愈接近，质量越高，水平越高，其使用价值越高；不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越低。
定义：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数为不确定度。
不确定度的作用：测量不确定度是目前对于误差分析中的最新理解和阐述，以前用测量误差来表述，但两者具有完全不同的含义。
现在更准确地定义为测量不确定度。
是指测量获得的结果的不确定的程度。
不确定度的计算：不确定度的值即为各项值距离平均值的最大距离。
不确定度介绍
对同一量，进行多次计量，然后算出平均值。
对于偏离平均值的正负差值，就是其不确定度。
其差值越大，则计量的不确定度就越大。
在数理统计学上，一般用方差（S）来表示：S^2＝｛(x1－X)^2+(x2-X)^2+(x3-X)^2……＋(xn-X)^2｝/(n-1)。
注：X为平均值，n为测量的次数。
方差越大，其不确定度则越大；方差越小，其不确定度就越小。
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侯 8:07:05评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为1） 分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量。
2）评定标注不确定度分量，并给出其数值 ui 和自由度vi 。
3）分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数ρij 。
4）求测量结果的合成标准不确定度，则将合成标准不确定度uc 及自由度v . 5）若需要给出展伸不确定度，则将合成标准不确定度uc 乘以包含因子k ，得展伸不确定度 U=kuc 。
6）给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值y 及合成标准不确定度uc或展伸不确定度U ，并说明获得它们的细节。
根据以上测量不确定度计算步骤，下面通过实例说明不确定度评定方法的应用。
按照中华人民共和国国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》JJF1059—1999，不确定度的评定方法可归纳为A 、B 两类。
1.1 标准不确定度的A 类评定在重复性或复现性条件下对被测量X 进行了n 次测量，测得n 个结果i x （i = 1，2，… n ），被测量x 真值的最佳估计值是取n 次独立测量值的算术平均值：∑==ni ix n x 11（1-2-1）由于测量误差的存在，每一个独立测量值i x 不一定相同，它与平均值之间存在着残差x x i i -=)(υ表征测量值分散性的量——实验标准偏差为：1)()(21--=∑=n x xx s ni ii（1-2-2）标准差的上述计算与i x 的分布无关。
什么是误差、不确定度、精密度、准确度、偏差、方差
前言如何评价分析测试数据的质量，或者说明其测定数据在多大程度上是可靠的，一直是分析工作者和管理者关心和希望解决的问题。
在日常分析测试工作中，测量误差、测量不确定度、精密度、准确度、偏差、方差等是经常运用的术语，它直接关系到测量结果的可靠程度和量值的准确一致。
传统的方法多是用精密度和准确度来衡量。
但是，通常说的准确度和误差只是一个定性的、理想化的概念，因为实际样品的真值是不知道的。
而精密度只是表示最终测定数据的重复性，不能真正衡量其测定的可靠程度。
作为一名分析测试人员，这些术语是应该搞清楚的概念，但这些概念互相联系又有区别，也常常使人不知所云。
下面小编就带大家看一下它们的区别在哪里。
测量误差测量误差表示测量结果偏离真值的程度。
真值是一个理想的概念，严格意义上的真值通过实际测量是不能得到的，因此误差也就不能够准确得到。
在实际误差评定过程中，常常以约定真值作为真值来使用，约定真值本身有可能存在误差，因而得到的只能是误差的估计值。
此外，误差本身的概念在实际应用过程中容易出现混乱和错误理解。
按照误差的定义，误差应是一个差值。
当测量结果大于真值时，误差为正，反之亦然。
误差在数轴上应该是一个点，但实际上不少情况下对测量结果的误差都是以一个区间来表示（从一定程度上也反映了误差定义的不合理），这实际上更像不确定度的范围，不符合误差的定义。
在实际工作中，产生误差的原因很多，如方法、仪器、试剂产生的误差，恒定的个人误差，恒定的环境误差，过失误差，不可控制或未加控制的因素变动等。
由于系统误差和随机误差是两个性质不同的量，前者用标准偏差或其倍数表示，后者用可能产生的最大误差表示。
数学上无法解决两个不同性质的量之间的合成问题。
因此，长期以来误差的合成方法上一直无法统一。
这使得不同的测量结果之间缺乏可比性。
不确定度测量不确定度为“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果想联系的参数”。
定义中的参数可能是标准偏差或置信区间宽度。
物理实验中的不确定度分析方法讲解
物理实验中的不确定度分析方法讲解物理实验是科学研究的重要方法之一，通过实验可以验证理论，探索自然规律。
然而，在进行物理实验时，我们常常会面临各种不确定度的问题。
不确定度是指实验数据或测量结果与真实值之间的差异，也是实验过程中不可避免的误差来源。
因此，了解和分析不确定度是进行物理实验的重要一环。
一、背景介绍在讲解不确定度分析方法之前，先来了解一下一些基本概念。
在物理实验中，通常会进行测量来获取实验数据。
测量结果可以分为两类：一类是直接测量的值，比如长度、质量等；另一类是间接测量的值，比如通过测量时间和行走速度计算得到的距离。
不确定度是指测量结果的范围，一般用标准差或误差表示。
标准差是对测量结果的离散程度的衡量，误差是指测量结果与真实值之间的差异。
二、不确定度的来源不确定度的来源有多种，包括仪器误差、操作误差、环境因素等。
仪器误差是指仪器本身存在的不确定度，比如测量仪器的精度限度、刻度线的精确度等。
操作误差是指在测量、实验过程中由于操作不当或人为因素导致的误差，比如读数不准确、记录错误等。
环境因素是指实验环境对实验结果的影响，比如温度、湿度等。
三、不确定度的评定方法在进行物理实验时，我们需要对实验数据进行不确定度分析，以确定测量结果的可靠性和可信度。
不确定度的评定方法有多种，下面我们介绍一种常用的方法——GUM不确定度评定方法。
GUM（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement）是国际标准化组织（ISO）制定的一套用于不确定度评定的准则。
它将不确定度分为两类：类型A不确定度和类型B不确定度。
类型A不确定度是通过实验重复测量得到的统计结果计算得出的，它的评定方法主要依赖于统计学上的方法。
而类型B不确定度是通过其他途径获得的，比如参考资料、厂商提供的数据等，其评定方法主要依赖于专家判断或者理论计算。
根据GUM方法，在评定不确定度时，需要进行以下步骤：1. 确定测量结果的标准不确定度：将类型A和类型B不确定度进行合成，得到测量结果的标准不确定度。
不确定度概念及评定
不确定度概念及评定1. 不确定度概念不确定度就是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
它是对测量结果受测量误差影响不确定程度的科学描述。
具体地说，不确定度定量地表示了随机误差和未定系统误差的综合分布范围，它可以近似地理解为一定置信概率下的误差限值。
分类：一是用统计学方法计算的A 类标准不确定度A u ，它可以用实验标准误差来表征；另一类是其它非统计学方法（或者说经验的方法）评定的B 类标准不确定度B u 。
2. 标准不确定度评定考虑正态分布，有）（）（112--==∑=n n x x S u N I i X A3/A u B = （A 为仪器的仪器误差限，并认为它是均匀分布） 上式称为贝塞尔公式。
3. 合成标准不确定度c uA 类和B 类标准不确定度用方和根方法合成，得到直接测量结果的合成标准不确定度c u ，即22B A c u u u +=4. 扩展不确定度U在工程技术中，置信概率P 通常取较大值，此时的不确定度称为扩展不确定度。
常用标准不确定度的倍数表达，即c ku U = （32、=k ）当k 取2，且对应不确定度分布为正态分布时，置信概率P 约为95%。
而当不确定度分布不明确时，我们不具体说它的置信概率是多少。
在实验教学中，统一用c u U 2=（我们认定总的不确定度符合正态分布）来对实验结果进行评定。
在此我们约定，用x x B A U u x u x u 、）、（）、（分别表示某被测量的标准A 类、B 类、合成和扩展不确定度。
一般情况若我们不特别指明，不确定度均指扩展不确定度。
三、测量结果的表达1. 单次测量单次测量在实验中经常遇到，很显然，A 类不确定度无法由贝塞尔公式计算，但并不表示它不存在。
在教学实验中，我们可认为A u ＜＜B u ，从而得到 3/A u u B c =≈其中A 为仪器误差限。
A 一般取仪器最小分度值。
对于电工仪表有两种情况：电表： A =量程×准确度等级（%）电阻箱、电桥、电势差计等可以近似取A =示值×准确度等级（%）因此，测量结果可表达为c u x x 3±=2. 多次直接测量设测量值分别为.,......,,21n x x x ，则 ∑==ni i x n x 11 ）（）（112--==∑=n n x x S u N I i X A3/A u B =22BA c u u u += 测量结果表示为： c u x x 2±= xu E c =（用百分数表示）试求其不确定度 ∑==101101I I D D =18.000 mm）（11010)(1012--=∑=I I A D D u =0.0013 mm mm A u B 0058.03/== =+=+=22220058.00013.0B D c u S D u ）（0.006 mm 结果为0012.0000.18±=D mm%06.0=E用0.5级量程2.00V 的电压表测得电阻两端的电压值如下(单位:V )试计算出电压的不确定度）（U u c 。
计量基础知识之不确定度
误差为测量结果减被测量的真值。只有知道了真值才能 知道误差。而真值是一个理想概念，实际上真值是不能测 定的，量子效应的存在,排除了唯一真值的存在。
实际工作中，正是由于不知道被测量的真值，所以才去 进行测量，故误差经常是不知道的。
过去经常评定的测量误差，实际上是指测量不能肯定的 程度，故实际是为不确定度。过去评定误差为标准差等于 多少，应改为标准不确定度等于多少，过去评定误差为三 倍标准差等于多少，应改为扩展不确定度。
最大残差法
S(xik)=Cn max|X i k - Xi|
式中：Cn－最大残差法系数；X ik－测定结果；
X i－测定结果平均值；
max|X i k – X i |－测定结果残差最大值的绝对值；
n－测定次数。
最大残差法系数Cn表
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Cn 1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48
1996年，中国计量科学研究院制定了测量不确定度技术规 范，1999年国家质量技术监督局发布了JJF 1059《测量不确定 度评定与表示》技术规范（简称规范），从易于理解、便于操 作、利于过渡出发，原则上等同采用了GUM的基本内容，它是 我国不确定度评定及其应用的基础规范，是评定与表示不确定 度的通用规则，适用于各种准确度等级的测量领域。
= 0.083
2m
s 0.083
sp
= n
= 0.059% 2
极差法
S(xik)=(maxXik- minXik)/dn
式中：maxXik－测定结果列中的最大值；minXik－
测定结果列中的最小值； dn－极差法系数
不确定度 标准偏差
不确定度标准偏差不确定度与标准偏差。
不确定度与标准偏差是统计学中常用的两个概念，它们在实际数据分析中具有重要的作用。
不确定度是指测量结果的不确定程度，而标准偏差则是用来衡量数据的离散程度。
本文将就不确定度与标准偏差的概念、计算方法以及在实际应用中的意义进行详细介绍。
1. 不确定度的概念。
不确定度是指测量结果的不确定程度，它反映了测量结果的精密程度。
在实际测量中，由于各种因素的影响，测量结果往往是不确定的。
不确定度的大小取决于测量方法、仪器精度、环境条件等因素。
通常情况下，我们可以利用标准偏差来衡量测量结果的不确定度。
2. 标准偏差的计算方法。
标准偏差是用来衡量数据的离散程度的统计量，它反映了数据的平均值周围的离散程度。
标准偏差的计算方法如下：首先，计算出数据的平均值；然后，计算每个数据点与平均值的偏差；最后，将所有偏差的平方求和，再除以数据个数，最后取平方根即可得到标准偏差。
3. 不确定度与标准偏差的关系。
不确定度与标准偏差有着密切的关系。
在实际应用中，我们常常利用标准偏差来衡量测量结果的不确定度。
标准偏差越大，说明数据的离散程度越大，测量结果的不确定度也就越大；反之，标准偏差越小，数据的离散程度越小，测量结果的不确定度也就越小。
4. 不确定度与标准偏差在实际应用中的意义。
不确定度与标准偏差在实际数据分析中具有重要的意义。
在科学研究、工程设计、质量控制等领域，我们经常需要对测量结果进行分析和评价。
利用不确定度与标准偏差，我们可以对测量结果的可靠性进行评估，从而为决策提供科学依据。
此外，在产品质量控制中，我们也可以利用标准偏差来衡量产品质量的稳定性，为生产过程的改进提供参考。
综上所述，不确定度与标准偏差是统计学中重要的概念，它们在实际数据分析中具有重要的作用。
通过对不确定度与标准偏差的理解与应用，我们可以更好地评估测量结果的可靠性，为科学研究与工程实践提供科学依据。
因此，在实际应用中，我们应该充分利用不确定度与标准偏差这两个工具，以提高数据分析的准确性与科学性。
不确定度
在医学检验领域中该如何理解“测量不确定度” 在医学检验领域中该如何理解“测量不确定度”
一般认为简单意义的“测量不确定度”只包括分 一般认为简单意义的“测量不确定度” 析中，即样本通过设备检测得出结果， 析中，即样本通过设备检测得出结果，然后仅对此过 程进行评定。此类评定相对简单，应用室内质控数据、 程进行评定。此类评定相对简单，应用室内质控数据、 厂家提供的数据便可以了。相对于临床检验来说， 厂家提供的数据便可以了。相对于临床检验来说，影 响测量不确定度的因素、“卫生部临床检验中心―陈 响测量不确定度的因素、 卫生部临床检验中心― 文祥教授” 认为:还应该包括采血、储存时间、 文祥教授” 认为:还应该包括采血、储存时间、储存温 度、器具等分析前以及分析后因素等，这些因素都会 器具等分析前以及分析后因素等， 影响检验结果。临床检验的目的是诊断疾病、 影响检验结果。临床检验的目的是诊断疾病、健康评 价，仅仅给出结果可能是不够的。还包括人类不可控 仅仅给出结果可能是不够的。 制的因素—生物学变异。 制的因素—生物学变异。
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三、测量不确定度的表示方式和分析方法、评估过程及分类 测量不确定度的表示方式和分析方法、
根据“GUM”（“测量不确定度表述指南”）、“GUAM”（化学 测量中不确定度的评定）等，不确定度的评定有两个基本模式：由 下而上（Bottom-Up）与由上而下（Top-Down）。我们得出检验结 果，影响此结果可靠性的因素较多，如：就分析中而言，人员、仪 器、方法、试剂、校准、精密度、特异性等都对结果产生影响，我 们可分别评定这些因素对结果不确定度的贡献，然后进行汇总。首 先列出造成结果变异的所有因素，逐一评定可能对结果造成的影响， 最后进行总结，这是由下而上。 如果一段足够长时间内，如一年，我们使用了不同方法、不同试剂， 由多个检验人员用多台仪器进行检验，一年后通过室内质控得出测 量的CV值，这个CV值在很大意义上为这个结果的标准不确定度，虽 然我们没有分别分析人员、仪器、方法等具体因素，但这些因素已 包含在一年中的室内质控结果中，这是由上而下。 另外，不确定度的评定分为A类评定与B类评定。简单理解，A类评 定为自己亲自进行实验，得出数据；B类评定，采用他人、以前或文 献中的数据。
不确定度在实验数据分析中的应用
不确定度在实验数据分析中的应用在实验领域中，不可避免地要面对各种测量误差和不确定性，这些因素对实验数据的准确性和可靠性有着极其重要的影响。
为了能够更好地处理实验数据，我们需要了解和利用不确定度这一概念。
本文将探讨不确定度在实验数据分析中的应用。
1. 什么是不确定度？不确定度是表征测量结果与被测量值真实值之间差异的一种度量方式。
它是指在一系列测量中，测量结果的分布范围。
可以理解为测量值与真实值之间的偏差或误差。
能够准确地评估不确定度对于准确评价数据质量具有重要作用。
2. 不确定度对实验数据的影响在实验领域中，测量误差和不确定性等因素对数据的影响不可避免。
如果忽略这些因素，将会导致实验数据的准确性出现偏差，无法对实验结果进行可靠的评估。
因此，了解实验数据的错误来源和不确定度可以帮助我们更好地处理实验数据，提高实验数据的可靠性和准确性。
3. 不确定度的计算方式不确定度的计算方式可以分为以下几种方法：（1）标准偏差法标准偏差是指一组测量数据离平均值的距离的平均值。
计算标准偏差时，需要计算出平均值和每个数据点与平均值之间的差值，然后将这些差值平方并求和。
最后将总和除以测量数再开方即可得到标准偏差。
标准偏差表示的是单次测量结果的精度。
（2）合成不确定度法合成不确定度是根据各种误差、不确定性源的性质，按照一定规则将其合成成一个总的不确定度。
这种方法需要系统地分析和评估所有可能的误差和不确定性源，并计算它们对最终结果的影响。
（3）最大值法最大值法是将不确定性源中最大的值认为是实验数据的总误差。
这种方法被用于不确定度源具有互相独立的前提下的一些误差和不确定性的总计算。
（4）重复测量法重复测量法是通过重复测量相同的样本来确定数据中的随机误差。
这种方法可以获得多个测量结果，从而使用平均值来代表数据。
4. 不确定度的应用在实验领域中，不确定度的应用主要包括以下三个方面：（1）计算实验数据的误差范围不确定度可以告诉我们实验数据的测量误差范围，通过计算不确定度，我们可以得到实验数据的误差范围。
测量不确定度的基本概念
测量不确定度的基本概念测量不确定度表示测量结果的不确定或不肯定的程度，也就是不可信度。
传统上人们将测量不确定度理解为“表征（或说明）被测量真值所处范围的一个估计值（或参数）”；在另一段时期理解为“由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量”，这些含义从本质上来说与现定义并不矛盾，但它们涉及到真值和误差这两个理想化或理论上的概念，实际上难以操作。
测量不确定度的分类测量不确定度分为不确定度和相对不确定两大类。
不确定度又分标准不确定度和扩展不确定度两类。
相对不确定度又分为相对标准不确定度和相对扩展不确定度两类。
在实际使用中，往往希望知道结果的置信区间，因此规定测量不确定度可用标准差的倍数或说明置信水准的区间的半宽度来表示。
为了区分这两种不同的表示方法，分别为标准不确定度和扩展不确定度。
标准不确定度又细分为A类标准不确定度，B类标准不确定度和合成标准不确定度；扩展不确定度根据包含因子和置信概率细分成几种情况。
扩展不确定度扩展不确定度是确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间内。
实际上扩展不确定度（U）是由合成标准不确定度（Uc）的倍数（k）表示的测量不确定度。
它是将合成标准不确定度扩展了k倍得到的。
U=kuC .这里k值称做包含因子，一般为2，有时为3，取决于被测量的重要性，效益和风险。
当k=2时，置信水平为95%，当k=3时，置信水平为99% .*所谓置信区间：置信区间就是一个随机区间，它能以足够大的概率套住我们感兴趣的参数（换句话说是能满足我们认为可靠的测量结果）。
例如，用一种方法测定某溶液中某种物质的含量，多次测定结果为835.6？3.6mg/L，标准差为？3.6mg/L，它就确定了一个估计具有约95%置信水平的区间。
表示被测量的值落在（831.9mg/L- 839.1mg/L）区间的置信度为95%或者说测量结果835.6mg/L在置信水平为95%时的不可信度为3.6mg/L .置信水平取多大的值由测量工作的要求所决定。
测量不确定度的通俗理解
测量不确定度的通俗理解1. 什么是测量不确定度？测量不确定度听起来好像是个高大上的概念，但其实它就像我们生活中的小插曲。
想象一下，你在厨房做饭，准备放盐。
你把盐罐打开，撒了一点，心里想：“这盐够了吧？”可是，你又有点担心，万一少了，菜就没味道；多了，又会让人咳嗽。
测量不确定度就是在告诉我们，这种“万一”其实是有一定范围的。
换句话说，我们在测量时，总是带着一些“模糊不清”的感觉，不可能做到百分之百的准确。
1.1. 不确定度的来源不确定度的来源多得数不胜数，像你家那只懒猫，整天躲在阳光下，既不想动又时不时冒出个小意外。
比如说，温度计的读数可能因为外部温度变化而不一样，或者是你用的尺子不够精准。
还有，有时候你的小手一抖，测量的结果就像坐过山车，忽上忽下，根本没法保证准确。
这些不确定因素就像生活中的调皮鬼，让测量的结果变得“有趣”。
1.2. 不确定度的表达那么，如何表达这种不确定度呢？简单来说，我们可以用“±”符号来表示。
比如，你测量一个长度，结果是10厘米±0.5厘米，这就意味着实际的长度可能在9.5到10.5之间游荡。
就像买彩票，虽然你可能很幸运，但也有可能空手而归。
这样的表达方式，让我们在测量时心里有个底，不会因为数字的变化而慌乱。
2. 为什么要关注测量不确定度？2.1. 实用性说到这里，很多朋友可能会问：“这测量不确定度有啥用啊？”其实，它可是大有裨益呢！无论是科学实验，还是日常生活，了解不确定度能帮助我们更好地决策。
比如，你想买一个新手机，商家给你说电池续航是24小时，但你心里想着：“这数据可信吗？”如果你知道续航的测量不确定度，就能更好地评估这款手机的实际表现了。
2.2. 提升信心另外，测量不确定度还能提升我们的信心。
试想一下，你在一次重要的考试中，做了一道题，结果说对了，心里那个美呀！但是如果你知道自己答题的准确率只有70%，那就不太稳了。
了解测量不确定度，可以让你心中有数，知道什么是靠谱的，什么是“水分”十足的。
标准偏差 不确定度
标准偏差不确定度标准偏差（standard deviation）是一种用来衡量数据集合中数据分散程度的统计量。
它是数据偏离算术平均值的程度的一种度量。
标准偏差越大，说明数据的离散程度越大，反之则越小。
在实际应用中，标准偏差被广泛用于描述数据的稳定性和可靠性。
标准偏差的计算公式如下：其中，σ代表总体标准偏差，s代表样本标准偏差，x代表数据的观测值，μ代表数据的平均值，n代表数据的个数。
在实际应用中，我们经常会遇到不确定度（uncertainty）的概念。
不确定度是指对测量结果的不确定性的度量。
在测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往不是精确的，而是带有一定的误差。
因此，我们需要通过不确定度来描述测量结果的可靠程度。
不确定度可以分为类型A不确定度和类型B不确定度。
类型A不确定度是通过重复测量得到的数据的统计分析来确定的，而类型B不确定度则是通过其他方法来确定的，如标准偏差、标准误差等。
在实际应用中，我们常常需要通过标准偏差来计算不确定度。
通过标准偏差的计算，我们可以得到数据的离散程度，从而进一步确定测量结果的可靠程度。
在科学研究、工程设计、质量控制等领域，标准偏差和不确定度的概念都扮演着重要的角色。
在测量过程中，我们需要通过合适的方法来确定数据的标准偏差，进而计算出不确定度。
在实际操作中，我们可以通过软件工具来进行数据处理和分析，以得到准确的标准偏差和不确定度。
同时，我们还需要注意数据的采集和处理过程中可能存在的误差，以确保测量结果的可靠性和准确性。
总之，标准偏差和不确定度是统计学中重要的概念，它们在数据分析和测量过程中起着关键的作用。
通过对标准偏差和不确定度的理解和应用，我们可以更好地评估数据的稳定性和可靠性，为科学研究和工程实践提供有力的支持。
不确定度的表示方法
不确定度数据表示方法一.不确定度概述：在科学实验、产品生产、商业贸易及日常生活的各个领域，我们都要进行测量工作。
测量的目的是确定被测量的值，测量不确定度表示测量结果的不确定或不肯定的程度，也就是不可信度。
定义：不确定度是与测量结果相关联的，用于合理表征被测量值分散性大小的参数。
分类及表示：①标准不确定度：以标准差表示的不确定度，以µ表示。
②扩展不确定度：以标准不确定度的倍数表示的不确定度，以U表示。
(扩展不确定度表明了具有较大置信概率的区间的半宽)③合成标准不确定度：各标准不确定度分量的合成，以µc 表示（测量结果标准差的估计值）1.1.合成标准不确定度被测量y 由N 个其他量x i 的函数确定时，假设其函数关系为y=f （x 1，x 2，……，x N ）上式称为不确定度传播率。
为灵敏系数，r （x i ，x j ）为相关系数。
1.1.1. 当被测量的函数形式为：y =A 1x 1+A 2x 2+……+A N x N ，且各输入量之间不相关时，合成标准不确定度为：若用灵敏系数表示：∑∑∑=-=+=∂∂⋅∂∂+∂∂=N i N i Ni j j i j i j i i i c x u x u x x r x f x f x u x f y u 111122)()(),(2)(][)(i x f ∂∂∑∑∑===⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂∂⋅∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂=N i N i N j j i j i i j i i i c x u x u x x f x f x x f x u x f y u 1112232222)()(21)(][)(2∑=∂∂=N i i i c x u x f y u 122)(][)(∑==Ni i i i c x u A y u 122)()(∑∑====ni i N i i i i c y u x u c y u 12122)()()(∑∑∑=-=+=∂∂⋅∂∂+∂∂=N i N i Ni j j i j i ji i i cx u x u x x r x fx f x u x f y u 111122)()(),(2)(][)(1.1.2. 当被测量的函数形式为： 合成标准不确定度为：1.1.3若所有输入量都相关，且相关系数为1时，合成标准不确定度为： u c (y)：合成标准不确定度u i (x ) ：各输入量的标准不确定度 νi ： u i (x )的自由度νeff 越大表明评定的合成标准不确定度u c (y)越可靠。
不确定度求法
不确定度求法概述不确定度是指我们对某个事物或现象的了解程度上的一种度量。
在科学研究和实验中，不确定度是难以避免的。
通过合理的不确定度求法，我们可以评估和表达测量结果的可靠性、精确性和准确性，从而提高科学研究的可信度和可重复性。
不确定度的背景在实际测量和实验中，我们无法获得一个真实值，而只能通过一系列的测量数据来描述事物或现象。
由于测量仪器的精度、测量方法的不完善以及人为因素的影响，测量结果会存在误差。
不确定度的概念就是用来描述这种误差的范围和可能性。
不确定度的分类不确定度可以分为两种类型：随机不确定度和系统不确定度。
随机不确定度随机不确定度是由于测量数据的离散性造成的。
这种不确定度可以通过多次重复测量来评估。
在重复测量中，我们可以计算出测量数据的平均值和标准偏差，进而得到随机不确定度。
系统不确定度系统不确定度是由于测量仪器、测量方法或环境条件等因素的固有偏差造成的。
这种不确定度很难通过重复测量来评估，需要通过对测量过程的分析和校正来减小。
不确定度的求法不确定度的求法有多种方法，下面介绍常用的几种方法。
类型A不确定度类型A不确定度是通过重复测量来评估的随机不确定度。
它可以通过测量数据的标准偏差来求得。
标准偏差是多次测量的结果离散程度的度量，它越大表示数据的离散程度越高，不确定度也就越大。
类型B不确定度类型B不确定度是通过除了重复测量以外的其他方法来评估的不确定度。
例如，我们可以使用已有的文献数据、仪器规格的指标和经验判断来估计不确定度的范围。
合成不确定度通过计算类型A不确定度和类型B不确定度的合成不确定度，可以得到最终的不确定度。
合成不确定度是通过不确定度的传递法则来计算的，根据传递法则，不同的不确定度按照一定的规则进行组合和运算。
不确定度的表示和报告不确定度通常用一个数值和一个表示标准的符号来表示。
数值表示了不确定度的范围，符号表示了不确定度的级别和可信度。
在报告实验结果时，我们应该合理地陈述测量结果和不确定度。
不确定度的认识
不确定度的含义是指因测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。
同样也表明这个结果的可信赖程度，是测量结果质量的指标。
不确定度越小，所述结果与被测的值越接近，质量越高，水平越高，它的使用价值越高;不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越低，它的使用价值也就越低。
在报告测量的结果时，必须给出相应的不确定度，以便使用它的人可以评定其可靠性，同时也增强了测量结果之间的可比性。
1.定义测量不确定度是指表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。
通常测量结果的好坏用误差来衡量，但误差只能表现测量的短期质量。
测量过程是否持续受控?测量结果是否能保持稳定一致?测量能力是否符合生产盈利的要求?需要用测量不确定度来衡量。
测量不确定度越大，表示测量能力越差;反之，表示测量能力则越强。
但是不管测量不确定度多小，测量不确定度范围必须包括真值(一般用约定真值代替)，否则表示测量过程已经失效。
2.作用测量不确定度是当前对于误差分析中的最新理解和阐述，以前用测量误差来表述，但两者有完全不同的含义。
更准确地定义应为测量不确定度，它表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度。
在测量不确定度的发展过程中，人们从传统上理解它是“表征(或说明)被测量真值所处范围的一个估计值(或参数)”;也曾理解为“由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量”。
这些使用过的定义，从概念上来说是一个发展和演变过程，它们涉及被测量真值和测量误差这两个理想化的或理论上的概念(实际上是难以操作的未知量)，而可以具体操作的则是现定义中测量结果的变化，即被测量之值的分散性。
早在20世纪70年代初，国际上已有越来越多的计量学者认识到使用“不确定度”代替“误差”更为科学，从此，不确定度这个术语逐渐在测量领域内被广泛应用。
1978年国际计量局提出了实验不确定度表示建议书INC-1。
1993年制定的《测量不确定度表示指南》得到了BIPM、OIML、ISO、IEC、IUPAC、IUPAP、IFCC七个国际组织的批准，由ISO出版，是国际组织的重要权威文献。
如何理解不确定度
如何理解不确定度☑通俗地理解不确定度测量不确定度简称不确定度，顾名思义不确定度是由“不确定”和“度”两个关键词构成。
✔通俗地理解“不确定”大家都知道世间任何事情都有不确定性，在测量领域来说也一样，比如测量某砝码质量的结果为500g，但是根据人们对测量过程各种认识来看，都有不确定性，测量结果会不会是501g或者是499g呢？这就是测量结果的不确定性。
✔通俗地理解“度”在测量过程中不确定度所说的“度”是可信程度，在测量领域一般用包含概率来表示，包含概率为95%或99%，95%就是说落在[499g,501g]的概率为95%，那么99%就是说落在[499g,501g]的概率为99%。
✔我们拿一次具体的测量来理解一下不确定度的概念。
从以上测量结果统计图中可以看出，该次测量结果为Y=500g,其上下波动为1g，也就是“不确定”为1g，准确描述测量对象的测量结果为Y=（500±1）g。
那么“度”是如何理解的呢？从统计图中可以看出测量了100次，有5次（5个红点）落在了区间外，那么也就是说本次测量有95次落在[499g,501g]的范围内，可以说落在区间的包含概率为95%。
☑正确地认识不确定度——测量不确定度是一个定量说明给出的测得值的不可确定程度（U=1g）和可信程度（k=2或p=95%）的参数。
——测量不确定度是说明被测量的测得值分散性地参数，它不说明测得值是否接近真值。
例如，上述统计图只能说明95次测量结果落在区间内，不能说明是否接近500g。
☑不确定度考题两道a.测量不确定度小，表明（）。
A.测得值接近真值B.测得值的准确度高C.测得值的分散性小D.测得值所在的区间小答案：C、Db.下列关于测量不确定度越小的说法中，正确的是（）。
A.测量误差越小B.测得值偏离真值越小C.测得值的分散性越大D.测得值的包含区间越小答案：D☑不确定度的定义✔测量不确定度measurement uncertainty uncertainty of measurement [VIM 2.26]简称不确定度（uncertainty）根据所用到的信息，表征赋予被测量量值分散性的非负参数。
不确定度
不确定度求助编辑百科名片不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。
反过来，也表明该结果的可信赖程度。
它是测量结果质量的指标。
不确定度愈小，所述结果与被测量的真值愈接近，质量越高，水平越高，其使用价值越高；不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越低。
在报告物理量测量的结果时，必须给出相应的不确定度，一方面便于使用它的人评定其可靠性，另一方面也增强了测量结果之间的可比性。
目录释义不确定度的作用不确定度的计算不确定度的定义不确定度概念区别分类区别扩展不确定度包含因子标准溶液的不确定度标准溶液扩展不确定度室内空气质量检测标准值与不确定度仪器与方法的不确定度展开释义不确定度的作用不确定度的计算不确定度的定义不确定度概念区别分类区别扩展不确定度包含因子标准溶液的不确定度标准溶液扩展不确定度室内空气质量检测标准值与不确定度仪器与方法的不确定度展开编辑本段释义不确定度的作用测量不确定度是目前对于误差分析中的最新理解和阐述，以前用测量误差来表述，但两者具有完全不同的含义。
现在更准确地定义为测量不确定度。
是指测量获得的结果的不确定的程度。
不确定度的计算不确定度的值即为各项值距离平均值的最大距离。
例：有一列数。
A1,A2, ... , An，它们的平均值为A，则不确定度为：max{ |A - Ai|, i = 1, 2, ..., n}不确定度的定义表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数编辑本段不确定度概念区别不确定度与误差统计学家与测量学家一直在寻找合适的术语正确表达测量结果的可靠性。
譬如以前常用的偶然误差，由于“偶然”二字表达不确切，已被随机误差所代替，近年来，人们感到“误差”二字的词义较为模糊，如讲“误差是±1%”，使人感到含义不清晰。
但是若讲“不确定度是±1%”则含义是明确的。
因而用随机不确定度和系统不确定度分别取代了随机误差和系统误差。
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不确定度不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。
反过来，也表明该结果的可信赖程度。
它是测量结果质量的指标。
不确定度愈小，所述结果与被测量的真值愈接近，质量越高，水平越高，其使用价值越高；不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越低。
在报告物理量测量的结果时，必须给出相应的不确定度，一方面便于使用它的人评定其可靠性，另一方面也增强了测量结果之间的可比性。
定义测量不确定度是指“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数”。
这个定义中的“合理”，意指应考虑到各种因素对测量的影响所做的修正，特别是测量应处于统计控制的状态下，即处于随机控制过程中。
也就是说，测量是在重复性条件(见JJF1001－1998《通用计量术语及定义》第5.6条，本文×.×条均指该规范的条款号)或复现性条件(见5.7条)下进行的，此时对同一被测量做多次测量，所得测量结果的分散性可按5?8条的贝塞尔公式算出，并用重复性标准〔偏〕差sr或复现性标准〔偏〕差sR表示。
定义中的“相联系”，意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果(见5?1条)的完整表示中应包括测量不确定度。
原理测量不确定度从词义上理解，意味着对测量结果可信性、有效性的怀疑程度或不肯定程度，是定量说明测量结果的质量的一个参数。
实际上由于测量不完善和人们的认识不足，所得的被测量值具有分散性，即每次测得的结果不是同一值，而是以一定的概率分散在某个区域内的许多个值。
虽然客观存在的系统误差是一个不变值，但由于我们不能完全认知或掌握，只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内，而这种概率分布本身也具有分散性。
测量不确定度就是说明被测量之值分散性的参数，它不说明测量结果是否接近真值。
为了表征这种分散性，测量不确定度用标准〔偏〕差表示。
在实际使用中，往往希望知道测量结果的置信区间，因此，在本定义注1中规定：测量不确定度也可用标准〔偏〕差的倍数或说明了置信水准的区间的半宽度表示。
为了区分这两种不同的表示方法，分别称它们为标准不确定度和扩展不确定度。
特点测量结果是一个区域测量的目的是为了确定被测量的量值。
测量结果的品质是量度测量结果可信程度的最重要的依据。
测量不确定度就是对测量结果质量的定量表征，测量结果的可用性很大程度上取决于其不确定度的大小。
所以，测量结果表述必须同时包含赋予被测量的值及与该值相关的测量不确定度，才是完整并有意义的。
表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数，称为测量不确定度。
字典中不确定度（uncertainty）的定义为“变化、不可靠、不确知、不确定”。
因此，广义上说，测量不确定度意味着对测量结果可信性、有效性的怀疑程度或不肯定程度。
实际上，由于测量不完善和人们认识的不足，所得的被测量值具有分散性，即每次测得的结果不是同一值，而是以一定的概率分散在某个区域内的多个值。
虽然客观存在的系统误差是一个相对确定的值，但由于我们无法完全认知或掌握它，而只能认为它是以某种概率分布于某区域内的，且这种概率分布本身也具有分散性。
测量不确定度正是一个说明被测量之值分散性的参数，测量结果的不确定度反映了人们在对被测量值准确认识方面的不足。
即使经过对已确定的系统误差的修正后，测量结果仍只是被测量值的一个估计值，这是因为，不仅测量中存在的随机效应将产生不确定度，而且，不完全的系统效应修正也同样存在不确定度。
原来流量量传体系中要求上一级标准器的允许误差需小于下一级标准器的1/2～1/3，不确定度理论的发展使得大家认可测量结果的不确定度按不确定度评定方法进行分析，当被测仪器重复性很好且测量过程得到较好控制时，两级标准器不确定度的差异可能会相差无几，这样就大大减少了传递过程中精度的损失，使得量值传递体系更为合理。
不确定度与误差概率论、线性代数和积分变换是误差理论的数学基础，经过几十年的发展，误差理论已自成体系。
实验标准差是分析误差的基本手段，也是不确定度理论的基础。
因此从本质上说不确定度理论是在误差理论基础上发展起来的，其基本分析和计算方法是共同的。
但在概念上存在比较大的差异。
测量不确定度表明赋予被测量之值的分散性，是通过对测量过程的分析和评定得出的一个区间。
测量误差则是表明测量结果偏离真值的差值。
不确定度的A类评定与B类评定用对观测列的统计分析进行评定得出的标准不确定度称为A类标准不确定度，用不同于对观测列的统计分析来评定的标准不确定度称为B类标准不确定度。
将不确定度分为“A”类与“B”类，仅为讨论方便，并不意味着两类评定之间存在本质上的区别，A类不确定度是由一组观测得到的频率分布导出的概率密度函数得出：B类不确定度则是基于对一个事件发生的信任程度。
它们都基于概率分布，并都用方差或标准差表征。
两类不确定度不存在那一类较为可靠的问题。
一般来说，A类比B类较为客观，并具有统计学上的严格性。
测量的独立性、是否处于统计控制状态和测量次数决定A 类不确定度的可靠性。
“A”、“B”两类不确定度与“随机误差”与“系统误差”的分类之间不存在简单的对应关系。
“随机”与“系统”表示误差的两种不同的性质，“A”类与“B”类表示不确定度的两种不同的评定方法。
随机误差与系统误差的合成是没有确定的原则可遵循的，造成对实验结果处理时的差异和混乱。
而A类不确定度与B类不确定度在合成时均采用标准不确定度，这也是不确定度理论的进步之一。
测量不确定度的产生原因在实践中，测量不确定度可能来源于以下10个方面：(1)对被测量的定义不完整或不完善；(2)实现被测量的定义的方法不理想；(3)取样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量；(4)对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善；(5)对模拟仪器的读数存在人为偏移；(6)测量仪器的分辨力或鉴别力不够；(7)赋与计量标准的值和参考物质(标准物质)的值不准；(8)引用于数据计算的常量和其它参量不准；(9)测量方法和测量程序的近似性和假定性；(10)在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化。
来源由此可见，测量不确定度一般来源于随机性和模糊性，前者归因于条件不充分，后者归因于事物本身概念不明确。
这就使得测量不确定度一般由许多分量组成，其中一些分量可以用测量列结果(观测值)的统计分布来进行估算，并且以实验标准〔偏〕差(见5?8条)表征；而另一些分量可以用其它方法(根据经验或其它信息的假定概率分布)来进行估算，并且也以标准〔偏〕差表征。
所有这些分量，应理解为都贡献给了分散性。
若需要表示某分量是由某原因导致时，可以用随机效应导致的不确定度和系统效应导致的不确定度，而不要用“随机不确定度”和“系统不确定度”这两个业已过时或淘汰的术语。
例如：由修正值和计量标准带来的不确定度分量，可以称之为系统效应导致的不确定度。
结果不确定度当由方差得出时，取其正平方根。
当分散性的大小用说明了置信水准的区间的半宽度表示时，作为区间的半宽度取负值显然也是毫无意义的。
当不确定度除以测量结果时，称之为相对不确定度，这是个无量纲量，通常以百分数或10的负数幂表示。
对测量不确定度的认识过程在测量不确定度的发展过程中，人们从传统上理解它是“表征(或说明)被测量真值所处范围的一个估计值(或参数)”；也有一段时期理解为“由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量”。
这些曾经使用过的定义，从概念上来说是一个发展和演变过程，它们涉及到被测量真值和测量误差这两个理想化的或理论上的概念(实际上是难以操作的未知量)，而可以具体操作的则是现定义中测量结果的变化，即被测量之值的分散性。
早在七十年代初，国际上已有越来越多的计量学者认识到使用“不确定度”代替“误差”更为科学，从此，不确定度这个术语逐渐在测量领域内被广泛应用。
1978年国际计量局提出了实验不确定度表示建议书INC-1。
1993年制定的《测量不确定度表示指南》得到了BIPM、OIML、ISO、IEC、IUPAC、IUPAP、IFCC七个国际组织的批准，由ISO出版，是国际组织的重要权威文献。
我国也已于1999年颁布了与之兼容的测量不确定度评定与表示计量技术规范。
至此，测量不确定度评定成为检测和校准实验室必不可少的工作之一。
自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。
在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。
通常df=n-k。
其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。
自由度通常用于抽样分布中自由度综述“自由度”（degrees of freedom, df）是在统计学，物理学，工程机械中的基本知识，通常用于抽样分布中。
而电子游戏中也有自由度这个概念。
一、统计学和计量经济学统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的资料的个数，称为该统计量的自由度。
统计学上的自由度包括两方面的内容：首先，在估计总体的平均数时，由于样本中的 n 个数都是相互独立的，从其中抽出任何一个数都不影响其他数据，所以其自由度为n。
在估计总体的方差时，使用的是离差平方和。
只要n-1个数的离差平方和确定了，方差也就确定了；因为在均值确定后，如果知道了其中n-1个数的值，第n个数的值也就确定了。
这里，均值就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，估计总体方差的自由度为n-1。
例如，有一个有4个数据(n=4)的样本, 其平均值m等于5,即受到m=5的条件限制, 在自由确定4、2、5三个数据后, 第四个数据只能是9, 否则m≠5。
因而这里的自由度υ=n-1=4-1=3。
推而广之,任何统计量的自由度υ=n-限制条件的个数。
其次，统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。
如在回归方程中，如果共有p个参数需要估计，则其中包括了p-1个自变量（与截距对应的自变量是常量1）。
因此该回归方程的自由度为p-1。
这个解释，如果把“样本”二字换成“总体”二字也说得过去。
这个根本解释不了在统计学中，自由度的概念。
在一个包含n个个体的总体中，平均数为m。
知道了n-1个个体时，剩下的一个个体不可以随意变化。
为什么总体方差计算，是除以n而不是n-1呢？方差是实际值与期望值之差平方的期望值，所以知道总体个数n时方差应除以n，除以n-1时是方差的一个无偏估计。