第二章 量子变换理论

n
} 是这个表象中的基矢，基矢之间相互正交： ∫ ψ *j ( x)ψ k ( x)d x = 0 ；
* 态矢量在 F 表象中沿各基矢方向的“分量”为 {Ck } ： Ck (t ) = ∫ Ψ ( x, t )ψ k ( x) d x ；
F 表象中的基矢（本征函数）有无限多个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间 ——这种无穷维线性空间称为 Hilbert 空间。 可以把 {Ck } 看作为 F 表象下的波函数，用一个列矩阵表示
矩阵形式则是
b = S +a ， （ b = S −1a ）.
这就是态矢量由 A 表象到 B 表象的变换公式。 （三） 、幺正变换的两个重要性质 1、幺正变换不改变算符的本征值。 2、幺正变换不改变矩阵 F 的迹。
ˆ 本征值的问题可以归结为寻找一个幺正变换，把 F ˆ 从原来的表象变换为自身的表 求F
− − − （3）乘法性质 ( P 1P 2) = P 2 P 1 。
（4）求负厄米操作可以将求逆与求转置操作对调。 （5） det( P − ) = (det P )* 。 3、定义三 负幺正矩阵定义为： P − = P −1
负幺正矩阵具有如下性质 （1）两个同阶负幺正矩阵之积也是负幺正矩阵。 （2）负幺正矩阵的厄米、复数共轭、转置还是负幺正矩阵。 （3）复辛群 S p (2n, C ) 中负幺正矩阵的行列式数值为 +1 。
C1 C Ψ → 2 C n
（三） 、在一个具体表象中，力学量算符的表示
ˆ ： Φ = FΨ . 对一个力学量算符 F
选择一个表象 Q ，其基矢为 n 。在表象 Q 中，设
{b
m
(t ) = m Φ } —— Φ ( x, t ) 在 Q 表象中的表示；
* * , a2 , F = (a1
* , am ,
F11 F21 ) Fm1
F12 F22 Fm 2
F1n F2 n Fmn
a1 a2 an
ˆ Ψ = λΨ 2、本征值方程： F
F11 F21 Fn1
F12 F22 Fn 2
F1n F2 n Fnn
a1 a1 a2 a2 = λ 或 an an
F11 − λ F21 Fn1
F11 F22 Fn 2
F1m F2 m Fnm
a1 (t ) a2 (t ) . am (t )
ˆ 在 Q 表象中是一个矩阵，它的矩阵元是 F = m F ˆ n . F mn
说明： （1）表示厄密算符的矩阵是厄密矩阵，即 F + = F . （2）算符在其自身表象中是一个对角矩阵，对角为该算符本征值。 （四） 、量子力学公式的矩阵表示
（3）负厄米矩阵的行列式为实数。 （4）负厄米矩阵的复本征值必共轭成对出现。即负厄米矩阵的迹为实数。 （5）负厄米矩阵 P 的指数 ei P 必为负厄米矩阵。 （6） 若负厄米矩阵 P 可以表示为 Σ3Ω ，Ω 为半正定的厄米矩阵， 则 P 的本征值必全部为实数。 5、定义五 定义 2n 维复矩阵是复 Fermi 群 F (2n, C ) 的元素，如果它满足如下关系
0 ΣF = In In 0
24
M ΣF M = ΣB
C A D −1 设： M = ，则有： M = B C B
, a jn ,
)
T
.
∂Ψ ∂t a1 H11 a2 H 21 ∂ i = ∂t am H m1
ˆΨ ， =H H12 H 22 H m2 H1n H 2n H mn a1 a2 ， an
ˆ 的本征值为 F , F , 选取 F 表象,设 F 1 2
, Fn ,
，对应的本征函数为 { n } ；
设体系处于 Ψ (r , t ) 态，在 F 表象中， Ψ → (a1
a2
an )T ， an = n Ψ
ˆ Ψ = n F ˆ n 1、平均值公式： F = Ψ F
上式右边可以写成矩阵相乘的形式：
ˆ 满足本征值方程 F ˆψ = F ψ ， 则任意的波函数 Ψ 可以用 { 2、如果算符力学量 F ψ n } 展开，即 n n n
Ψ = ∑ C kψ k
k =1 n
其中： C k 为力学量 F 在状态 Ψ 上取 Fn 的概率，因而可以把 {C n } 看作为 F 表象下的波函数
2
F 的本征函数 { ψ
ϕ β = ∑ Snβψ n
n
β = 1, 2,…
矩阵形式即为
ϕ1 ( x) S11 ϕ 2 ( x) S12 = ϕ β ( x) S1β
展开系数 S nβ 为：
S 21 S 22 S2β
S n1 Sn2 S nβ
S nβ = ∑ Sα m F
+ mn
mn
( A) mn
S nβ .
用矩阵形式简记作
F ( B ) = S + F ( A) S
（ F ( B ) = S −1 F ( A) S ）
ˆ 由 A 表象到 B 表象的变换公式。 这就是力学量 F
说明：不同的教材，表象变换公式有所区别。原因在于选择哪一个为原表象，即 S 矩阵是如 何定义的。 2、态矢量（波函数）的变换
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{a (t ) =
n
n Ψ } —— Ψ ( x, t ) 在 Q 表象中的表示;
ˆ 在 Q 表象中的表示。 ˆ n —— F Fmn = m F
有 b1 (t ) F11 b2 (t ) F21 = bn (t ) Fn1
二、表象（幺正）变换 （一） 、变换矩阵 1、两个表象 A 与 B 基矢的关系——变换矩阵
ˆ ：正交归一本征函数系为ψ ( x),ψ ( x), ; 设表象 A 1 2 ˆ ：正交归一本征函数系为 ϕ ( x),ϕ ( x), . 表象 B 1 2
将 ϕ β ( x) 按ψ n ( x) 展开，即令
ˆ 和B ˆ 的本征函数系展开： 设态矢量为 Ψ ( x, t ) ，将其分别按 A ˆ 表象中的展开为： Ψ ( x, t ) = a (t )ψ ( x) ； 态矢量为 Ψ ( x, t ) 在 A ∑ m m
m
ˆ 表象中的展开为： Ψ ( x, t ) = ∑ b (t )ϕ ( x) . 态矢量为 Ψ ( x, t ) 在 B α α
1 （4）负幺正矩阵全部本征值成对应关系 λ *j = λ − k 。
4、定义四
负厄米矩阵定义为： P − = P
（1）负厄米矩阵的厄米、复数共轭、转置和逆还是负幺正矩阵。 （2）负厄米矩阵与厄米矩阵之间的关系是：由一者可以推出另一者
I 0 − + P = Σ 3Q ， Σ 3 = ， P = P，Q = Q 0 −I
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A+ A D P = = + B C −D
−
−1
−B+ C+
负厄米操作具有如下性质
I （1） P − = ΣP + Σ −1 ， Σ = n 0
0 。 In
−
* − * − （2）反线性加法性 ( c1 P 1 + c2 P 2 ) = c1 P 1 + c2 P 2 。
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实际上是联系两个基矢的变换矩阵。 2、变换矩阵的特点： S + S = SS + = I . （ S + = S −1 ）
满足 S + S = SS + = I 矩阵称为幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变换称幺正变换。 3、变换矩阵的确定方法 显然，变换矩阵 S 的确定是表象变换的关键。下面给出一个确定变换矩阵 S 的方法。 参见：
F12 F22 − λ Fn 2
F1n F2 n Fnn − λ
a1 a2 = 0 . an
上式实际上是一组线性齐次方程组：
∑ (F
n
mn
− λδ mn )an = 0, (m = 1,2,3, ) .
这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即
象，使 F 矩阵对角化。 §2.2 线性量子变换简介（ LQT ） 一、数学准备 1、定义一 全体满足下式的 2n 维复矩阵 M ∈ C 2 n×2 n
0 ΣB = −I n In 0
1 Σ− B = −Σ B
M ΣB M = ΣB
构成一个 2n 维复辛群 S p (2n, C ) 。M 是 M 的转置矩阵，如果 M ∈ S p (2n, C ) ，则 M ∈ S p (2n, C ) 。
（二） 、算符、态矢量的表象变换 1、算符（力学量）的变换
ˆ 在 A 表象中的矩阵元为： F ( A) = ψ * ( x) F ˆ n ， 设算符 F mn ∫ m ˆψ n ( x) dx = m F ˆ 在 B 表象中的矩阵元为： F ( B ) = φ * ( x) F ˆ β . 算符 F αβ ∫ α ˆφβ ( x)dx = α F
ψ 1 ψ 2 ψ n
S nβ = A Ψ n ϕ β
B
以 S nβ 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。 从数学角度来看 S nβ = A Ψ n ϕ β
B
是 A 表象基矢与 B 表
象基矢的内积；从物理角度来看变换矩阵把 A 表象的基矢通过上式变换为 B 表象的基矢，它
C −D A D −1 设： M = ，且有 ，则有： M = B C −B A
BA = BA ， CD = CD ， CA − BD = I n
2、定义二 偶数维矩阵的负厄米操作定义为：设 2n 维矩阵
A D 百度文库= B C
其中 A, B, C , D 均为 n × n 矩阵，则对 P 负厄米操作
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F11 − λ F21 Fn1
F12 F22 − λ Fn 2
F1n F2 n
=0.
Fnn − λ
, λn ,
就是 F 的本征值。把求得的根 λi 分别代入方程
上述方程称为久期方程，它的根 λ1 , λ2 ,
就可以求得与 λi 对应的本征矢 Ψ j → ( a j1 , a j 2 , 3、薛定谔方程： i
则由变换矩阵 S ，可以由 a 矢量得到 b 矢量：
(B) * * * * + ( A) bβ (t ) = ∫ φβ ( x)Ψ ( x, t )dx = ∑ ∫ψ m ( x) Sm β Ψ ( x, t ) dx = ∑ S mβ am (t ) = ∑ S β m am (t ) . m m m
第二章
量子变换理论
§2.1 表象理论 一、表象概述 （一） 、Hilber 空间 1、在量子力学中，状态（波函数）用 Hilbert 空间的矢量描述，称为态矢量。 2、态矢量随时间的变化由 Hilbert 空间中的一个线性算符 H 决定
i
∂ ˆ Ψ (t ) Ψ, t = H ∂t
（二） 、表象的建立 1、在进行具体计算时，常常需要选用一定的“坐标系” ，即进入一定的表象。
α
态矢量 Ψ ( x, t ) 在 A 表象和 B 表象中分别用列矩阵简写为
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a1 (t ) a2 (t ) a= am (t )
及
b1 (t ) b2 (t ) b= bα (t )
( A) B) 则由变换矩阵 S ，可以由 Fmn 得到 Fα( β ：
(B) * * ˆ * * ˆ Fαβ = ∑ ∫ψ m ( x) Sm α FS nβψ n ( x ) dx = ∑ S mα [ ∫ψ m ( x )Fψ n ( x ) dx ]S nβ
= ∑S F
* mα mn
mn
( A) mn