多元分布的基本概念
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因此,样本资料可用矩阵语言表示为
x11
X
x21
x12 x22
x1 p x2 p
X1,
X
2 , ,
X
P
X X
' (1)
' (2)
xn1
xn 2
xnp
X
' (
N
)
定义一 设 X1, X 2,, X P 为p个随机变量,由它们组成的向量X (X1, X 2,, X P )' 称作随机向量。
X1 X2
1 2
E X p
p
是一个p维向量,称为均值向量。
2、性质 1) 设为常数,则 E(aX) aE(X); 2)设 A, B,C 分别为常数矩阵,则
E(AXB C) AE(X)B C
3)设 X1, X2,, Xn为 n 个同阶矩阵,则
E(X1 X2 Xn ) EX1 EX2 EXn
四、随机向量的数字特征
(一)、随机向量X的均值
x11 x12
X
x21
x22
x1p
x2
p
xn1
xn 2
xnp
是由随机变量构成的随机矩阵。
设 X (X1, X2,, X P )' 有p个分量。若
E Xi i i 1, 2, , p
存在,我们定义随机向量X的均值为
E(X)
E E
若(x, y) 0,两随机向量相互独立。
若随机向量 X X1, , X P '的协方差阵存在,
且每个分量的方差大于零,则X的相关阵定义为:
R corr X i , X j rij pp
rij
cov Xi , X j ,
DXi D X j
i, j 1, 2, , p
rij 也称为分量 Xi 和 X j 之间的相关系数。
(二)、协方差矩阵
1、定义:设 x (x1, x2,, xp )和 y ( y1, y2,, yq ) 分 别为 p 维和 q 维随机向量,则其协方差矩阵为
E
x1 x2
百度文库
E(x1) E(x2 )
y1
E( y1)
xp E(xp )
y2 E( y2 )
yq
E(
yq
)
cov(
Cov(Ax,By) ACov(x,y)B
三、相关系数矩阵 若(x1,x2,…,xp)’ 和(y1,y2,…,yp)分别是p 和q维随机向量,则其相关系数矩阵为
(x1, y1)
(x,
y)
(
x2 ,
y1
)
(x1, y2 )
(x2, y2 )
(x1, yq ) (x2, yq )
(xp , y1) (xp , y2 ) (xp , yq )
在研究社会、经济现象和许多实际问题时,经常遇到
多指标的问题。例如研究职工工资构成时,计时工资、基 础工资与职务工资、各种奖金、各种津贴等都是同时需要 考察的指标;又如在研究公司的运营情况时,要涉及公司 的资金周转能力、偿债能力、获利能力及竞争能力等财务 指标,这些都是多指标的研究问题。显然,仅研究某个指 标或将这些指标割裂开来分别研究,都不能从整体上把握 所研究问题的实质。一般地,假设我们所研究的问题涉及p 个指标,n次观测,这将会得到np个数据,我们的目的就是 对观测对象进行分组、分类或分析、考察这p个变量之间的 相互关联程度,或找出内在规律等。下面我们简要介绍多 元分析中涉及的一些概念。
Var
(x)
cov(
x2
,
x1
)
cov( x1, x2 )
var( x2 )
cov( x1, xp ) cov( x2, xp )
cov( xp , x1) cov( xp , x2 ) var( xp )
2、性质
1)若(x1,x2,…,xp)’ 和(y1,y2,…,yp)相互独 立。则
var( x1)
Var
(x)
0
0
var( x2 )
0 0
0
0
var( xp )
2)随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。 证:设a为任意与X有相同维数的常数向量,则
aa a[E(x )(x )]a E[a(x )(x )a] E[a(x )]2 0
3、若(x1,x2,…,xp)’ 和(y1,y2,…,yp)分别 是p和q维随机向量,A和B为常数矩阵,则
x1
,
y1
)
cov(
x2
,
y1
)
cov( x1, y2 )
cov( x2, y2 )
cov(
x1
,
yq
)
cov(
x2
,
yq
)
cov(
X
,Y
)
cov( xp , y1) cov( xp , y2 ) cov( xp , yq )
x (x1, x2,, xp )的协方差矩阵为
var( x1)
一、随机向量
我们所讨论的是多个变量的总体,所研究的数据是同 时观测p个指标(即变量),又进行了n次观测得到的,我 们把这p个指标表示为 X1, X2,, XP, 常用向量
X ( X1, X 2 ,, X P )'
表示对同一个体观测的p个变量。若观测了n个个体,则 可得到np个数据,称每一个个体的p个变量为一个样品, 而全体n个样品形成一个样本。
cov( x1, y1) cov( x2, y1)
cov( x1, y2 )
cov( x2, y2 )
cov( x1, yq )
cov(
x2
,
yq
)
0
cov( xp , y1) cov( xp , y2 ) cov( xp , yq )
若(x1,x2,…,xp)’的分量相互独立, 则协方 差 矩阵, 除主对角线上的元素外均为零,即