线性代数第一章行列式功课参考解答

第一章行列式作业参考解答

3.如果排列

是奇排列,则排列的奇偶性如何？

n x x x 2111x x x n n -解：排列

可以通过对排列经过次邻换得到，

11x x x n n -n x x x 21(1)

(1)(2)212

n n n n --+-+++=

每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当为偶数时，排列为奇排列，当为奇数时，排

2)1(-n n 11x x x n n -2

)

1(-n n 列

为偶排列。

11x x x n n -4. 写出4阶行列式的展开式中含元素

且带负号的项.

13a 解：含元素

的乘积项共有，，，

13a 13223144(1)t a a a a -13223441(1)t a a a a -13213244(1)t a a a a -，，六项，各项列标排列的逆序数分别为

13213442(1)t a a a a -13243241(1)t a a a a -13243142(1)t a a a a -，，，，，

(3214)3t τ==(3241)4t τ==(3124)2t τ==(3142)3t τ==(3421)5t τ==， 故所求为，，。

(3412)4t τ==132231441a a a a -132134421a a a a -132432411a a a a -5.按照行列式的定义,求行列式的值.

n n 00

00

0010

0200

10

-解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有

，

1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a ---- 其中，故行列式的值等于：

(1)(2)

[(1)(2)21]2

n n t

n n n τ--=--=

(1)(2)

2

(1)

!

n n n ---6. 根据行列式定义,分别写出行列式的展开式中含的项和含的项.

x

x x x x 111123111212-4x 3

x 解：展开式含

的乘积项为4x 04

11223344(1)(1)22t a a a a x x x x x -=-⋅⋅⋅=含

的乘积项为3x 13

12213344(1)(1)1t a a a a x x x x -=-⋅⋅⋅=-8. 利用行列式的性质计算下列行列式：

解： (1)

4113112342112341

111111*********

3410121

10

310

()34123412012124

1

2

34

12

30321

r r r r r r r r r r r -÷--+++------

42

4332111111

113012101

2110

10

1011(4)(4)160004000410044

0004

r r r r r r +--+=⨯⨯⨯-⨯-=-----(2)

（第二行与第四行相同）

2

60

523211

2131412-123121

124112411321

056

2

2021320350

5620562

c c r r r r -↔-=--+(3)

222

31

13222

22

21

111111

222202221110a ab b r a r a a b b r r a a b b b a

b a r ar a ab b ab a b a -+↔-+------23

32111111()()012()012()000b a b a r ar b a a b a b a b a

=------=-+- (4)

34

2

1211110011

0011111111

111111110000111111111111

11x x x r r x x x x r r x x x x

x

x

+----=-+---4122

4

432111

001100

011011

00

11001100

1100

0r r x

x

x

r r x x r r x x

----=---9.若

=0,求

5

4

3008765432

1x .

x 解：

12

341500

5678

26001544(512)00337426350

4

5

483

5

x x x x =⨯=--转置

即有：124(512)

05

x x --=⇒=

11. 利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式：

解： (2)

1243100

10

110(1)(1)010*********a a a a a D a D a a a

a a

a

a

+----=-+--------按第一行展开11323212(1)(1)(1)(1)(1)]

n n n a D a D a D aD D a D aD +--=----=-+=-+[一般地有，其中：

221221(1)[(1)](1)(1)a a D aD aD a a D a a D =--++=-++-，.带入上式即可。

2221(1)111a a

D a a a a a

-=

=-+=-+--111D a a =-=-12. 设4阶行列式，求

.c

d

b a

a c

b d a d b c

d c b a D =

444342414A A A A +++解：显然，行列式

按第四列展开，即得。注意到该行列式的第四列与第一

11

11

a b c c b d d b c a

b d 44342414A A A A +++列元素成比例，其值为0，故

.

142434440A A A A +++=14. 当、取何值时，齐次线性方程组λμ⎪⎩⎪

⎨⎧=+

+=++=+

+0

2003

2

1

321

321x x x x x x x x x μμλ有非零解？

解：当系数行列式

时，齐次

1

11120

1121

100(1)001

21121

D λ

λμλμ

μμμλμ

μμ----==-==--=-线性方程组有非零解，于是要求

10

λμ==或B

15.计算下列行列式: