高等数学不定积分PPT课件

该例显 ,在示 运用分部,可 积能 分会 法出 时现下 : 列
f(x )d x (x ) a f(x )d x (a 1 ).
此,时 经移项并在任 等意 式常 右 C后 ,数 端 便加 可得出 所求的不定积分
f(x)dx1 1a(x)C.
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例6 解
计算 I x2a2dx.
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x2 a2
x x2 a2
2
二.不定积分的计算
利用不定积分的性质 换元法( 第一、第二 ) 分部积分法 部分分式法
3
3. 不定积分的分部积分法
分部积分法积 是分 计时 算应 不用 定种 较方 广 . 法 泛 该方法与函数导 的公 乘式 积相 求: 对应
设u 函 (x )v ,(x 数 )在I 区 上间 ,可 则微 有 ( u ( x ) v ( x ) ) u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) .
u (x )v (x )d x u (x )v (x ) u (x )v (x )d x .
该公式称为不分 定部 积积 分分 的. 公式
分部积分公式 数将 的一 积个 分函 计算 一转 个化为 函数的积.分计算
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一般说来, 当被积函数为下列形式之一时, 可考虑 运用分部积分法进行计算:
幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 幂函数与指数函数之积 , 指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它方法积分 , 两个函数的乘积 .
1
x
I x 2 a 2d x xx 2 a 2 x 2 d x x 2 a 2
xx2a2(x2a2a2)dx
x2a2
xx 2 a 2 x 2 a 2 d x a 2 d x x 2 a 2
x x 2 a 2 I a 2 l|n x x 2 a 2 |
故 I x 2 a 2 d x 1 x x 2 a 2 a 2 l|x n x 2 a 2 | C .
利用递推关系式 可以由低次幂函 数的积分计算出 高次幂函数的积 分.
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例,如 求 I3 (lxn )3dx.
I3x(lxn )33I2,
I2x(lx)n 22I1,
I 2 x (x l ) 2 n 2 ( x lx n ( x C ))
I1xln xI0,
I1 xln x (x C )
解
exco xdx s exsix nexsixd n x
ex
sinx
exsix n( exco xsexco xdx s)
e x co xs exsixn exco xsexco xdx s
故 e xcx o d x s 1 e x (s x icn x o ) C s . 2
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计算 arccxodxs.
arccxos
1
1 x 1 x2
arc xd x c x o as rc x cx o 1 d x x s 2
x arx c c 1 x o 2 C s .
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例4 计算 x2sinxdx.
x2
sinx
2x co xs
解 x2sixd n x x2co x 2 s xco xdx s
2
2
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例7
计算 (lxn )ndx, n Z.
解 记In (ln x)ndx, 则
(ln x)n
1
n(lnx)n1 1 x
x
In(l x )n n d x x (l x )n n n(l x )n n 1 d x
x(lxn )nnIn 1. 于是, 得到一个递推关系: 式
Inx(lx)n n nIn 1.
1
1
2 sin 2 x
xc s3 io x x d n x s 2 sx2 ix n 1 22 s dx 2 ix n
xcs2xc1cox tC.
2
2
cso x i3d x n s xd s(i3x x n s) ind uu 3 (usixn)
1 2u2C2s1i2x nC .
8
例3 解
I0(lxn )0dxdxxC ,
6
例1 计算 xsinxdx.
u(x)x v(x)sixn
u(x)1 v(x)coxs
解 xsixd n x x ( co x ) s ( co x )dx s xcoxscoxsdx
x c x o sx i C s . n
7
例2 解
计算 xcsoi3nxsxdx.
x
cos x
sin 3 x
如果 u (x )v 函 (x )与 u (数 x )v (x )的原,函 对数 上存 边关x积 于,分 便得到
u (x )v (x )d x u (x )v (x ) u (x )v (x )d x .
该公式称为不分 定部 积积 分分 的. 公式
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定理
设 u ( x ) 函 ,v ( x ) 在 数 I 上 区 .若 可 间 u ( x ) 函 v ( x 微 ) 数 在区间 I 上的原函数, 存 则在
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十五讲 不定积分及其计算（续）
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第五章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换
元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限。
x
coxs
1 sinx
x2co x2 s(xsix nsixd n x)
x 2 c x o 2 x sx s i 2 c n x o C . s
该例说 , 与明 换元法 , 只一 要样 条件 , 允许 分部积分法可 用 . 以连续使
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例5 计算 excoxsdx.
ex
coxs
e x sinx