运筹学第五章排队论
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1
§1 排队系统的基本概念
§1.1 排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输 入过程；2.排队规则；3.服务机构。现分别说 明：
Ë ¿ ¹ Í µ ½ ´ ï · þ Î ñ ¹ æ Ô ò ë È À ¤
Ë ¿ ¹ Í Ô ´
Å ¶ Ó ½ á ¹
Å ¶ Ó ¹ æ Ô ò
þ Î · ñ » ú ¹
2. 排队规则
1）顾客到达后接受服务分为即时制（损失制） 和等待制。即时制不形成队列，而对于等待制将 会形成队列，顾客可以按下规则接收服务： （1）先到先服务 FCFS （2）后到先服务 LCFS （3）随机服务RAND （4）有优先权服务 PR。 2 ）从队列的空间可分为有容量限制和无容量 限制。 3）从队列数可分为单列和多列。
4
3. 服务机构
1 ）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 1 . . 2 n . . 1 2 ¡ ¡ £ £ £ ¡ n ¤ ¶ µ Ó ¶ à · þ Î ñ Ì ¨£ ¨² ¢ Á Ð £ ©
¤ ¶ µ Ó µ ¤ · þ Î ñ Ì ¨
含优化设计与优化运营。 问题1 系统中顾客数=平均队列长（Lq）+1？
11
§2.3 排队论主要知识点
• 排队系统的组成与特征 • 排队系统的模型分类 • 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布 • 稳态概率Pn的计算 • 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) • 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS] • 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] • 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
2.负指数分布
可以证明当输入过程是泊松流时，两顾客相继到 达的时间间隔T独立且服从负指数分布。（等价）
E[T ] 1
1 Var[T ] 2
λ 表示单位时间内顾客平均到达数。 1/λ 表示顾客到达的平均间隔时间。
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过 研究排队系统运行的效率指标，估计服务质 量，确定系统的合理结构和系统参数的合理 值，以便实现对现有系统合理改进和对新建 系统的最优设计等。 排队问题的一般步骤： 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间 间隔分布和服务时间分布(可实测)。 2. 研究系统状态的概率。系统状态是指 系统中顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t 时刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。
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1 1 2 ... n 2 3 ¤ ¶ µ Ó ¶ à · þ Î ñ Ì ¨£ ¨´ ® Á Ð £ © ì º » Ï Ð Î Ê ½
1
2
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
Pn (0) 0
………(1)
当n=0时，则
dP0 (t ) P0 (t ) dt P0 (0) 1
∴
瞬态方 程
………(2)
（1）、（2）两式求导并令导数为0，得稳态概率：
P0 ( t ) e t （没有顾客到达的概率）
( t ) t Pn (t ) e n!
n
9
求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差 分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由 于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也 很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的 话) ： lim p (t ) p n
t
n
称为稳态(stea百度文库y state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)的解。 稳态的物理意义见右图， pn 系统的稳态一般很快都 能达到，但实际中达不 到稳态的现象也存在。 值得注意的是求稳态概 率Pn并不一定求t→∞的 稳定状态 过渡状态 极限,而只需求Pn’(t)=0 10 图3 排队系统状态变化示意图 即可。
第五章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。 1909 年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师 A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
§3 到达间隔时间分布和服务时间 的分布
一个排队系统的最主要特征参数是 顾客的到达间隔时间分布与服务时间分 布。要研究到达间隔时间分布与服务时 间分布需要首先根据现存系统原始资料 统计出它们的经验分布（见P315—319）， 然后与理论分布拟合，若能照应，我们 就可以得出上述的分布情况。
14
§3.1 经验分布
12
• • • •
• • •
•
M/M/C型系统和C个M/M/1型系统 系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/∞) 顾客源为有限的多服务台模型(M/M/C/∞/M) 一般服务时间的（M/G/1）模型 – Pollaczek-Khintchine(P-K) 公式 –定长服务时间 M/D/1模型 爱尔朗服务时间M/Ek/1模型 排队系统优化 M/M/1 模型中的最优服务率u – 标准的M/M/1Model – 系统容量为N的情形 M/M/C模型中最优服务台数C 13
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数 D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall 记号(适用于并列服务台)即：[X/Y/Z]:[A/B/C]
6
式中：X——顾客相继到达间隔时间分布。 M—负指数分布Markov，D—确定型分布Deterministic， Ek—K阶爱尔朗分布Erlang， GI— 一般相互独立随 机分布(General Independent)， G —一般随机分布。 Y——填写服务时间分布（与上同） Z——填写并列的服务台数 A——排队系统的最大容量 B——顾客源数量 C——排队规则 如 [M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过 程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无 限源，先到先服务的排队系统模型。
15
§3.2 理论分布
1.泊松分布
在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变 量为X，则有：
P{x n}
e
n
n!
n=0,1,2,…
（ 1）
式中λ 为常数(λ >0)，称X服从参数为λ 的泊松分布， 若在上式中引入时间参数t，即令λ t代替λ ，则有：
( t ) n t Pn{t } e n!
( t )k k!
级数
∴
k 0
2 n x x ex 1 x ... ... 2! n! k ( t ) t t t e E[ N(t )] e t e t
k!
同理方差为：
Var(N(t )) t
21
顾客到达过程是一个泊松过程(泊松流)。
经验分布是对排队系统的某些时间参数根据 经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果假 设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法 进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的 经验数据服从该假设分布。 分布的拟合检验一般采用2检验。由数理统 计的知识我们知：若样本量n充分大(n≥50)，则 当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自由度 为k-r-1的 2分布，其中k为分组数，r为检验分 布中被估计的参数个数。
Pn{t1, t 2} P{N (t 2) N (t1) n}
（t2>t1，n≥0）
当Pn(t1,t2)符合下述三个条件时，顾客到达过程 就是泊松过程(顾客到达形成普阿松流)。
17
普阿松流具有如下特性：
. t0 t1 . t2 . … . tn-1 . tn . .
① 无后效性：各区间的到达相互独立, 即 Markov 性。
P{x(tn ) n |x(t1 )x1 ,x(t2 )x2 ,...,x(tn1 )xn1 } P{x(tn ) n |x(tn1 )xn1 }
也就是说过程在t+Δ t所处的状态与t以前所处的状 态无关。 ②平稳性：即对于足够小的Δ t，有：
P1 ( t，t t ) t ( t )
t
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被 服务的顾客数c (2)平均逗留时间(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间。 平均等待时间(Wq):指一个顾客在系统中排队等待的时间。 (3)忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为 空闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾客 数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度） 4.排队系统指标优化
n2 n
P0+P1+P≥2=1
由此知，在(t，t+Δ t)区间内没有顾客到达的概率 为：
P 0 (t , t t ) 1 t o(t )
令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)
在上述假设下，t时刻系统中有n个顾客的概率pn(t)：
19
dPn (t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) dt
t>0，n=0,1,2,…
（ 2）
与时间有关的随机变量的概率，是一个随机过程， 即泊松过程。 16
在一定的假设条件下 一个泊松过程。
顾客的到达过程就是
若设N(t)表示在时间区间 [0,t)内到达的顾客数 (t>0),Pn(t1,t2) 表 示 在 时 间 区 间 [t1,t2)(t2>t1) 内 有 n(≥0)个顾客到达的概率。即：
……(3)
（n个顾客到达的概率） （4）
20
期望
E[ N (t )] nPn (t ) e t
n 1
e
t
t
n 1
(t ) (n 1)!
k0
n 1 n 1
(t )n n n!
t E [ N ( t )] e t 令k=n-1，则：
在[t,t+Δ t]内有一个顾客到达的概率与t无关, 18 而与Δ t成正比。
λ >0 是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称 为概率强度。
③ 普通性：对充分小的 Δ t,在时间区间（ t,t+Δ t） 内有2个或2个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小. 即
P (t , t t ) o(t )
¼ 1 Å ¶ Í Ó Ï µ Í ³ Ê ¾ Ò â Í ¼
2
1. 输入过程
输入即为顾客的到达，可有下列情况：
1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。 2）顾客是成批到达或是单个到达。 3）顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。 4）顾客到达可能是相互独立的或关联的。所谓 独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。 5）输入过程可以是平稳的（stationary）或说 是对时间齐次的（Homogeneous in time），也可以 是非平稳的。输入过程是平稳的是指顾客相继到达 的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关； 非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。 3
7
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断 :即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。 2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 3. 最优化问题：即包括最优设计 ( 静态优化 ) ， 最优运营（动态优化）。
§1 排队系统的基本概念
§1.1 排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输 入过程；2.排队规则；3.服务机构。现分别说 明：
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2. 排队规则
1）顾客到达后接受服务分为即时制（损失制） 和等待制。即时制不形成队列，而对于等待制将 会形成队列，顾客可以按下规则接收服务： （1）先到先服务 FCFS （2）后到先服务 LCFS （3）随机服务RAND （4）有优先权服务 PR。 2 ）从队列的空间可分为有容量限制和无容量 限制。 3）从队列数可分为单列和多列。
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3. 服务机构
1 ）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
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含优化设计与优化运营。 问题1 系统中顾客数=平均队列长（Lq）+1？
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§2.3 排队论主要知识点
• 排队系统的组成与特征 • 排队系统的模型分类 • 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布 • 稳态概率Pn的计算 • 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) • 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS] • 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] • 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
2.负指数分布
可以证明当输入过程是泊松流时，两顾客相继到 达的时间间隔T独立且服从负指数分布。（等价）
E[T ] 1
1 Var[T ] 2
λ 表示单位时间内顾客平均到达数。 1/λ 表示顾客到达的平均间隔时间。
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§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过 研究排队系统运行的效率指标，估计服务质 量，确定系统的合理结构和系统参数的合理 值，以便实现对现有系统合理改进和对新建 系统的最优设计等。 排队问题的一般步骤： 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间 间隔分布和服务时间分布(可实测)。 2. 研究系统状态的概率。系统状态是指 系统中顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t 时刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。
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2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
Pn (0) 0
………(1)
当n=0时，则
dP0 (t ) P0 (t ) dt P0 (0) 1
∴
瞬态方 程
………(2)
（1）、（2）两式求导并令导数为0，得稳态概率：
P0 ( t ) e t （没有顾客到达的概率）
( t ) t Pn (t ) e n!
n
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求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差 分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由 于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也 很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的 话) ： lim p (t ) p n
t
n
称为稳态(stea百度文库y state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)的解。 稳态的物理意义见右图， pn 系统的稳态一般很快都 能达到，但实际中达不 到稳态的现象也存在。 值得注意的是求稳态概 率Pn并不一定求t→∞的 稳定状态 过渡状态 极限,而只需求Pn’(t)=0 10 图3 排队系统状态变化示意图 即可。
第五章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。 1909 年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师 A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
§3 到达间隔时间分布和服务时间 的分布
一个排队系统的最主要特征参数是 顾客的到达间隔时间分布与服务时间分 布。要研究到达间隔时间分布与服务时 间分布需要首先根据现存系统原始资料 统计出它们的经验分布（见P315—319）， 然后与理论分布拟合，若能照应，我们 就可以得出上述的分布情况。
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§3.1 经验分布
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• • • •
• • •
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M/M/C型系统和C个M/M/1型系统 系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/∞) 顾客源为有限的多服务台模型(M/M/C/∞/M) 一般服务时间的（M/G/1）模型 – Pollaczek-Khintchine(P-K) 公式 –定长服务时间 M/D/1模型 爱尔朗服务时间M/Ek/1模型 排队系统优化 M/M/1 模型中的最优服务率u – 标准的M/M/1Model – 系统容量为N的情形 M/M/C模型中最优服务台数C 13
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数 D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall 记号(适用于并列服务台)即：[X/Y/Z]:[A/B/C]
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式中：X——顾客相继到达间隔时间分布。 M—负指数分布Markov，D—确定型分布Deterministic， Ek—K阶爱尔朗分布Erlang， GI— 一般相互独立随 机分布(General Independent)， G —一般随机分布。 Y——填写服务时间分布（与上同） Z——填写并列的服务台数 A——排队系统的最大容量 B——顾客源数量 C——排队规则 如 [M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过 程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无 限源，先到先服务的排队系统模型。
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§3.2 理论分布
1.泊松分布
在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变 量为X，则有：
P{x n}
e
n
n!
n=0,1,2,…
（ 1）
式中λ 为常数(λ >0)，称X服从参数为λ 的泊松分布， 若在上式中引入时间参数t，即令λ t代替λ ，则有：
( t ) n t Pn{t } e n!
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∴
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2 n x x ex 1 x ... ... 2! n! k ( t ) t t t e E[ N(t )] e t e t
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顾客到达过程是一个泊松过程(泊松流)。
经验分布是对排队系统的某些时间参数根据 经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果假 设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法 进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的 经验数据服从该假设分布。 分布的拟合检验一般采用2检验。由数理统 计的知识我们知：若样本量n充分大(n≥50)，则 当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自由度 为k-r-1的 2分布，其中k为分组数，r为检验分 布中被估计的参数个数。
Pn{t1, t 2} P{N (t 2) N (t1) n}
（t2>t1，n≥0）
当Pn(t1,t2)符合下述三个条件时，顾客到达过程 就是泊松过程(顾客到达形成普阿松流)。
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普阿松流具有如下特性：
. t0 t1 . t2 . … . tn-1 . tn . .
① 无后效性：各区间的到达相互独立, 即 Markov 性。
P{x(tn ) n |x(t1 )x1 ,x(t2 )x2 ,...,x(tn1 )xn1 } P{x(tn ) n |x(tn1 )xn1 }
也就是说过程在t+Δ t所处的状态与t以前所处的状 态无关。 ②平稳性：即对于足够小的Δ t，有：
P1 ( t，t t ) t ( t )
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3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被 服务的顾客数c (2)平均逗留时间(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间。 平均等待时间(Wq):指一个顾客在系统中排队等待的时间。 (3)忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为 空闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾客 数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度） 4.排队系统指标优化
n2 n
P0+P1+P≥2=1
由此知，在(t，t+Δ t)区间内没有顾客到达的概率 为：
P 0 (t , t t ) 1 t o(t )
令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)
在上述假设下，t时刻系统中有n个顾客的概率pn(t)：
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dPn (t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) dt
t>0，n=0,1,2,…
（ 2）
与时间有关的随机变量的概率，是一个随机过程， 即泊松过程。 16
在一定的假设条件下 一个泊松过程。
顾客的到达过程就是
若设N(t)表示在时间区间 [0,t)内到达的顾客数 (t>0),Pn(t1,t2) 表 示 在 时 间 区 间 [t1,t2)(t2>t1) 内 有 n(≥0)个顾客到达的概率。即：
……(3)
（n个顾客到达的概率） （4）
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期望
E[ N (t )] nPn (t ) e t
n 1
e
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(t ) (n 1)!
k0
n 1 n 1
(t )n n n!
t E [ N ( t )] e t 令k=n-1，则：
在[t,t+Δ t]内有一个顾客到达的概率与t无关, 18 而与Δ t成正比。
λ >0 是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称 为概率强度。
③ 普通性：对充分小的 Δ t,在时间区间（ t,t+Δ t） 内有2个或2个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小. 即
P (t , t t ) o(t )
¼ 1 Å ¶ Í Ó Ï µ Í ³ Ê ¾ Ò â Í ¼
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1. 输入过程
输入即为顾客的到达，可有下列情况：
1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。 2）顾客是成批到达或是单个到达。 3）顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。 4）顾客到达可能是相互独立的或关联的。所谓 独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。 5）输入过程可以是平稳的（stationary）或说 是对时间齐次的（Homogeneous in time），也可以 是非平稳的。输入过程是平稳的是指顾客相继到达 的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关； 非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。 3
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§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断 :即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。 2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 3. 最优化问题：即包括最优设计 ( 静态优化 ) ， 最优运营（动态优化）。