线性系统观测器

sI − A − BK ⋅ sI − A − LC = ( s 2 + 3.6 s + 9)( s 2 + 16 s + 64) = s 4 + 19.6 s 3 + 130.6s 2 + 374.4 s + 576 = 0
由于闭环传递函数为：
Y ( s) 778.16 s + 3690.72 = 2 R ( s ) ( s + 19.6 s + 151.2)( s 2 − 20.6) + s 2 + 19.6 s + 151.2 778.16 s + 3690.72 = 4 s + 19.6 s 3 + 130.6 s 2 + 374.4 s + 576
3 带观测器的调节器系统设计
利用极点配置与观测器方法，讨论调节器系统的设计问题。 考虑图中表示的调节器系统（参考输入为零） 。控制对象的传递函数 为：
Y ( s) 10( s + 2) = U ( s ) s ( s + 4)( s + 6)
利用极点配置方法设计一个控制器，使得系统在下列初始条件下：
1.5 1 x1 0.5 0 -0.5 x2 0 1 2 t(sec) 3 4
1 0 -1 -2 -3
0
1
2 t(seFra Baidu bibliotek)
3
4
0.6 0.4 e1 0.2 0 -0.2 e2
0
-0.5
-1
0
1
2 t(sec)
3
4
-1.5
0
1
2 t(sec)
3
4
2控制器-降维观测器的传递函数
降维观测器方程： = ( A22 + LA12 ) z + [−( A22 + LA12 ) L + A21 + LA11 ] y + ( B2 + LB1 )u z 定义：
其中我们选择观测器的极点为： s = −8, s = −8
（1）试求观测器增益矩阵 L，并画出观测器-状态反馈控制系统的方框图。 （2）然后求该控制器-观测器的传递函数
U (s) ，并且在前向通路中，以控制器-观测 −Y ( s )
器作为串联控制器，画出另一种方框图。 （3）最后求该系统对下列初始条件的响应：
（3）最后我们来求系统对下列初始条件的响应：
⎡1 ⎤ ⎡0.5⎤ x(0) = ⎢ ⎥ , e(0) = ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣0⎦
系统对初始条件的响应可有下式确定：
⎡ x ⎤ ⎡ A + BK ⎢e⎥ = ⎢ 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ − BK ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x(0) ⎤ ⎢ 0 ⎥ ，⎢ ⎥ = A + LC ⎥ ⎢ e ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ e(0) ⎦ ⎢0.5⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z = Az + By + Fu =Az + By + F [ K 2 z + ( K1 − K 2 L) y ] = ( A + FK 2 ) z + [ B + F ( K1 − K 2 L)] y
定义：
ˆ ˆ A = A + FK 2 ˆ ˆ B = B + F ( K1 − K 2 L) C = K2 D = K1 − K 2 L
设计步骤 1：导出系统的状态空间表达式。因为系统的传递 函数为：
Y ( s) 10( s + 2) = U ( s ) s ( s + 4)( s + 6)
所以相应的微分方程为：
y + 10 y + 24 y = 10u + 20u
定义状态变量如下：
x1 = y − β 0u x2 = x1 − β1u x3 = x2 − β 2u
z = Az + By u = Cz + Dy
U ( s ) = [C ( sI − A) −1 B + D ]Y ( s ) = −[C ( sI − A) −1 B + D][−Y ( s )]
控制器-降维观测器的传递函数为
U ( s) = −[C ( sI − A) −1 B + D] −Y ( s )
s = −4.5, s = −4.5
求得新的 L 为
⎡ 1 ⎤ L=⎢ ⎥ ⎣ −6.25⎦
其次，求观测器控制器的传递函数为
1.2109 s 2 + 11.2125s + 25.3125 1.2109( s + 5.3582)( s + 3.9012) Gc ( s ) = = s 2 + 6 s + 2.1406 ( s + 5.619)( s + 0.381)
9.1s 2 + 73.5s + 125 9.1( s + 5.6425)( s + 2.4344) Gc ( s ) = = s 2 + 17 s − 30 ( s + 18.6119)( s − 1.6119)
定义带这个观测器控制器的系统为系统 1。
9.1s 2 + 73.5s + 125 s 2 + 17 s − 30
K = [ −29.6 −3.6]
采用该状态反馈增益矩阵 K，可得控制信号 u 为
⎡x ⎤ u = Kx = [ −29.6 −3.6] ⎢ 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦
假设采用观测器-状态反馈控制替代真实状态反馈控制，即
ˆ ⎡x ⎤ ˆ u = Kx = [ −29.6 −3.6] ⎢ 1 ⎥ ˆ ⎣ x2 ⎦
U ( s) 为： −Y ( s )
778.16 s + 3690.72 s 2 + 19.6s + 151.2
1 s − 20.6
2
刚才设计出的观测器-状态反馈控制系统的动态特性，可以用下面的方程描述： 对于控制对象，
1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 =⎢ ⎢ x ⎥ 20.6 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢1 ⎥ u ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎡x ⎤ y = [1 0] ⎢ 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦
K ( sI − A − LC − BK ) −1 L
控制器-观测器的传递函数：
U (s) = K ( sI − A − LC − BK ) −1 L −Y ( s )
注意到控制器-观测器矩阵 A + LC + BK 可能稳定也可能不稳定，虽然 A + BK 和 A + LC 被选定为稳定矩阵。事 实上，在某些情况下，矩阵 A + LC + BK 可能是稳定性很差的甚至是不稳定的。
10( s + 2) s ( s + 4)( s + 6)
观测器控制器在右半平面内有一个极点（s=1.6119） 。在观测器控制器中存 在一个右半 s 平面的开环极点，意味着系统是开环不稳定的。但闭环系统是稳 定的。后者可以从该系统的特征方程看出：
sI − A − BK ⋅ sI − A22 − LA12 = s 5 + 27 s 4 + 255s 3 + 1025s 2 + 2000s + 2500 = ( s + 1 + j 2)( s + 1 − j 2)( s + 5)( s + 10)( s + 10) = 0
⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ x(0) = ⎢0 ⎥ , e(0) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎢0⎥ ⎣ ⎦
y(t)的最大超调量为 25%~35%， 调节时间约为 4 秒。 上式中的 x 为控制对象的状态向量，e 为观测器误差向量。 （假设我们采用的是 降维观测器，并设只有输出量 y 是可以测量的。 ）
带观测器的调节器系统的设计步骤如下： 1．推导系统的状态空间模型。 2．选择希望的闭环极点进行极点配置，同时选择希望的观测器 极点。 3．确定状态反馈增益矩阵 K 和观测器增益矩阵 L。 4．利用第 3 步中求出的增益矩阵 K 和 L，推导观测器控制器的 传递函数。如果控制器是稳定的，检验其对给定初始条件的响应。如 果响应不能令人满意，则应调整闭环极点的位置和（或）观测器极点 的位置，直到获得满意的响应为止。
即
⎡ x1 ⎤ ⎡ −16 ˆ ˆ 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 16 ⎤ + y ⎢ ⎥=⎢ ˆ ⎦ ⎣ −93.6 −3.6 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢84.6 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎢ x2 ⎥ ⎣ ⎣ˆ ⎦
（2）控制器-观测器的传递函数
U ( s) = K ( sI − A − LC − BK ) −1 L −Y ( s ) 778.16 s + 3690.72 = 2 s + 19.6 s + 151.2
⎡1 ⎤ ⎡ 0.5⎤ ˆ x(0) = ⎢ ⎥ , e(0) = x(0) − x(0) = ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣0 ⎦
（1） 观测器增益矩阵 L：
⎡ −16 ⎤ L=⎢ ⎥ ⎣ −84.6 ⎦
观测器方程为：
ˆ ˆ x = ( A + LC ) x + Bu − Ly ˆ u = Kx
ˆ ˆ x = ( A + LC + BK ) x − Ly
设计步骤 2：作为初次尝试，选择希望的闭环极点位于
s = −1 + j 2, s = −1 − j 2, s = −5
并且选择希望的观测器极点位于
s = −10, s = −10
设计步骤 3：
K = [ −1.25 −1.25 −0.19375] ⎡ −10 ⎤ L=⎢ ⎥ ⎣ 24 ⎦
设计步骤 4：确定观测器控制器的传递函数。观测器控制器 的传递函数为
ˆ ˆ x = ( A + LC ) x + Bu − Ly ˆ u = Kx
ˆ 取拉普拉斯变换，设初始观测状态为零，即 x (0) = 0 。可得
ˆ X ( s ) = −( sI − A − LC − BK ) −1 LY ( s ) U ( s ) = − K ( sI − A − LC − BK ) −1 LY ( s )
注意到这是一个稳定的控制器。 定义带这个观测器控制器的 系统为系统 2。求解系统 2 对下列给定初始条件的响应：
⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ x(0) = ⎢0 ⎥ , e(0) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎢0⎥ ⎣ ⎦
ˆ 将 u = Kx 代进系统的状态方程，得到
⎧ ⎡0 ⎤ ⎫ ⎡x ⎤ ⎡ x ⎤ ˆ x = Ax + BKx = Ax + BK ⎢ 1 ⎥ = Ax + BK ⎢ 1 ⎥ = Ax + BK ⎨ x − ⎢ ⎥ ⎬ ˆ ⎣ x2 ⎦ ⎣ x2 − e ⎦ ⎩ ⎣e⎦ ⎭ ⎡0⎤ = Ax + BKx − B [ K1 K 2 ] ⎢ ⎥ =(A + BK ) x − BK 2 e ⎣e⎦
采用不稳定控制器的缺点，是当系统的直流增益变小时，系统会变成不稳 定的。这种系统既不是人们所希望的，也不是人们愿意接受的。因此，为了获 得满意的系统，必须改变闭环极点的位置和（或）观测器的极点的位置。
第二次尝试： 对于极点配置， 我们保持前面所设的希望闭环 特性位置，但将观测器的极点位置改变如下：
对于观测器， ⎢
⎡ x1 ⎤ ⎡ −16 ˆ ˆ 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 16 ⎤ ⎥=⎢ ⎥⎢ˆ ⎥+⎢ ⎥y ˆ ⎦ x2 ⎥ ⎣ −93.6 −3.6 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣84.6 ⎦ ⎢ ⎣
ˆ ⎡x ⎤ u = [ −29.6 −3.6] ⎢ 1 ⎥ ˆ ⎣ x2 ⎦
作为整体而言，该系统是四阶的，其系统特征方程为：
式中
β0 = 0 β1 = 0 β 2 = 10 β3 = −80
于是状态空间方程和输出方程可以求得为：
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎢ x ⎥ = ⎢0 0 1 ⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢ 10 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 −24 −10 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ −80⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ y = [1 0 0] ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
观测器控制器
• • • •
1控制器-观测器的传递函数 2控制器-降维观测器的传递函数 3带观测器的调节器系统设计 4带观测器的控制系统设计
考虑由
x = Ax + Bu y = Cx
1控制器-观测器的传递函数
定义的系统。
ˆ 假设该系统状态完全可观测，但 x 不能直接测量。又设采用观测器-状态反馈控制 u = Kx 于是观测器方程为：
ˆ A = A22 + LA12 ˆ ˆ B = − AL + A21 + LA11 ˆ F = B2 + LB1
于是下列三个方程定义了降维观测器：
ˆ ˆ ˆ z = Az + By + Fu ˆ x2 = z − Ly ˆ u = Kx
ˆ u = Kx = [ K1
⎡y⎤ ˆ K 2 ] ⎢ ⎥ =K1 y + K 2 x2 = K 2 z + ( K1 − K 2 L) y ˆ x2 ⎦ ⎣
例：考虑下列控制对象的调节器设计：
x = Ax + Bu y = Cx
式中，
1⎤ ⎡ 0 ⎡0⎤ A=⎢ , B = ⎢ ⎥ , C = [1 0] ⎥ ⎣ 20.6 0 ⎦ ⎣1 ⎦
假设采用极点配置方法设计该系统，并使其闭环极点为 s = −1.8 + j 2.4, s = −1.8 − j 2.4 。 在此情况下，可得状态反馈增益矩阵 K 为