3.1.1 典型输入信号

R( s ) L[ r ( t )] A ( t )e
0 0 st

0
A ( t )e st dt
0
dt A ( t )e st dt A
单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。
㈤ 正弦函数
r( t )
正弦函数也称谐波函数，表达式为
理想的单位脉Biblioteka Baidu信号实际上是不存在的，只具有数学意义。 任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的，强度不 同的无限多个脉冲函数的叠加。
0
t
当A=1时，即面积为1的脉冲函数称 为单位脉冲函数，记为(t)
(t) 1
(t )
0 1/
t 0 ,t 0 t
t 0
（t）函数的图形如右图所示。 脉冲函数的积分就是阶跃函数。 脉冲函数的拉氏变换为
脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小， 幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度极短即可 近似认为是脉冲函数。如图所示。 A – 脉冲函数的积分，即脉冲的面积为
A A dt lim t |0 A r( t )dt 0 lim 0 0


A st A dt e |0 s s
单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。
㈡斜坡函数 斜坡函数也称等速度函数。其定义为
r( t )

0 At
t 0 t 0
输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化 的信号，其图形如图所示。 A 若A=1,则称之为单位斜坡函数。 斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。
如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信 号，则选用斜坡函数较合适；
如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选 用阶跃函数较合适。 需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系 统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。 这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性 能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便 于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的 情况下的输入信号作为典型实验信号。 本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函数、脉 冲函数等输入信号作用下的输出响应。
0
t 1
R( s ) L[ r( t )]
斜坡函数的拉氏变换为
0
At st A st A Ate dt e |0 e dt 2 0 s s s
st
单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/s2
㈢抛物线函数
抛物线函数也称加速度函数，其定义为
t0 0 r( t ) 1 2 At t0 2 输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做 等加速变化的信号，其图形如图所示。 1 若A=1,称之为单位抛物线函数。 2 A 抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。
3.1.1 典型输入信号
㈠ 阶跃函数 阶跃函数的定义是
r (t )

0 A
t 0 t 0
对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一 个恒值输入量，如图所示。 若A=1，称为单位阶跃函数，记作1(t) A
1( t )
阶跃函数的拉氏变换为

0
0 1
st
t 0 t 0
0
t
R( s ) L[r (t )] A e
0 ASint t 0 t 0
用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的 正弦输入的稳态响应。 正弦输入的拉氏变换为
R( s ) L[ r( t )] ASinte dt
st 0


0
A jt jt st ( e e )e dt 2j
A e ( s j ) t e ( s j ) t [ |0 |0 ] 2j s j s j A 1 1 A [ ] 2 2 j s j s j s 2
抛物线函数的拉氏变换为
R( s ) L[ r ( t )]


0
1 2
0 At 2 e st dt
1
t
At A 2 st A st t e | e dt 3 0 0 2s s s
单位抛物线函数的拉氏变换为R(s)=1/s3
㈣ 脉冲函数
脉冲函数的定义为
A r( t ) 0 0t t 0 和t