第一章 第三节 数学的魅力 (第二课时)

第一章绪论

第三节数学的魅力（第二课时）

教学目标

通过一些实例，让学员初步感受数学的魅力。

教学过程

（六）素数的奥秘

自然数是整个数学最重要的元素。

自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。

素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数；

大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”；

1则既不是素数也不是合数。

由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。

又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。

素数很早就被古希腊的数学家所研究。

2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。）

关于素数的规律，人类有许多的“猜想”。至今还有不少关于素数的重要猜想，既没

有被证明，也没有被否定。

有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言，“人类探寻素数规律的

历史，将等同于人类的整个文明史”。

三个关于素数规律的问题

从加法的角度研究素数

两个猜想：

每个足够大的偶数都是两个素数的和；

每个足够大的奇数都是三个素数的和。

后一个猜想现在已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。

前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。

从乘法的角度研究素数

算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的

乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。

算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性”的证明。

未解之谜：这个问题是：对任一个大于1的自然数，试给出一个一般的方法，以便较

快地找到有限个素数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数。

解决问题的本质困难，也在这两个步骤。虽然现在有了高速计算机，但是对于很大的

数a，例如200位的数a，这两步的计算仍然很费时日，以至于实际上是不可能解决问题的。这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路。

a =

b ×

c （ b 、c是两个很大的素数，比如都是100位的大素数）

在造密码时，你可以把a 公开，但b 、c对外保密，只有“我方”了解。

必须知道b 、c才能破译密码。

“敌方”只知道a和密文，就无法了解密文的意思。要想破译密文，首先需要把a分解

为b × c 。但是因为a 这个数很大，以及上面提到的本质困难，把a分解为b × c是

很费时日的。

找一个公式来表示素数

费马素数 (1640年)

Fn = 2 ∧ 2∧n + 1

（n=0,1,2,3,4），n=5时Fn为合数，而不是质数。

Fn=4 294 967 297=641*6 700 417

梅森素数 (1644年)

Mn = 2∧n – 1

（n = 2、3、5、7、13、17、31、67、127、257 ），n=67,n=257是合数。

（七）蒲丰投针的故事

研究偶然性问题的概率论与研究确定性问题的平面几何是两个不同的分支。但是数学家蒲丰在1777年的某一天，却用随机投针的方法去求圆周率。

蒲丰把一些朋友请到家里，他事先在一张大纸上画好了一条条等距离的平行线，又拿出许多质量均匀、长度为平行线间距离一半的小针，请客人把针一根一根的随意扔到白纸上。

（八）“化归”的方法

“化归”，是把未知的问题，转化为已知的问题；把待解决的问题，归结为已解决的问题，从而解决问题的过程。

波利亚：关于“烧水”的例子

1.给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个空水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么办？

2.给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个已装了半壶水的水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么办？

（九）体会公式 中的数学美

在 中，可以从公式

令 = 得到。 用 “等号” 连接了数学中五个重要的常数，反映了数学的“统一美”。

在公式中，5个常数，各自具有重要含义：

1.0是正数和负数的分界；

2.1是自然数的计数单位，是一个自然数与它的先前数的差；

3.e 重要极限的一个重要结果，属于分析的范畴；

4.i 是方程x 2+1=0的根，属于代数的范畴；

5. Π是圆周长与直径的比，属于几何的范畴

6.等式，表达各部分之间的很强的联系。

10i e π

+=

10i e π+= θ π

三、课堂小结

关于数学的魅力有如下结语：

音乐能激发或抚慰人的感情，

绘画能使人赏心悦目，

诗歌能动人心弦，

哲学使人聪慧，

科学可以改善生活，

而数学能做到所有这一切。

克莱因

四、练习

1.如图，将1～9这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法) --数阵图

2.在5个5中间加上运算符号或括号使得运算结果分别为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

3.抓三堆的奥秘

三堆分别为(1)1,2,3

(2)2,3,7

规则：每次可以拿每堆中的1个或2个，不能多拿或不拿；谁拿最后一个谁失败，怎样拿法才能获胜？