第六讲 正态随机过程

2 平稳正态过程的n维概率密度函数
平稳正态过程一维概率密度函数：
fX (x) =
1
e−
(
x−mX
2σ
2 X
)2
2π σ X
平稳正态过程二维概率密度函数：
fX
( x1 ,
x2 ;τ
)
=
2πσ
2 X
1
1− r2 (τ )
⋅
exp
⎡ ⎢−
( x1
−
mX
)2
−
2r(τ
)( x1
−
mX
)( x2
−
mX
)
+
( x2
fY ( y;t) =
fX
( y − s(t);t ) dx
dy
=
fX
( y − s(t);t )
且服从正态分布。
同理，Y(t)的二维概率密度为：
f Y
(
y1,
y2
;
t1
,
t
2)
=
fX
( y1 − s(t1), y2 − s(t2);t1, t 2)
(正态分布)
同理，可证明合成信号的n维概率密度也是正态过程。
K X (t, s) = e−2|t−s|
求在时刻 t1 = 0,t2 = 1,t3 = 2 抽样的三维概率 密度？
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解 由定义式可知
fX
( x1 ,
x2 ,
x3;t1, t2 , t3 )
=
1
3
(2π )2
K
1 2
exp ⎡⎢− ⎣
xT K −1x ⎤
2
⎥ ⎦
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性质5
n维正态随机矢量序列的均方极限仍为n维正
态随机矢量，即设
X
k
=
[
X1(
k
)
,
X
(k 2
)
,
⋅
⋅
⋅,
X
(k n
)
]
为n维
实正态随机变量，又 lim X (k) = X ，即对于每
个1,2,…,n均有
lim
k →∞
X (k) i
=k →X∞i
，则 X = [ X1 , X 2 ,⋅⋅⋅, X n ]
∫ Y (t) = t X (λ)dλ a,t ∈T a
也是正态过程。
性质8 正态随机过程通过线性系统后的输出仍为正 态过程。
推论 正态过程的线性变换仍为正态过程。
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例 设Ｘ(t)为零均值高斯过程，其协方差为
1.5 正态(高斯)随机过程
一 正态随机过程的一般概念
1 定义 如果随机过程X(t)的任意n维概率分布都
是正态分布，则称它为正态随机过程或高斯 随机过程，简称正态过程或高斯过程。
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1
2 概率密度函数
fX
( x1 ,
x2 ,", xn ;t1, t2 ,", tn )
∫ ∫ ∫ ∫ =
1 0
1
0 RX (u, v)dudv =
1 0
1 e−|u−v|dudv
0
∫ ∫ ∫ =
1
(
v e−v+u du +
1 e−u+vdu)dv = 2e−1
00
v
可得
fY ( y) =
1
4π e−1
⋅ exp[−
y2 4e−1
]
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=
1
n
(2π ) 2 σ σ X1 X2 ...σ Xn
.exp{−
1 2
n i =1
(xi − mi ) 2}
σ2 Xi
∏n
=
i =1
1
2πσ i
exp{−
( xi
−
mi
)
2
}
=
2σ i
fX (x1;t1) fX (x2;t2 ) ⋅⋅⋅
f X (xn ;tn )
即两两相互独立。
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K11 K12 K13
1 e−2 e−4
其中 K = K21 K22 K23 = e−2 1 e−2
K31 K32 K33 e−4 e−2 1
将K代入，即可得出三维概率密度。
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例 设Ｘ(t)为平稳高斯过程，其自相关函数为
RX (τ ) = e−|τ|
∫ 求随机变量 Y =
1
X (t)dt
的概率密度函数？
0
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解 因为Ｘ(t)为高斯过程，所以Y为高斯变量，则
1
E[Y ] = ∫0 E[ X (t)]dt = 0
∫ ∫ E[Y 2 ] = E[
1
X (u)dt
1
X (v)dv]
0
0
11
= ∫0 ∫0 E[ X (u) X (v)]dudv
E[( X n − mn )2 ]
Kij = K X (ti , t j ) = E[( X i − mi )( X j − mj )] = rijσ iσ j
rij
=
K X (ti , t j )
σ iσ j
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3 性质
正态随机过程的n维概率密度函数只取决于均值和 协方差和相关系数。
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性质4 平稳正态过程与确定信号之和概率密度函数 仍服从正态分布。
证明
设X(t)为平稳正态过程，S(t)为确定性信号，合成信 号为Y(t)=X(t)+S(t)，
那么对于任意时刻t，Y(t)=X(t)+S(t)为随机变量，这
时S(t)具有确定值，由随机变量函数的概率密度求出
Y(t)的一维概率密度函数为：
4 复随机正态随机过程
若复正态随机过程Z(t)的n个采样时刻得到n个复随 机变量，即
Zi = Z (ti ) = X (ti ) + jY (ti ) = Xi + jYi 其中，Xi 、Yi 皆为实随机变量。
此n个复随机变量的联合概率密度应是2n维随机变量 的联合概率密度服从正态分布。
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二 平稳正态随机过程
1 平稳正态随机过程的定义
若正态随机过程满足下列条件，则它是宽 平稳正态随机过程。
⎧ ⎨⎩RX
mX (ti ) = mX
(ti,tj ) = RX (τ
j−i ),
τ
j−i
=
tj
− ti ,
(i, j =1,2,",n)
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KX (ti,tj ) = E[(Xi −mi )(X j −mj )] = E[(Xi −mi)]E[(X j −mj )] = 0 则正态随机过程在n个不同时刻的取值不相关。
(2) 如果Xn(n＝1,2,…,)两两之间互不相关，则
⎧0
KX
(ti
,t
j
)
=
E[( Xi
−
mi
)(
X
j
−
mj
)]
=
⎨⎩σ
2) 由于正态过程的均方值总是有界的，因此严平 稳正态过程一定是宽平稳的。
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性质3 正态过程的不相关与相互独立等价。
证明 若X(t)在n个不同时刻采样得到一组随机变量为X1, X2,…,Xn
(1) 如果Xn(n＝1,2,…)两两之间相互独立，则对任意的 i, j ∈ {1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n}, i ≠ j
为n维正态随机矢量。
性质6 若正态过程X(t)在T上均方可微，则其导数 X ′(t)也是正态过程。
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性质7
若正态过程 X(t)在T上均方可积，则积分过程
∫ Y (t) = b X (λ)h(λ,t)dλ b,t ∈T a
2
K11 K12 " K1n
E[( X1 − m1)2 ]
" E[( X1 − m1)( X n − mn )]
K
=
K 21 "
K 22 "
" "
K2n "
=
E[( X 2 − m2 )( X 2 − m2 )] "
" "
E[( X 2 − m2 )( X n − mn )] "
Kn1 Kn2 " Knn E[( X n − mn )( X1 − m1)] "
j =1
⎦
式中，R是相关系数 rij 构成的行列式，形式如下
r11 r12 " r1n 1 r12 " r1n
R
=
r21 #
r22 #
" "
r2n #
=
r21 #
1 #
" r2n "#
rn1 rn2 " rnn rn1 rn2 " 1
Rij为行列式中元素 rij 的代数余子式。
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2 i
i≠ j i= j
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所以 K = ⎢⎢⎡σ#12
... ...
0⎤
#
⎥ ⎥
⎢⎣ 0
"
σ
2 n
⎥⎦
则
K −1
=
⎡σ
⎢ ⎢
－2 1
#
... ...
0⎤
#
⎥ ⎥
⎢⎣ 0
"
σ
－2 n
⎥⎦
K
=
σ
12σ
2 2
"σ
2 n
因此
∑ f X
(x1,⋅⋅⋅, xn ;t1,⋅⋅⋅, tn )
7
三 正态随机过程的性质
性质1 正态随机过程的n维概率密度完全由它 的均值函数和协方差函数所确定。
性质2 正态过程的严平稳与宽平稳等价。
证明 1) 由正态随机过程的概率密度表达式可知，它的
任意n维概率密度仅由均值，方差和相关系数唯 一确定。如果正态随机过程X(t)是宽平稳，则其 均值和方差是常数，相关系数只与时间差有关， 因此它的任意n维概率密度函数与时间起点无关, 因此是严平稳的。
=
1
n
(2π )2
K
1 2
exp ⎡⎢− ⎣
(X
−mX
)T
K −1(X 2
−mX
)⎤ ⎥ ⎦
上式中,mX是n维均值向量，K是n维协方差矩阵
⎡ x1 ⎤
XHale Waihona Puke Baidu
=
⎢ ⎢ ⎢
x2 #
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎣
xn
⎥ ⎦
⎡ mX (t1) ⎤
mX
=
⎢ ⎢
m
X
(t2
⎢#
)
⎥ ⎥
⎥
⎢ ⎣
m
X
(tn
)
⎥ ⎦
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−
mX
)2
⎤ ⎥
⎢⎣
2σ
2 X
⎡⎣1 −
r2 (τ )⎤⎦
⎥⎦
其中 r 为相关系数。
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平稳正态过程n维概率密度函数：
f X (x1,", xn ;τ1,",τ n−1)
∑ ∑ =
1
(2π
)n
R
⋅
σ
n X
exp
⎡ ⎢− ⎣
2
1
Rσ
2 X
n i =1
n
⎤
Rij (xi − mX )(x j − mX )⎥