对数运算法则

对数与对数运算
教学目标
1、 理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；
2、 掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.
知识梳理
一、对数的定义
一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b
=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的
对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

特别提醒： 1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。

2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。

3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。

为了简便, N 的常用对数N 10log ， 简记作：lg N 。

例如：10log 5简记作lg 5 5.3log 10简记作lg 3.5。

4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。

为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。

如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。

二、对数运算性质：
如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有：
log ()log log a a a MN M N =+log log log a a a M
M N N
=- log log () n a a M n M n R =∈
特别提醒：
1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。

如[]
2log (3)(5)--是存在的，但[]
222log (3)(5)log (3)log (5)--=-+-是不成立的。

2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg 2lg101+==；
三、对数的换底公式及推论： 对数换底公式：()log log 0,1,0,1,0log m a m N
N a a m m N a
=
≠≠>>>
两个常用的推论:
（1）1log log =⋅a b b a
（2）1log log log =⋅⋅a c b c b a
四、两个常用的恒等式：
N a N a =log ，
log log m n a a n
b b m
=
()0,1,0,0a a b N ≠>>>
例题讲解
类型一 指数式与对数式的相互转化
例1：将下列指数式与对数式进行互化．
(1)3x
＝127；
(2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
＝64； (3)5－
1
2 ＝1
5；
(4)4＝4；
(5)lg0.001＝－3; (6)
1
1)＝－1.
解析：(1)log 31
27＝x .
(2) log 14 64＝x .
(3)log 5
1
5
＝－12.
(4)(2)4
＝4. (5)10－3
＝0.001. (6)(2－1)－1
＝2＋1.
答案：见解析
练习1：将下列指数式与对数式进行互化． (1)e 0
＝1；
(2)(2＋3)－1
＝2－3； (3)log 327＝3； (4)log 0.10.001＝3.
答案：(1)ln1＝0.(2)
2log -＝－1.(3)33
＝27.(4)0.13
＝0.001.
练习2：将下列对数式与指数式进行互化．
(1)2－4＝116；(2)53
＝125；(3)lg a ＝2；(4)log 232＝5.
答案：(1)log 21
16＝－4.
(2)log 5125＝3. (3)102＝a . (4)25＝32.
类型二 对数基本性质的应用 例2：求下列各式中x 的值．
(1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； 解析：(1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝1，∴x ＝5.
(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103
＝1 000.
答案：（1）x ＝5.（2） x ＝1 000.
练习1：已知log 2(log 3(log 4x ))＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值． 答案：80
练习2：已知4a
＝2，lg x ＝a ，则x ＝______. 答案：10
类型三 对数的运算法则
例3：计算(1)log a 2＋log a 1
2(a >0且a ≠1)；
(2)log 318－log 32； (3)2log 510＋log 50.25；
解析：(1)log a 2＋log a 12＝log a (2×1
2)＝log a 1＝0.
(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2. (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2. 答案: （1）0（2）2（3）2
练习1：计算log 535＋2log 22－log 51
50－log 514的值．
答案:4
练习2：计算：2log 510＋log 50.25的值为________． 答案：2
类型四 带有附加条件的对数式的运算
例4：lg2＝a ，lg3＝b ，试用a 、b 表示lg108，lg 18
25
.
解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(33
×22
)＝lg33
＋lg22
＝3lg3＋2lg2＝2a ＋3b .
lg 1825＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lg 102
22＝lg2＋lg32－lg102＋lg22
＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a ＋2b －2.
答案：3a ＋2b －2.
练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg 45.
答案：0.8266
练习2：若lg x －lg y ＝a ，则lg(x
2)3
－lg(y
2)3
等于( )
A ．a
2
B ．a
C ．3a
2
D ．3a
答案:D
类型五 应用换底公式求值
例5: 计算：lg 12－lg 5
8
＋lg12.5－log 89·log 278.
解析：lg 12－lg 5
8＋lg12.5－log 89·log 278
＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·lg8
lg27
＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×85×252－
2lg33lg3
＝1－23＝13. 答案：1
3
练习1:
计算(log 2
125＋log 4
25＋log 8
5)·(log 5
2＋log 25
4＋log
125
8)．
答案：13
练习2:log 89·log 32的值为( ) A ．23 B ．1
C ．32
D ．2
答案：A
类型六 应用换底公式化简
例6: 已知log 89＝a ，log 25＝b ，用a 、b 表示lg3. 解析：∵log 89＝lg9lg8＝2lg3
3lg2＝a ，①
又∵log 25＝lg5lg2＝1－lg2
lg2＝b ，②
由①②消去lg2可得：lg3＝3a
21＋b .
答案：lg3＝3a
21＋b
.
练习1: 已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 1456＝( ) A ．
ab ＋3
ab ＋1
B ．
a b ＋3
ab ＋1
C ．
b ＋3
ab ＋1
D ．
ab －3
ab ＋1
答案：A
练习2: 已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg5用p 、q 表示为( ) A ．pq B ．
q
p ＋q
C ．1＋pq p ＋q
D ．pq
1＋pq
答案：B
自我练习
1、使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．0＜a ＜1
2且a ≠1
B ．0＜a ＜1
2
C ．a ＞0且a ≠1
D ．a ＜12
答案： B
2、已知x 、y 为正实数，则下列各式正确的是( )
A ．2lg x ＋lg y 2＝2lg x ＋2lg y
B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y
C ．2(lg x ·lg y )＝2lg x ＋2lg y
D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y
答案：A
3、若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12
lg15等于( )
A ．2a ＋b 1－a ＋b
B ．2a ＋b
1＋a ＋b
C ．a ＋2b 1－a ＋b
D ．a ＋2b 1＋a ＋b
答案：A 4、．log 52·log 425等于( ) A ．－1 B ．12
C ．1
D ．2
答案：C
5、化简log 1a b －log a 1
b 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2log a b
D ．－2log a b
答案:A
课后作业
基础巩固
1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －1
2等于( )
A ．13
B ．123
C ．122
D ．133
答案：C
2．若f (10x )＝x ，则f (3)的值为( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310
答案：B
3．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝a ＋3b －c
B ．x ＝3ab
5c
C ．x ＝ab 3
c 5
D ．x ＝a ＋b 3－c 3
答案：C
4．方程2log 3x ＝1
4的解是( )
A ．
3
3
B ．3
C ．1
9
D ．9
答案：C 5．e ln3－e －ln2
等于( )
A ．1
B ．2
C ．52
D ．3
答案: C
能力提升
6．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 答案：-3
7．若log x (2＋3)＝－1，则x ＝________. 答案：2－3
8．已知log 32＝a ，则2log 36＋log 30.5＝________. 答案：2＋a
9. (1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m
＋n
的值；
(2)设x ＝log 23，求22x ＋2－
2x ＋2
2x ＋2－
x 的值． 答案：(1)12.
(2)103
. 10. 已知log a x ＋3log x a －log x y ＝3(a ＞1)． (1)若设x ＝a t ，试用a 、t 表示y ；
(2)若当0＜t ≤2时，y 有最小值8，求a 和x 的值． 答案：(1)y ＝at 2－3t ＋3(t ≠0)． (2)a ＝16，x ＝64.。