对数运算法则

对数与对数运算

教学目标

1、 理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；

2、 掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.

知识梳理

一、对数的定义

一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b

=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的

对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

特别提醒： 1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。 2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。

3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, N 的常用对数N 10log ， 简记作：lg N 。 例如：10log 5简记作lg 5 5.3log 10简记作lg 3.5。

4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。 如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。

二、对数运算性质：

如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有：

log ()log log a a a MN M N =+log log log a a a M

M N N

=- log log () n a a M n M n R =∈

特别提醒：

1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如[]

2log (3)(5)--是存在的，但[]

222log (3)(5)log (3)log (5)--=-+-是不成立的。

2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg 2lg101+==；

三、对数的换底公式及推论： 对数换底公式：()log log 0,1,0,1,0log m a m N

N a a m m N a

=

≠≠>>>

两个常用的推论:

（1）1log log =⋅a b b a

（2）1log log log =⋅⋅a c b c b a

四、两个常用的恒等式：

N a N a =log ，

log log m n a a n

b b m

=

()0,1,0,0a a b N ≠>>>

例题讲解

类型一 指数式与对数式的相互转化

例1：将下列指数式与对数式进行互化．

(1)3x

＝127；

(2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫14x

＝64； (3)5－

1

2 ＝1

5；

(4)4＝4；

(5)lg0.001＝－3; (6)

1

1)＝－1.

解析：(1)log 31

27＝x .

(2) log 14 64＝x .

(3)log 5

1

5

＝－12.

(4)(2)4

＝4. (5)10－3

＝0.001. (6)(2－1)－1

＝2＋1.

答案：见解析

练习1：将下列指数式与对数式进行互化． (1)e 0

＝1；

(2)(2＋3)－1

＝2－3； (3)log 327＝3； (4)log 0.10.001＝3.

答案：(1)ln1＝0.(2)

2log -＝－1.(3)33

＝27.(4)0.13

＝0.001.

练习2：将下列对数式与指数式进行互化．

(1)2－4＝116；(2)53

＝125；(3)lg a ＝2；(4)log 232＝5.

答案：(1)log 21

16＝－4.

(2)log 5125＝3. (3)102＝a . (4)25＝32.

类型二 对数基本性质的应用 例2：求下列各式中x 的值．

(1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； 解析：(1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝1，∴x ＝5.

(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103

＝1 000.

答案：（1）x ＝5.（2） x ＝1 000.

练习1：已知log 2(log 3(log 4x ))＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值． 答案：80

练习2：已知4a

＝2，lg x ＝a ，则x ＝______. 答案：10

类型三 对数的运算法则

例3：计算(1)log a 2＋log a 1

2(a >0且a ≠1)；

(2)log 318－log 32； (3)2log 510＋log 50.25；

解析：(1)log a 2＋log a 12＝log a (2×1

2)＝log a 1＝0.

(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2. (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2. 答案: （1）0（2）2（3）2

练习1：计算log 535＋2log 22－log 51

50－log 514的值．

答案:4

练习2：计算：2log 510＋log 50.25的值为________． 答案：2

类型四 带有附加条件的对数式的运算

例4：lg2＝a ，lg3＝b ，试用a 、b 表示lg108，lg 18

25

.

解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(33

×22

)＝lg33

＋lg22

＝3lg3＋2lg2＝2a ＋3b .

lg 1825＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lg 102

22＝lg2＋lg32－lg102＋lg22

＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a ＋2b －2.

答案：3a ＋2b －2.

练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg 45.

答案：0.8266

练习2：若lg x －lg y ＝a ，则lg(x

2)3

－lg(y

2)3

等于( )

A ．a

2

B ．a

C ．3a

2

D ．3a

答案:D

类型五 应用换底公式求值

例5: 计算：lg 12－lg 5

8

＋lg12.5－log 89·log 278.