几何画板使用方法与技巧 深度迭代和参数颜色功能
几何画板制作深度迭代的方法探究
对应规则：A→A'。
6、选中参数用加减键调整参数，可得到变化的多边形。
7、对参数创建“动画”。
温馨提示：最好在制作之前将精确度精确到个位。
最后制作的效果图：
二、正方形深度迭代
先看最终效果图，如何制作呢?
制作方法：
1、构造正方形、确定原象：
从左至右画线段AB（A、B即为原象）；
双击A点→选中AB→变换→旋转→逆时针旋转90°→得C；
双击C点→选中CA→变换→旋转→逆时针旋转90°→得D；
连续BD。
2、构造初象：
在线段AB上任取一点E（其中一个初象），按顺序选中A、B、E→度量→比→标记比；
双击B→将D按标记比进行缩放得另一初象F。
3、新建参数：n=25；
制作方法：
1、构造下图：
构造线段AB→以B为中心将A顺时针旋转90°得点C→以C为中心将B顺时针旋转90°得点D，连结BC、CD、DA得正方形ABCD。
2、以O为中心，分别将E、F、G、H按1：2的缩放比缩放得E’、F’、G’、H’，连结EE’、FF’、GG’、HH’和E’F’G’H’。
3、新建参数n=2
3、构造初象：
选中DC→按ctrl+M得DC的中点E→顺次选定E、C、D→构造→圆上的弧→在弧上构造点
F，连结DF、CF→隐藏弧。
4、新建参数n=3
5、深度迭代：
选中原象A、B和参数→变换→按住shift键→深度迭代；
对应规则：A对D，B对F；（新添映射）A对F，B对C。
6、设置F的“动画”；
7、系列按钮的创建：
4、深度迭代：选定A、B和n，按如下方式进行深度迭代。（注意：在下图显示中一定要选“最终迭代”）
几何画板的记录功能和迭代功能
几何画板的迭代功能
演示实例 例9： 教材P39 例2．18 用迭代功能绘 教材P39 制正十二边形 方法一：用圆绘制正多边形 方法二：用线段绘制正多边形
三、综合应用实例 三、综合应用实例
Байду номын сангаас
例10：正方形面积函数 10：
几何画板的记录功能 和迭代功能
几何画板的记录功能
记录文件实例：
例1：作等腰梯形的记录文件 例2：作正方形的记录文件 例3：作直角三角形的记录文件 例4：作半圆的记录文件 例5：验证勾股定理 例6：三个半圆 例7：利用循环功能作等边三角形 例8：应用我的变换例作正12边形 应用我的变换例作正12边形
几何画板课件制作系统使用方法与技巧
§1 利用参数构造动态函数解析式例1 构造动态的二次函数10(22+)4y的解析式．=x-+操作步骤：1a h k2h = 43．选择文本工具，输入y=，点击参数a，输入“（x”，按住shift键，点击-h,选择“符号与数值：+4”，输入“）”，在符号面板中选择上标工具，输入2，按住shift键，点击参数k，选择“符号与数值：+10”，输入完成．只要改变参数，函数解析式会自动变化．§2 利用动态的参数控制函数图像例2 构造一次函数b=y，使它的图象随参数自动变化．kx+操作步骤：1.建立无参数的蚂蚁平面直角坐标系，调整到适当大小与位置．2.构造动态参数：①在x轴上任意画两点A与B；②分别过A与B作x轴的垂线，并在垂线上各取一点，将标签分别改为k、b，构造线段kA、bB，隐藏垂线；③分别选中点k、b将标签分别改为k 、b ；3. 可得到函数图像．4. 利用参数构造动态解析式．§3 设置函数解析式中变量的取值范围如果要设置函数解析式中变量的取值范围或在平面直角坐标系中只显示部分图像，只需在输入函数解析式时用平方根控制其符号即可．如))))((((0J K y b kx b kx y b kx y -++-⋅++=其中k y 、J y 是y 轴上两个点的纵坐标，同样可限定x 的取值范围．§4 用描点法画函数的图像例3 用描点法画二次函数5)2(22--=x y 的图像． 操作步骤：1．建立无参数的蚂蚁平面直角坐标系，调整到适当大小与位置． 2．新建以下四个参数：ahkx3．h = –2a ∙x h ()2 + k = 13.005. 选中x=5与13)(2=+-k h x a二维数据表．6. 选中数据表，得到几个离散点．7. 绘制两个点：A （-1．2，0）与B （5．2，0），构造线段AB ，绘制线段AB 上一点C C 的横坐标C x ，计算k h x a C +-2)(（C x ,k h x a C +-2)(）．8. 选中点C 与D 换1．构造线段AC 并选中，执行变换1命令后，出现部分函数图像．选中点D ，标签设置为英文半角！号，字体为Wingdings 2，这时出现一个水笔，设置为红色． 9. 制作动作按钮：6C 拖到点A 处并选中点C 与BD ，制作点C 从B 到A10.隐藏不需要的线段和点．特殊字符设置方法一览表特殊字符设置方法一览表(续1)特殊字符设置方法一览表(续2)特殊字符设置方法一览表(续3)特殊字符设置方法一览表(续4)特殊字符设置方法一览表(续5)特殊字符设置方法一览表(续6)例4 用迭代法作圆的内接正十边形． 操作步骤：1. 新建参数n =10，计算︒=︒36360n．2. 画圆并在圆上取一点A ，将圆心O 标记为中心，选中A︒=︒36360n，确定，得到点B ．连接AB ，选中点A 与n =10，按住shift选择点A 的初像为B 改变参数n 的值，即可改变正多边形的边数．§6 用迭代法构造勾股树操作步骤： 1. 构造线段AB ．2.将点A标记为中心，旋转点B和线段AB，得到线段AD；以D为中心，旋转点A和线段AD，得到线段DC，连接BC，得到正方形ABCD．3.构造线段CD的中点E，依次选中E、C、D，构造出以CD为直径，E为圆心的半圆．4.在半圆上取一点F，度量AF的距离；选中A、B、C、D，构造四边形ABCD内部，把正方形填充上颜色；5.选中正方形的颜色和AF打开颜色参数对话框进行适当设置．6.新建参数t=10．7.隐藏半圆和点E，依次选中点A、点B和参数t=10，按住shift键，打选择点A的初象为D，点B的初象为F；添加新的映射，选择点A的初象为F，点B的初象为B，完成迭代．8.通过制作点F的动画和改变参数t的值即可控制勾股树的变化．§7 绘制函数图像时动态描点例5 绘制二次函数4)1(5.02--=x y 的图像时动态描点． 操作步骤： 1. 新建五个参数：a h k t 1t 22. 建立适当的平面直角坐标系，调整好各项参数．新建函数k h x a y +-=2)(，计算k h t a +-21)(，11+t ．3. 绘制点（-7，k h t a +-21)(），过这点分别作两坐标轴的垂线段．选中点（-7，k h t a +-21)(）与参数0102=t 厘米，构造一个圆点，隐藏不必要的点和线．4. 构造一条射线FG ，将点F 向右平移1cm ，得到点F '，度量00.1='F F 厘米，FG =3．44厘米，计算44.3='F F FG ，3=⎪⎭⎫⎝⎛'F F FG trunc ．5. 选中71-=t 与3=⎪⎭⎫⎝⎛'F F FG trunc 按住shift 键，执行深度迭代变换，选择71-=t 的初象为611-=+t ，确定即可． 6. 拖动点G 即可动态描点．§8 绘制函数图像时动态列表例6 绘制二次函数4)1(5.02--=x y 的图像时动态列表． 操作步骤： 1．新建五个参数：a h k t 12．新建函数k h x a y +-=2)(，计算k h t a +-21)(，11+t ，1)1(1-+t ，k h t a +--+21))1)1(((．3．构造一条射线FG ，将点F 向右平移1cm ，得到点F’，度量00.1='F F 厘米，FG =3．44厘米，计算44.3='F F FG ，3=⎪⎭⎫⎝⎛'F F FG trunc ． 4．构造迭代表格．具体方法：①构造一点A ，过点A 分别作两条坐标轴的平行线或垂线，构造两条互相垂直的直线，在两直线上各取一点B 与C ，隐藏直线，构造线段AB 与AC ．②在平面上新建一点U ，标记向量BA ，平移点U 得到点W ；以点U 为中心，按2：1缩放点W ，得到点X ；标记向量AC ，平移点U ，得到点V ；连接UX 、UV ，标记向量UV ，平移线段UX ，得到线段VY ，连接XY ；标记向量UW ，平移线段UV ，得到线段WZ ．从而得到一个“日”字型表格，通过移动点B 、C 的位置可改变表格的大小． 5．分别以U 、W 为中心，按1：2缩放Z 、Y ，得到两个点D 、E ．选中点D 与1)1(1-+t ，合并文本到点；选中点E 与k h t a +--+21))1)1(((，合并文本到点，隐藏不必要的点．6．依次选中点U 、参数1t 、3=⎪⎭⎫⎝⎛'F F FG trunc ，按住shift 键，执行深度迭代变换，选择U 的初象为V ，71-=t 的初象为611-=+t ，确定即可．7. 隐藏步骤5中得到的表头中的文本，按步骤5的方法建立文本x 、y ，拖动点G 即可动态列表．§9 一枚硬币绕另一枚硬币滚动操作步骤：1. 准备两幅圆形硬币图片，粘贴到几何画板文件中，调整圆形硬币的半径分别为5.21=r 厘米，25.12=r 厘米．2. 新建参数：5.21=r 厘米，25.12=r 厘米，计算5.1121=+r r r ． 3. 构造点A ，选中点A 与5.21=r命令，构造圆A ，选中点A 与半径为5.21=r4. 选中点A5.21=r 厘米，固定角度0°，得到点A '；按同样的方法平移点A '，得到点C ． 5. 在圆A 上构造一点B ，选中点A 、A '、B ，构造圆上的弧AB ，度量弧AB 的弧度与长度，并计算2180r AB ⋅⋅π的长度弧．6. 选中点B 25.12=r 厘米，固定角度为弧AB 的弧度，得到点B '．7. 选中点B '与点B ，构造圆B '，选中B '与半径为25.12=r 厘米的硬币，打开8. 双击点将B '，将点B '标记为中心，选中合并图片到点后的半径为25.12=r 厘米的硬币图片，打单，执令，旋转角度为2180r AB ⋅⋅π的长度弧，这样会得到一张新图片，将这张新图片再进行一次旋转，参数同上．这两次旋转中一次旋转是自转，另一次旋转是公转．9. 将点A 标记为中心，选中弧B A ',为5.1121=+r r r ． 10.选中点B ，构造动画点按钮，设置运动参数．小硬币自身旋转的圈数 = 2.03弧CB'的长度 = 15.95厘米r 1 + r 2r 1= 1.50180°∙弧A'B 的长度π∙r 2= 487.55°r 2弧A'B 的角度 = 243.77°弧A'B 的长度 = 10.64厘米r 1CB'A'A B§10 一元一次不等式组的解集图的构造例7 构造不等式组⎩⎨⎧>>b x a x 的解集图．操作步骤：1. 新建参数11=t ，12=t ，点击工具箱中的线工具，建立适当的数轴，隐藏不必要的元素．2. 在数轴上新建两点A 、B ，分别过点A 、B 作数轴的垂线，在所作的垂线上分别取点D 、E ，连接AD 、BE ．3. 度量BC 的长度，计算BC 101．标记向量CB ，以平移距离为BC 101，固定角度为180°平移点C ，得到点F ．标记向量AD ，平移点F 得到点H ；标记向量BE，平移点F得到点G，连接DH、EG．构造线段DH与直线BE的交点I，构造线段IH．标记向量DA，平移线段IH，得到线段BF．在线段BF上任取一点J，选中点J与线段BF，构造垂线，交EG与点K，连接KJ，设置线段KJ的适当线型．选中点J与KJ4.拖动点A到点B的右侧，构造直线AD与线段EG的交点N，构造线段NG，标记向量NA，平移线段NG得到线段AF，在线段AF上任取一点O，选中点O与线段AF，构造垂线，交NG与点P，连接PO，设置线段PO的适当线型．选中点O与PO，构造轨迹，得到下图．H5.隐藏不必要的点与线段，将点A、B的标签分别改变为a、b，拖动点A、B可得到如下两种图形．例8 构造不等式组⎩⎨⎧<>b x ax 的解集图．操作步骤：1．新建参数11=t ，12=t ，点击工具箱中的线工具，建立适当的数轴，隐藏不必要的元素．2．在数轴上新建两点A 、B ，分别过点A 、B 作数轴的垂线，在所作的垂线上分别取点D 、E ，连接AD 、BE ． 3．度量FC 的长度，计算FC 201．标记向量CF ，以平移距离为FC 201，固定角度为180°平移点C ，得到点H ．按同样的方法可得到点G ．标记向量AD ，平移点H 得到点I ；标记向量BE ，平移点G 得到点J ，连接DI 、EJ ．构造线段DI 与直线BE 的交点N ，构造线段DN ．标记向量DA ，平移线段DN ，得到线段AB ．在线段AB 上任取一点K ，选中点K 与线段AB ，构造垂线，交JE 与点L ，连接KL ．选中点K 与KL ，构造轨迹，得到下图．C4．拖动点A 到点B 的右侧，可得到下图．。
几何画板使用教程
3D 几何画板使用教程介绍这是一个几何画板工具。
几何画板是一个数学平台，能解决平面几何，平面解析几何的大多数问题。
但是，遇到立体几何问题就无能为力了。
可喜的是，几何画板提供了创建自定义工具的功能，正是利用这个功能，我做成了这个立体几何平台——3D 几何画板。
在这套工具问世之前，网上已经出现的一些表现立体几何的工具。
其中有美国保罗的3d 工具和霍焰老师制作的立体几何平台，还有Infinte 网友的3d 平台。
保罗的工具可以有中心投影和正投影两种显示方式，但是测量功能欠缺；霍焰老师的工具测量功能齐全，但是只能提供正投影的显示方式，立体感稍稍不足；Infinte 网友的工具界面友好，另外具备表面的材质编辑功能和灯光功能，但是测量功能较少。
这些工具各有所长，用法各异，但都是通过几何画板本身的自定义工具功能，通过计算用平面图象表现立体效果。
沿着这些工具的思路，我决定自己制作一套几何画板工具，综合它们的优点，并力求为高中立体几何的学习服务。
我的这套工具集成了较多的测量与作图功能，如直接测量面与面的夹角，作公垂线等。
另外，相比前面提及的工具，我还增加的空间旋转等功能，以满足立体几何教学的需要。
这套工具一共分成 3 个部分：1 基本工具。
主要是实现立体图形的构造，测量功能。
利用这个工具基本可以解决高中立体几何题了。
2 旋转工具。
功能是实现空间点绕轴的旋转。
利用这套工具可以制作立体图形的展开动画。
3 着色工具。
这套工具包含线段虚实工具（即将被平面遮挡的线段自动调至较浅颜色），平面着色工具以及二元函数的绘制工具。
利用这三个部分的工具，可以解决高中立体几何的大多数问题了。
讲讲我制作这套工具的经过吧。
我在2007 年初有了制作这套工具的想法，解决的3d核心的计算问题后，于 1 月初制成最初版本。
当时只能通过参数坐标值绘出点。
后来参考的霍焰老师的工具，解决的反求空间点的难题。
之后制作出这套工具的第一版，并发上了人民教育出版社的论坛。
几何画板迭代详解之：函数迭代
几何画板迭代详解之：函数迭代佛山市南海区石门中学 谢辅炬【多项式432()f x ax bx cx dx e =++++求根】 【分析】多项式求根的迭代式是1()()n n n n f x x x f x +=-'。
【步骤】1. 新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n ＝5。
2. 新建函数432()f x ax bx cx dx e =++++，画出它的图像。
3. 在图像上任取一点A ，度量A 的横坐标A x 。
4. 计算()()A A A f x x f x -'；计算()()()A A A f x f x f x -'。
5. 依次选择()()A A A f x x f x -'，()()()A A Af x f x f x -'单击【图表】【绘制点】。
得到点B 。
6. 度量B 的横坐标B x 。
7. 选中点A ，和参数n ，按住Shift 键，单击【变换】菜单【深度迭代】，弹出迭代对话框，单击点B 。
结果如图1所示。
图 1图 28. 选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C ，度量C点的横坐标C x 。
9. 观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。
10. 拖动A 点，改变它的位置。
观察表格可知道方程的另外一个近似根是3.41。
如图2所示。
【MIRA 】【步骤】1. 在平面上取一点A ，度量A 的横坐标A x 和纵坐标A y 。
2. 新建参数a ＝0.4，b=0，99875。
（b 取得尽量接近1）3. 新建函数22(1)()1a x f x ax x-=++。
4. 计算f(A x )＋b A y ,f(f(A x )＋b A y )-A x 。
注意这里用的是函数嵌套。
顺次选择这两个结果，单击【图表】【绘制（x ，y ）】。
得到点B 。
5. 顺次选择点B 和三个计算结果：f(A x )＋bA y ,f(f(A x )＋b A y )-A x ，A x 。
几何画板迭代全解
第二章：迭代与分形几何
分形作为现代数学的一个分支，从诞生的那天起，就有着独特的魅力。分形的特点是整体 与部分之间存在某种自相似性， 整体具有多种层次结构。 分形图片具有无可争议的美学感召力， 特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识， 但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺 脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的 河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。 分形的确贴近人们的生活， 因而由分形而来的分形艺术也并不遥远， 普通人也能体验分形之美。 因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们 先作以下两个约定。 1.用(A,B,C)表示有顺序的三点 A、B 和 C。 2.(A,B,C)(D,E,F,)，(G,H,I)表示 A 映射到 D，B 映射到 E，C 映射到 F,然后添加映射 A 映射到 G，B 映射到 H，C 映射到 I,以此类推。
例 2.1 Sierpinski 三角形
波兰著名数学家谢尔宾斯基在 1915-1916 年期间， 为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏三角” 、 “谢氏地毯” 、 “谢氏海绵” 、 “谢氏墓垛” 。如今，几乎任何一本讲
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《几何画板迭代全解》
图 1.1
图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图 1.2 中 A、B、C、D、E、F、G，各点 相距 1cm，那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右， 每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm。所以我们以 A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一 次得到 B 点，二次为 C 点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数，迭代的终点就 是最后的那个像。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代， 后者我们称之为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通 过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正 n 边形这个例子来看一下它们的区别。
最新《几何画板》使用方法简介教学讲义PPT课件
二、用构造菜单作图
图形内部的构造 ③扇形（弓形）内部的构造：
选定一段弧（或几段弧）后，单击菜单“构造”→ “弧内部”→“扇形内部”或单击菜单“构 造”→“弧 内部”→“弓形内部”，就可以绘出这段弧所对扇 形或弓形的内部。
二、用构造菜单作图
点的轨迹的构造 问题： P 为圆上任意一点，O 为圆外一点，则线段 OP 中点 M 的轨迹是什么？ 用变换菜单作图 数学中所谓“变换”，是指从一个图形（或表达式） 到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中， 研究的是图形的演变。我们能对图形进行平移、旋 转、缩放、反射、迭代等变换。
《几何画板》使用方法简介
软件简介
《几何画板》软件是由人民教育出版社由美国 引进、汉化并独家出版发行，全名是《几何画板 ――21世纪的动态几何》，也是教育部优先推广的 教育软件之一。
它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本 元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹 等，构造出其它较为复杂的图形。
造”→ “线段”（或“射线”“直线”）电脑就构造一 条线段 （或一条射线或直线）。 ②平行线或垂线：选定一点和一直线或选定几点和 一直线或选定一点和几条直线，由菜单“构 造”→
二、用构造菜单作图
图形内部的构造 ①多边形内部的构造：选定三点或三点以上后，单
击菜单“构造”→“多边形的内部”，就可构造 多边形内部了 。 ②圆形内部的构造：选定一个圆（或几个圆）后， 单击菜单“构造”→“圆内部”，就可以绘出这 个圆的内部。
“－”键可以使参数值增加或减小。 方法2：双击工作区中的参数，打开【编辑参数】对话
框，可以直接输入需要的参数值。 方法3：选中参数后，选择【编辑】菜单下的【操作类
按钮】下拉菜单中的【动画】命令，打开参数 的动画属性对话框，根据需要进行相关设置。 单击确定后，出现一个运动参数按钮单击此按 钮参数按设置进行变化。
例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件.docx
例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件摘要：在教学极限的概念和定积分的定义等涉及图形的无限分割或与操作次数有关的数学内容时，借助几何画板的深度迭代功能，能快速制作出集动态性、交互性、实用性于一体的辅助教学课件，有效突破了教学难点。
关键词：几何画板；深度迭代；数学课件几何画板操作简单、功能强大，是广大数学教师的首选教育软件。
笔者在用几何画板辅助教学的实践中，深感几何画板的深度迭代功能十分强大。
现将有关辅助教学课件的设计思想和制作步骤与大家分享，以期抛砖引玉，共同提高。
•深度迭代功能在数学上，迭代是指把某些数学结构、计算或其他操作的过程重复应用于先前的相同操作的结果。
这些操作必须根据某些输入来定义输出，迭代则是用每一步的输出作为下一步的输入。
几何画板中的迭代是按一定的迭代规则，从原象到初象反复映射的过程。
原象是产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象是原象经过一定规则变换操作而得到的第一个象。
几何画板中的深度迭代是一种带参数的迭代，通过改变参数的值可改变迭代深度，从而使我们能对某些数学对象反复进行相同操作的工作变得简单易行，可实现人机交互、动态变换。
•课件制作案例1.动态演示圆的内接与外切正多边形(1)设计思想在高中数学极限的概念教学或选修课《数学史选讲》中，一般都会讲到我国古代数学家刘徽的“割圆术"，其体现了朴素的极限思想。
在教学中我们若用几何画板动态演示圆的分割过程(如图1),随着分割的份数n的值越来越大，圆的内接和外切正多边形越来越接近于圆，并动态计算圆周率的精确度也越来越高，这有助于提高学生的学习兴趣和对极限概念的理解。
(2)制作步骤①画一个圆，在圆上取一点A,圆心标记为0。
将角度、距离和其他的精确度设为“十万分之一”，新建参数n,参数值为6,计算和的值。
②双击圆心0,将点A按标记角度旋转得点，构造线段、，过作线段的垂线a,将点A按标记角度旋转得点B,构造射线0B,与直线a交于点C。
在几何画板中运用“迭代”构图的几个问题
在几何画板中运用“迭代”构图的几个问题在几何画板中，以“迭代”方式来构图是构图的重要的手段，特别是一些较为复杂的组合图案更是离不开“迭代”功能的运用；“迭代”构图要弄清以下几个方面问题：1.关于迭代迭代可以理解为是不停的代换的意思，简单点说“迭代”就是一种重复操作，将上一步的参数保持不变，再执行一次的意思. （“参数保持不变”在几何画板中可以形象的理解为图形的旋转角度、平移距离、放缩比例等等保持不变）. 迭代分为两种类型：第一种类型是简单迭代：先选中原象（通常是一个点或多个点，亦称原象点） → 然后变换 → 迭代 → 在迭代对话框中选取与原象点相对应的一组或多组映射点（初象点） → 最后按迭代按钮，即可得到固定迭代的图.默认的迭代次数是3次.（后面的图②③④都是简单迭代）第二种类型是深度迭代：按照设定参数确定迭代次数，不用进入迭代菜单，直接控制参数的增减就能控制迭代的深度（次数的多少）.①.构造方法：选中选择你要迭代的原象点、新建的参数按钮并按住Shift 键 → 然后点开“变换”菜单下的迭代自然显示为“深度迭代” → 点击打开“深度迭代”的对话框 → 点入对应的初象点 → 迭代.（见下面的截图①） ②.作用：简化重复作图过程，选定参数按钮后操作“+”、“-”号键可以控制作图重复次数的效果.选中参数按钮后按Shift 键，按“＋”号增加迭代，选中参数按钮直接按“-”号键减少迭代. 若把参数按钮设置动画可以自动增减.2.原象点的确立.原象：产生迭代序列的初始对象（起点的位置），通常称为“种子”.原象点的确定：第一次迭代的出发点为原象点，取决于绘制基本图形的起始条件，原象点必须是自由的点或自由路径上的点（主要不受其它路径控制的端点！“自由”是个关键词，即使在初始对象上任取在该路径活动的点都不算自由点）. 如：正方形ABCD 是由线段AB “变换”（这里是旋转）和“构造”方式得到的，所以线段AB 的端点A B 、可以作为原象点（见组图②）；而线段BC CD DA 、、 以因此其端点C D 、是不能作为迭代关系的原象点.又如选定B C 、后，点B 可以作为建立迭代关系的后原象点，而C 点不能作为原象点.即使在初始对象AB 用点的工具任意取一点都不能作为原象点.再次提醒直接用画板工具栏中的“工具”作出的自由的点或自由路径上的点（不受其它路径控制，比如起始线段的端点）才是原象点，而以别的图形为基础新建立的点不能作为原象点.①3.初象点的确立初象 ：原象经过一系列变换操作而得到的象（第二个点的位置），与原象是相对概念. 初象点的确定：第二次迭代的出发点为初象点，它是和原象点个数相同且相对应的一组点.对于初象点的确立，不管是“变换”、“构造”还是直接用工具作的点，只要以原象为基础的点都可以作为初象点.比如在正方形ABCD 的的边上任意一处取一个点都可以作为原象点对应的初象点（因为它是以正方形的边为基础），但在正方形ABCD 的边之外的空处随便取一个点就不能作为初象点，抓住关键词“以原象为基础作出来点.”注：通过操作发现作为“原象”线段若已经 “构造”和“变换”的第三点，此时选定原象线段的两个端点同时都可以作为初象点，也就是此时的“原象线段”两个端点具有“原象点”和“初象点”的双重特性.组图②：选定A B 、作为原象点，而边的中点E F 、 作为初象点来迭代构图.组图③：直接用线段工具构造出五边形ABCDE ,以线段FG 为长度依次在边上截取AH EI DJ CK BL ====；此时选定A B C D E 、、、、作为原象点，截取的得到点H I J K L 、、、、 作为初象点进行迭代构图.组图④：以线段AB 绕端点B 逆时针旋转108°得到线段AC ，再以取出连线段的中点E F 、 ,连结EF .以点B A 、为原象点，以A C 、为初象点迭代构图，不但可以构造一个正五边形，还可以把其中点五边形同时构造出来，残缺的边可用键盘“+”键补全.4.初象点是怎样把原象点 “迭代”构图的？②④③利用几何画板的“迭代”功能构图，关键是映射点（初象点）与原象点的“迭代”对应关系，在选择对应的初象点是要注意方向；“迭代”出来的图会显示出初象点把原象点的的特性进行重新操作.下面举例来加以说明：例1.已知线段AB ,以 A 为旋转中心逆时针旋转108°得到AC .⑪.若以点B 为原象点，点C 为初象点，则“迭代”出来的图形体现点C 会按点B 绕点A 逆时针旋转108°的特性重新操作,……，依次类推！.（见截图⑤） ⑫.若以点A 为原象点，点C 为初象点，则点C 会成了下一个旋转中心，……； “迭代”出来的图形，点C 会依次把点A 为旋转中心旋转108°的特性体现出来.（见截图⑥）⑬.若以点B A 、 为原象点，点A C 、分别对应为初象点，则点C 成了下一个旋转中心，则“迭代”出来的图形，会把线段AB 绕着点A 逆时针旋转108°得到AC 的特征在点C 处为旋转中心一一体现出来，后面迭代出来图形依然如此.（见截图⑦，因为默认迭代次数为3次，所以恰好为正五边形.）注：若在线段AB AC 、取点连线，会把“连线”同时进行“迭代”，也就是迭代会“映射”原象点和初象点为基础的整个图形，依次类推！如前面组图④的进行“迭代”操作时同时也把中点连成的线段作了“迭代”构造.例2.如图以初始线段AB 为初始线段构造一Rt ⊿ACB ,在斜边AD 任取一点D ；以A C 、为原象点，分别以D B 、 为初象点，会以边DB 对应边DE AB 所在的Rt ⊿ACB 及其填充色进行“迭代”，但迭代图形依次按DB 所占比例缩小 .（见组图⑧.最右边的图用键盘“+”键增加了迭代次数的，有点近似“勾股螺”图案.）⑤⑥C⑦⑧5.关于“添加新的映射”的问题.映射是高中数学的一个概念，是指按某种规则的两个集合中的集合A 的任何一个元素，在集合B 都有唯一的元素与之对应. 在几何画板中最先的从原象点到初象点可以理解为是第一次映射，初象点就是映射点；因此只要还有新的初象点，那么根据需要就可以继续添加新的的映射.下面我举例说明：例：画勾股树.⑪.画一条线段（见图⑨隐藏了字母标签），并且构造一个矩形，以一边（本例取起始线段的对边）为直径作一个半圆，在半圆上取两点，隐藏半圆和圆心点；进行第一次映射点的添加（操作和前面一样，见迭代对话框和图中标示）.⑫.添加新的映射：在图⑨的基础上→ 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框（见迭代对话框和图⑩标示）. ⑬.继续添加新的映射：在图⑩的基础上 → 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框（见迭代对话框和图⑪中的标示）.⑭.点击迭代完成构图.组图⑫的左图是最初成图，中图进行增加迭代次数、点的隐藏、颜色和形状姿态调整等等处理，右图进行颜色填充和色彩变化的处理等.上例可以看作画的三个迭代分支的勾股树.当然“添加新的映射”的次数和映射点对应的位置根据设计图案的需要而定，对应点构成的“基本图案”会在对应的⑨⑩映射点处呈现出来（前提是这些“基本图案”是由原象点为基础作出来的）.下面是其它一些迭代构图的效果图：注：昨天在几何画板上画的，比较漂亮！几何画板中的“迭代”构图在制作组合图案和动画制作确实有优势.郑宗平 2017.12.24。
《几何画板教程》课件
1. 几何画板5.0.1简介
1.2 几何画板基本功能
动态的图形功能：可以画出各种欧几里德几何图形 ，在图形变动 时保持设定不变的几何关系； 简便的动画功能：制作动画和移动对象，表现几何体的运动。 有趣的变换功能：提供了平移、旋转、缩放、反射等图形变换功 能，可以按指定的值或动态的值进行这些变换。 方便的计算功能：对所作出的对象进行度量，如线段的长度、圆 弧的弧长、角度、封闭图形的面积等； 独特的自定义工具 丰富的图像功能：支持直角坐标系和极坐标系，支持画出任意一 个初等函数的图象、解析几何中的所有二次曲线； 显示或隐藏任意一个对象；显示一个对象(点或直线)的轨迹；
4. 迭代与深度迭代
迭代变换使用的前提条件：1)选定一个（或几个）自由的点，即 平面上任一点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点，
如上例的B点。2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对
话框后，再选），如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点。 实例制作：正十七边形的画法 迭代的深度（即重复的次数），可用参数控制，即深度迭代， 实例制作：正n边形的画法
1. 几何画板5.0.1简介
重要的反馈工具----《几何画板》提供多种方法帮助教师了解学生 的思路和对概念的掌握程度，如复原、重复；隐藏、显示；建立脚本 等，轻而易举地解决了这个令所有教师头疼的难题。 简单的使用工具----《几何画板》功能虽然强大，但使用起来却非 常简单。
1. 几何画板5.0.1简介 2. 几何画板的工具箱和菜单 3. 绘制几何图形 4. 迭代与深度迭代 5. 动画制作 6. 绘制初等函数图形 7. 典型实例
几何画板基础知识
基础知识《几何画板》（The Geometer ’s Sketchpad ）软件是由美国Key Curriculum Press 公司开发的优秀教学软件。
它的全名是《几何画板--21世纪的动态几何》。
《几何画板》的特色首先能把较为抽象的几何图形形象化，但是它最大的亮点是“动态性”，即可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变，深入几何的精髓，突破了传统教学的难点。
《几何画板》操作简单，只要用鼠标点取工具栏和菜单就可以开发课件。
一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5到10分钟。
几何画板概述教学目标初步认识《几何画板》中的工具箱。
教学重点和难点工具箱中工具的相关操作。
制作效果图1-1 图1-2技术分析启动几何画板启动几何画板和启动windows 其它应用程序一样。
可以采用如下几种方法：（1）双击桌面上的几何画板快捷方式 。
(2) 选择【开始】→【所有程序】→【几何画板5.03最强中文版】（3）双击任何一个用几何画板创建的文件（后缀名为*.gsp ）几何画板界面如图1-3所示，包含标题栏、菜单栏、工具箱、最小化、最大化和关闭按钮、状态栏等。
其中工具箱中从上到下依次是【选择箭头工具】、【点工具】、【圆规工具】、【直尺工具】、【多边形工具】、【文字工具】、【标记工具】、【信息工具】和【自定义工具】，可以根据需要将工具箱拖到画面的任意位置（鼠标移至选择箭头工具的上方，按住鼠标拖动，发现有一个矩形区域在移动，放到喜欢的地方即可）B C图1-3一、工具箱选择箭头工具【选择箭头工具】的默认状态是用于对象选择和平移的【移动箭头工具】，若将鼠标移至该工具上，按下左键，则会弹出【移动箭头工具】、【旋转箭头工具】和【缩放箭头工具】三个变换工具，单击某个工具，则表示已选中该工具。
小提示：在工具右下角有小三角形，表示还有其它选项。
几何画板使用方法与技巧 深度迭代和参数颜色功能
A
B
AB = 2.96 厘米
2.选中线段AB和AB的度量值；
返回
主菜单
请单击
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘米
3.单击菜单“显示”---“颜色”---“参数”选项 ；
请单击
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
单击结 构/轨迹
A
B
AB = 2.96 厘米
动态演 示
4.选中线段AB和点A，执行“构造/轨迹”选项 ；
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘米
1.画一个三角形, 取内部和点A、B，连接AB,并度量长度；
用一个甚至多个参数动态地改变颜色，使得色彩更加丰富， 演示效果更加动感
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘米
2.选中线段AB和AB的度量值；
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
返回
主菜单
万花筒
动态演 示
返回
主菜单
选取映象点
返回Βιβλιοθήκη 主菜单深度迭代功能
动态演示 1
最后按“迭代”按钮。即可得到动态迭代的像。选中参数n，按 “+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭代。
返回
主菜单
迭代功能
迭代功能 迭代的两种方式：先绘制出一个“循环节”的图形(亦称原像)。 1）简单迭代：先选中原像一个点或多个点，然后执行〈变换/迭代〉命令，在 “迭代”对话框中选取与原像点相对应的一组（初像点）或多组映射点和迭代次 数，最后按“迭代”按钮。即可得到固定迭代的像。 2）深度迭代：新建一个参数n（取正整数），先选中原像一个点或多个点和参数 n，并按住Shift键，然后执行〈变换/深度迭代〉命令，在“迭代”对话框中选 取与原像点相对应的一组（初像点）或多组映射点，最后按“迭代”按钮。即可 得到动态迭代的像。选中参数n，按“+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭 代。 原像点的确定：取决于绘制基本图形的起始条件，如用线段绘制正多边形，取第 一条边的两个端点为原像点；若用圆绘制正多边形，则取第一个顶点为原像点。 动态演示 2
几何画板的迭代功能(3讲)
《几何画板》新版中的迭代与带参数的迭代应用一、教学目标：知识与技能：理解几何画板中的迭代（Iterate）与带参数的迭代(Iterate To D epth)功能；过程与方法：通过构造分形图形、构造正多边形；构造ICME-7会徽、构造动态勾股定理、构造谢宾斯基三角形、定积分意义的动态演示、构造正弦线等实例，充分理解【变换】菜单下的【迭代】（带参数的迭代）功能。
情感、态度与价值观：培养对几何图形的审美意识和不断追求完美的精神，增强对数学前沿知识的追求意识。
二、教学过程：1．构造分形图案自然界中有许多物体和现象常是它们自身的多次重复，局部与它的整体以某种方式相似。
例如任意一棵大树上的一棵小树枝，它的形状与大树本身相似，这称为自相似性。
还有如海岸线、浮云的边界、波浪起伏的海面、流体的湍流、刚体内的裂缝、山地轮廓等，被经典几何学称为“病态”的被当作个别特例的不规则集被普遍地称为分形。
但这些不光滑曲线或曲面有时比传统几何图形能更好地描述许多自然现象。
1975年，美国的曼德布罗特(B.Manedlbrot)创立了分形几何学用以描述这类曲线，20世纪80年代中期分形几何学得以迅速发展，而今已成为本世纪各个领域中专家学者所注目的前沿焦点学科之一。
新版的《几何画板》中【变换】→迭代（或带参数的迭代）可以制作一些简单的分形图案。
下面就以几何画板4.04（或4.05）来辅于说明。
例1：制作Koch曲线（源文件）（1）画线段AB，以A为中心，缩放点B(固定比为13)，得到'B，把它改为C，再以B为中心，缩放点A，得到'A，把它改为D，隐藏线段AB；（2）双击C点（标记中心），选择点D，旋转60°，得到点E；（3）连接线段AC、CE、ED；（4）【图表】→[新建参数]t，把它的值该为2；（5）依次选择点A、B，t，按Shift键，，选择【变换】→[带参数的迭代]，弹出对话框如图1图1（6）依次选择A、C，按Ctrl＋A，增加一列（对应点），依次选择C、E，再按Ctrl＋A，又增加一列（对应点），依次选择E、D，再按Ctrl＋A，又增加一列（对应点），依次选择D、B，选择“显示”中的最终迭代，如图2所示，单击“迭代”；图2（7）选择参数t，按键盘上的“－”、“＋”可以得到不同迭代次数下的Koch曲线。
例说几何画板4.04版的迭代功能
例说几何画板4.04版的迭代功能天津市葛沽第三中学李玉强用过几何画板4.0版的朋友们都知道【变换】菜单下有个【迭代】命令。
但大部分读者觉得该命令有些高深莫测，不知它有什么作用。
其实迭代就是指一个初始对象（可以是数值、几何图形等）按一定的规则反复映射的过程。
本文通过实例对【迭代】命令进行说明。
通过阅读本文您可以对【迭代】命令有所了解，并能在教学中初步运用。
让我们一起进入【迭代】世界，感受它的强大功能吧！例1：【迭代】在代数学中的运用（1）在【图表】菜单中，选择【新建参数】命令，在工作区建立一个参数a（关于参数的相关内容，请读者参阅《中国电脑教育报》第46期《用好几何画板的参数》一文）。
然后利用【度量】菜单下的【计算】命令，得到a2的值；（2）单击选中参数a后，在【变换】菜单下选择【迭代】命令，打开【迭代对话框】，如（图1）。
单击工作区的计算值a2＝4，来映射 a a2，工作区显示如（图2）；（3）单击【迭代】按钮后，最后效果如（图3），迭代完成。
改变原象参数a的值，初象a2的值相应改变，如（图4）；选中迭代产生的表格，按小键盘上的“＋”号键可以增加迭代的次数，如（图5），按“－”键则减少迭代的次数。
通过本例，您应该了解在代数学中，一个迭代就是一个计算结果的循环（用一个输入值计算一个输出值）。
迭代反复地应用前面的计算结果作为下一步迭代的输入。
当然，若要开始迭代过程，首先必需有个初始值，如上例中的参数a。
请您以a为原象，以a的不同计算值为初象，来试试【迭代】吧！例2、【迭代】在几何学上的运用（1）用画圆工具在工作区中画出⊙O，以⊙O的半径OA为直径构造⊙P如（图6）。
这样点P 和点O发生关联，它P 既是大圆半径的中点同时也是绿色的小圆的圆心；（2）单击选中点O，从【变换】菜单选择【迭代】命令，打开【迭代对话框】，如（图7）；（3）单击工作区中的点P，来建立原象O到初象P的映射，效果如（图8）；（4）单击迭代按钮，完成迭代，效果如（图9）。
几何画板的迭代功能(3讲)
《几何画板》新版中的迭代与带参数的迭代应用一、教学目标：知识与技能：理解几何画板中的迭代（Iterate）与带参数的迭代(Iterate To D epth)功能；过程与方法：通过构造分形图形、构造正多边形；构造ICME-7会徽、构造动态勾股定理、构造谢宾斯基三角形、定积分意义的动态演示、构造正弦线等实例，充分理解【变换】菜单下的【迭代】（带参数的迭代）功能。
情感、态度与价值观：培养对几何图形的审美意识和不断追求完美的精神，增强对数学前沿知识的追求意识。
二、教学过程：1．构造分形图案自然界中有许多物体和现象常是它们自身的多次重复，局部与它的整体以某种方式相似。
例如任意一棵大树上的一棵小树枝，它的形状与大树本身相似，这称为自相似性。
还有如海岸线、浮云的边界、波浪起伏的海面、流体的湍流、刚体内的裂缝、山地轮廓等，被经典几何学称为“病态”的被当作个别特例的不规则集被普遍地称为分形。
但这些不光滑曲线或曲面有时比传统几何图形能更好地描述许多自然现象。
1975年，美国的曼德布罗特(B.Manedlbrot)创立了分形几何学用以描述这类曲线，20世纪80年代中期分形几何学得以迅速发展，而今已成为本世纪各个领域中专家学者所注目的前沿焦点学科之一。
新版的《几何画板》中【变换】→迭代（或带参数的迭代）可以制作一些简单的分形图案。
下面就以几何画板4.04（或4.05）来辅于说明。
例1：制作Koch曲线（源文件）（1）画线段AB，以A为中心，缩放点B(固定比为13)，得到'B，把它改为C，再以B为中心，缩放点A，得到'A，把它改为D，隐藏线段AB；（2）双击C点（标记中心），选择点D，旋转60°，得到点E；（3）连接线段AC、CE、ED；（4）【图表】→[新建参数]t，把它的值该为2；（5）依次选择点A、B，t，按Shift键，，选择【变换】→[带参数的迭代]，弹出对话框如图1图1（6）依次选择A、C，按Ctrl＋A，增加一列（对应点），依次选择C、E，再按Ctrl＋A，又增加一列（对应点），依次选择E、D，再按Ctrl＋A，又增加一列（对应点），依次选择D、B，选择“显示”中的最终迭代，如图2所示，单击“迭代”；图2（7）选择参数t，按键盘上的“－”、“＋”可以得到不同迭代次数下的Koch曲线。
几何画板的深度迭代的用法大全
如何用好几何画板的深度迭代第一章：迭代的概念和操作迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。
通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。
最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：!(1)!(1)!(1)(2)!n n n n n n =⨯--=-⨯- 。
递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。
我们先来了解下面这几个最基本的概念。
迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。
原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。
与原象是相对概念。
更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。
我们知道12n n a a -=+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。
以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。
在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。
图1.2中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，各点相距1cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm 。
所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。
所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。
那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。
几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。
两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。
我们先通过画圆的正n 边形这个例子来看一下它们的区别。
【例1】画圆的内接正7边形。
【分析】由正7边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时，抓住这个规律，我们可以用迭代功能来解决。
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选取映象点
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深度迭代功能
动态演示 1
最后按“迭代”按钮。即可得到动态迭代的像。选中参数n，按 “+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭代。
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迭代功能
迭代功能 迭代的两种方式：先绘制出一个“循环节”的图形(亦称原像)。 1）简单迭代：先选中原像一个点或多原像点相对应的一组（初像点）或多组映射点和迭代次 数，最后按“迭代”按钮。即可得到固定迭代的像。 2）深度迭代：新建一个参数n（取正整数），先选中原像一个点或多个点和参数 n，并按住Shift键，然后执行〈变换/深度迭代〉命令，在“迭代”对话框中选 取与原像点相对应的一组（初像点）或多组映射点，最后按“迭代”按钮。即可 得到动态迭代的像。选中参数n，按“+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭 代。 原像点的确定：取决于绘制基本图形的起始条件，如用线段绘制正多边形，取第 一条边的两个端点为原像点；若用圆绘制正多边形，则取第一个顶点为原像点。 动态演示 2
几何画板使用方法与技巧
深度迭代和参数颜色功能
深度迭代和参数颜色功能
请单击
n=1.0
E A A'
E A
单击结 构再选 添加
E A’
B
C
先绘制正方形BCA’A和新建一个参数n （取正整数），再选中原像一个点或多个 点B、C和参数n，并按住Shift键，然后执 行〈变换/深度迭代〉命令，
选取与原像 点相对应的 一组初像点
A
B
AB = 2.96 厘 米
2.选中线段AB和AB的度量值；
返回 主菜单
请单击
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘 米
3.单击菜单“显示”---“颜色”---“参数”选项 ；
请单击
返回 主菜单
参数动态地改变颜色
单击结 构/轨迹
A
B
AB = 2.96 厘 米
动态演 示
4.选中线段AB和点A，执行“构造/轨迹”选项 ；
返回 主菜单
万花筒
动态演 示
返回 主菜单
返回 主菜单
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘 米
1.画一个三角形, 取内部和点A、B，连接AB,并度量长度；
用一个甚至多个参数动态地改变颜色，使得色彩更加丰富， 演示效果更加动感
返回 主菜单
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘 米
2.选中线段AB和AB的度量值；
返回 主菜单
参数动态地改变颜色