2021届高三数学精准培优专练 函数的零点(文) 教师版

2021届高三精准培优专练

例1：若幂函数()f x 的图象过点(2,2)，则函数()()3g x f x =-的零点是（ ） A ．3 B ．9

C ．(3,0)

D ．(9,0)

【答案】B

【解析】设()a

f x x =，则22a

=，故1

2

a =，所以1

2()3g x x =-，

由12

()30g x x =-=，得9x =，所以函数()g x 的零点为9．

例2：若函数2()log ()f x x a =+与2

()(1)4(5)g x x a x a =-+-+存在相同的零点，则a 的值为（ ） A ．4或52

-

B ．4或2-

C ．5或2-

D ．6或52

-

【答案】C

【解析】由2

(1)4(5)0x a x a -+-+=，解得4x =-或5x a =+．

∵函数2()log ()f x x a =+与2

()(1)4(5)g x x a x a =-+-+存在相同的零点， ∴4x =-，5x a =+也是方程2log ()0x a +=的根．

即2log (4)0a -+=或2log (5)0a a ++=，解得5a =或2a =-．

例3：函数3

()21f x x x =+-一定存在零点的区间是（ ）

培优点 函数的零点

一、求函数的零点

二、根据零点求解析式中的参数值

三、零点存在性定理应用

A．

1

(0,)

4

B．

11

(,)

42

C．

1

(,1)

2

D．(1,2)

【答案】B

【解析】∵3

()21

f x x x

=+-在(0,)

+∞上单调递增，根据零点存在性定理，

∴()()0

f a f b

?<，易知B选项符合条件．

例4：函数

3

()log|||sinπ|

f x x x

=-在区间[2,3]

-上零点的个数为（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】B

【解析】令()0

f x=，所以

3

log|||sinπ|

x x

-，在同一坐标系下作出函数

3

()log||

g x x

=和()|sinπ|

h x x

=

在区间[2,3]

-的图像，

观察图像得两函数在[2,0]

-有两个交点，在[0,3]有4个交点，

所以函数

3

()log|||sinπ|

f x x x

=-在区间[2,3]

-上零点的个数为6．

例5：已知函数

2

1

61,0

()1

(),0

2

x

x x x

f x

x

+

?-+≥

?

=?

<

??

，若()()

g x f x a

=-恰好有3个零点，则a的取值范围为（）

四、讨论含参数方程根的个数或函数零点的个数

五、根据函数零点的个数求参数范围

A．[0,1)B．(0,1)C．

1

[,1)

2

D．

1

(,1]

2

【答案】D

【解析】()()

g x f x a

=-恰好有3个零点，即为()

f x a=有三个不等实根，

作出()

y f x

=的图象，

可得当

1

1

2

a

<≤时，()

f x的图象与y a

=有三个交点．

例6：函数

2

()2x

f x a

x

=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（）A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)

【答案】C

【解析】由条件可知(1)(2)(22)(41)0

f f a a

=----<，

即(3)0

a a-<，解得03

a

<<．

一、选择题

1．下列函数中，既是奇函数又在(1,2)上有零点的是（）

六、根据函数零点的分布求参数范围

对点增分集训

A ．ln(1)ln(1)y x x =--+

B ．33x x

y -=- C ．2

3y x =-

D ．3

3y x x =-

【答案】D

【解析】选项A ，B ，D 中的函数均为奇函数，其中函数ln(1)ln(1)y x x =--+与函数33x

x

y -=-在(1,2)

上没有零点，所以A ，B 选项不合题意； C 中函数2

3y x =-为偶函数，不合题意；

D 中函数330y x x =-=(1,2)，符合题意． 2．函数()4

2

x x

f x -=-

的零点所在区间是（ ） A ．(1,0)- B ．1(0,)4

C ．11(,)42

D ．1(,1)2

【答案】D

【解析】易知函数()f x 为减函数，

又121111()402424f -=-=->，11

(1)042

f =-<，

根据零点存在性定理，可知函数()4

2x

x f x -=-

的零点所在区间是1

(,1)2

． 3．函数3

3()log 9f x x x =+-的零点所在区间是（ ）

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

【答案】C

【解析】∵3(2)log 210f =-<，3(3)log 3279190f =+-=>， ∴(2)(3)0f f <，∴函数在区间(2,3)上存在零点． 4．函数()|sin |lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3

C ．4

D ．5

【答案】D

【解析】由已知，令()|sin |lg 0f x x x =-=，即|sin |lg x x =， 在同一坐标系中作函数|sin |y x =与lg y x =的图象如图所示， 可知两个函数图象有5个交点．

5．函数2

3,

0()43,

x a x f x x x x ?+≤?=?-+>??，若函数()f x 在R 上有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(,1)-∞-

B ．(,1]-∞-

C ．(1,0)-

D ．[1,0)-

【答案】D

【解析】∵当0x >时，2

()430f x x x =-+=，解得1x =或3，

∴当0x >时，函数()f x 有两个零点分别为1和3，

即当0x ≤时，()3x

f x a =+有一个零点，由指数函数图象可知10a -≤<．

6．已知22,

()log ,

x x f x x x ?≤=?

>?，()()g x f x x m =++，若()g x 存在两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．[1,0)-

C ．[0,)+∞

D ．[1,)+∞

【答案】A

【解析】()()g x f x x m =++，若()g x 存在两个零点，可得()0g x =，

即()f x x m =--有两个不等实根，即有函数()y f x =和直线y x m =--有两个交点， 作出()y f x =的图象和直线y x m =--，

当1m -≤，即1m ≥-时，()y f x =和y x m =--有两个交点．

7．已知一次函数()12f x ax a =+-的零点在(3,4)内，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．11(,)34

-- B ．11(,)23

--

C ．1(1,)2

--

D ．(2,1)--

【答案】C

【解析】由题意知，(3)(4)0f f ?<，解得112

a -<<-．

二、填空题 8．函数(1)ln ()3

x x

f x x -=-的零点是 ．

【答案】1

【解析】令()0f x =，即

(1)ln 03

x x

x -=-，即10x -=或ln 0x =，

∴1x =，故函数()f x 的零点为1．

9．若函数()x

f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】{|1}x a >

【解析】设函数x y a =（0a >，且1a ≠）和函数y x a =+， 则函数()x

f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，

就是函数x

y a =（0a >且1a ≠）与函数y x a =+有两个交点， 当01a <<时两函数只有一个交点，不符合；

当1a >时，因为函数(1)x

y a a =>的图象过点(0,1)，

而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点． 所以实数a 的取值范围是{|1}x a >．

10．如果函数2

2y x x m =++只有一个零点，则m 的值是 ． 【答案】1

【解析】∵函数22y x x m =++只有一个零点，∴2

240Δm =-=，∴44m =，∴1m =． 11．若方程ln 260x x +-=在(,1)()n n n +∈Z 上有一实数根，则n = ． 【答案】2

【解析】记函数()ln 26f x x x =+-，则(2)ln 220f =-<，(3)ln30f =>， 所以(2)(3)0f f <，所以函数()f x 在(2,3)上必有零点，

又函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以若方程ln 260x x +-=在(,1)()n n n +∈Z 上有一实数根， 则2n =．

12．函数2ln 2,0

()21,

0x x x x f x x x ?-+>=?+≤?的零点个数为 ．

【答案】3

【解析】当0x ≤时，由()210f x x =+=，得1

2

x =-

，符合题意； 当0x >时，2

()ln 2f x x x x =-+，此时函数()f x 的零点个数就是函数ln y x =与函数2

2y x x =-图象的交点个数，

由图象可知交点有2个，所以当0x >时，函数()f x 有2个零点， 故函数()f x 共有3个零点．

13．设函数1sin π,20

()1(),09

x x x f x x --≤

=?≥??，若关于x 的方程()0f x a -=有三个不等实根1x ，2x ，3x ，

且1235

2

x x x ++=-

，则a = ．

8

【答案】

13

【解析】如图所示，画出函数()f x 的图象， 不妨设123x x x <<，则1232()32

x x +=?-=-，

又12352x x x ++=-，∴31

2

x =，∴1211()93a ==．

14．已知函数2

2,2

()log ,2x x f x x x -?≤=?>?，若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围

是 ． 【答案】

1

14

k ≤≤ 【解析】由函数()y f x k =-有且只有一个零点，等价为数()0y f x k =-=， 即()f x k =有且只有一个根，即函数()f x 与y k =只有一个交点， 作出函数()f x 的图象如图， ∵1(2)4f =

，2log 21=，∴要使函数()f x 与y k =只有一个交点，则1

14

k ≤≤．

15．设a ∈Z ，函数()x

f x e x a =+-，若(1,1)x ∈-时，函数有零点，则a 的取值个数有 ． 【答案】4

【解析】根据函数解析式得到函数是单调递增的，由零点存在定理得到若(1,1)x ∈-时，函数有零点， 需要满足(1)01

11(1)0

f a e f e -

>?， 因为a 是整数，故可得到a 的可能取值为0，1，2，3．

16．函数()lg(2)1f x x x =+-的零点在区间(,1)()k k k +∈Z 内，则k = ． 【答案】2-或1

【解析】函数()lg(2)1f x x x =+-，(,1)()x k k k ∈+∈Z 的零点，即为方程1

lg(2)x x

+=

的根， 在同一直角坐标系中作出函数lg(2)y x =+与1

y x

=

的图象，如图所示．

由图象，可知方程1

lg(2)x x

+=有两个根，一个在区间(2,1)--内，一个在区间(1,2)内， 所以2k =-或1．

三、解答题

17．已知函数2

()22(4)f x x ax a =+--．

（1）若方程()0f x =有两个均大于2的根，求实数的取值范围；

（2）若方程()0f x =有两个根1x ，2x ，且11x <-，20x >，求实数的取值范围． 【答案】（1）64a -<<-；（2）4a >．

【解析】（1）由方程()0f x =有两个均大于2的根，可得2

(2)2120483202f a Δa a a =+>??=+->??->?

，

解得64a -<<-．

（2）由方程()0f x =有两个根1x ，2x ，且11x <-，20x >，

可得(1)940(0)2(4)00f a f a Δ-=-

=--?

，解得4a >．

18．已知函数2

()22(0)f x ax x a a =+--≤． （1）若1a =-，求函数的零点；

（2）若函数在区间(0,1]上恰有一个零点，求取值范围． 【答案】（1）1；（2）(,2][1,0]-∞--． 【解析】（1）若1a =-，则2

()21f x x x =-+-，

由2()210f x x x =-+-=，得2

210x x -+=，解得1x =， ∴当1a =-时，函数()f x 的零点是1．

（2）已知函数2

()22f x ax x a =+--，且0a ≤，

①当0a =时，()22f x x =-，由220x -=，得1x =，且1(0,1]∈， ∴当0a =时，函数()f x 在区间(0,1]上恰有一个零点； ②当0a ≠时，由2()220f x ax x a =+--=易得(1)0f =，

∴()0f x =必有一个零点1(0,1]∈． 设另一个零点为0x ，则021a x a --?=

，即022

1a x a a

--=

=--． ∵函数()f x 在区间(0,1]上恰有一个零点，从而00x ≤，或01x ≥， 即210a -

-≤或2

11a

--≥，解得2a ≤-或10a -≤<．

-∞--．综合①②得，a的取值范围是(,2][1,0]