[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6.doc

[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y的相关系数等于( )

（A）—1

（B）0

（C）

（D）1

2 设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)且相关系数ρXY=1，则( )

（A）P{Y=—2X—1}=1

（B）P{Y=2X—1}=1

（C）P{Y=一2X+1}=1

（D）P{Y=2X+1}=1

3 将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )

（A）1

（B）

（C）

4 随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为

。将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X和Y的相关系数为

( )

5 设随机变量x～t(n)(n＞1)，Y=，则( )

（A）Y～χ2(n)

（B）Y～χ2(n一1)

（C）Y～F(n，1)

（D）Y～F(1，n)

6 设X1，X2，…，X n(n≥2)为来自总体N(0，1)的简单随机样本，为样本均值，S2为样本方差，则

( )

7 设随机变量X～t(n)，Y～F(1，n)，给定a(0＜a＜0．5)，常数c满足P{X＞

c}=a，则P{Y＞c2}=( )

（A）a

（B）1—a

（D）1—2a

8 设X1，X2，…，X n(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是( )

（A）(X i—μ)2服从χ2分布

（B）2(X n—X1)2服从χ2分布

（C）服从χ2分布

（D）n(—μ)2服从χ2分布

二、填空题

9 设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X—

E(X)|≥2}≤________。

10 设X1，X2，…，X m为来自二项分布总体B(n，p)的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差。若X+kS2为np2的无偏估计量，则k=________。

11 设总体X的概率密度为f(x；θ)=其中θ是未知参数，X1，

X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本，若X i2是θ2的无偏估计，则

c=________。

12 已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信度为0．95的置信区间是

________。(注：标准正态分布函数值Ф(1． 96)=0．975，Ф(1．645)=0．95。)

13 设X1，X2，…，X n为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本均值=9．5，参数μ的置信度为0． 95的双侧置信区间的置信上限为10．8，则μ的置信度为0．95的双侧置信区间为________。

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14 设总体X服从证态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，

X2，…，X2n(n≥2)，其样本均值为

的数学期望E(Y)。

15 设总体X的概率密度为X1，X2，…，X n是取自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求的方差D()。

16 设某种元件的使用寿命X的概率密度为其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2，…，x n是X的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。

17 设总体X的概率分布为

其中θ(0＜θ＜)是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩阵估计值和最大似然函数估计值。

18 设总体X的概率密度为其中θ＞0是未知参数。从总体X中抽取简单随机样本X1，X2，…，X n，记= min{X1，X2，…，X n}。(Ⅰ)求总体X的分布函数F(x)；(Ⅱ)求统计量的分布函数F(x)；(Ⅲ)如果用作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。

19 设总体X的分布函数为其中未知参数β＞1，X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本。求：(Ⅰ)β的矩估计量；(Ⅱ)β的最大似然估计量。

20 设总体X的概率密度为其中θ是未知参数(0＜θ＜1)，X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，

x2，…，x n中小于1的个数，求θ的最大似然估计。

21 设总体X的概率密度为其中参数θ(0＜0＜1)未知。X1，X2，…，X n是来自总体X的简单随机样本，是样本均值。(Ⅰ)求参数θ的矩估计量；(Ⅱ)判断是否为θ2的无偏估计量，并说明理由。

22 设X1，X2，…，X n是总体为N(μ，σ2)的简单随机样本。记

(Ⅰ)证明T是μ2的无偏估计量；(Ⅱ)当μ=0，σ=1时，求D(T)。

23 设总体X的概率密度为其中参数λ(λ＞0)未知，X1，X2，…，X n是来自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；(Ⅱ)求参数λ的最大似然估计量。

24 设总体X的概率分布为其中

θ∈(0，1)未知，以N i表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个

数(i=1，2，3)，试求常数a1，a2，a3，使T=a i N i为θ的无偏估计量，并求T的方差。

25 设X1，X2，…，X n为来自正态总体N(μ0，σ2)的简单随机样本，其中μ0已知，σ2＞0未知，和S2分别表示样本均值和样本方差。(Ⅰ)求参数σ2的最大似然估计；(Ⅱ)计算

26 设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2)，其中σ是未知参数且σ＞0，设Z=X—Y，(Ⅰ)求Z的概率密度f(z；σ2)；(Ⅱ)设Z1，

Z2，…，Z n为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量；(Ⅲ)证明为σ2的无偏估计量。

27 设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量。

28 设总体X的分布函数为其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，X n是来自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求E(X)，E(X2)；